第三章 资金的时间价值

第三章资金时间价值及等值计算第一节资金的时间价值、利息与利率第二节现金流量与资金等值计算第三节资金等值计算公式及其应用一次性支付的复利计算等额支付等差支付系列型等比支付序列型重点：（1）资金的时间价值的基本概念（2）利息、利率、名义利率、实际利率（3）现金流量与资金等值计算的基本方法（4）资金等值计算公式（一次支付、等额、等差支付）第一节资金的时间价值一、基本概念（1）资金在扩大再生产及其循环周转过程中，随着时间变化而产生的增值，是时间的函数。可从两个方面理解：1）从投资者的角度看：资金的时间价值指资金在生产和交换活动中给投资者带来的利润（收益）。2）从消费者的角度看：资金的时间价值指消费者放弃现期消费所获得的必要补偿（利息）

（2）不同时间发生的等额资金在价值上存在的差别。例：某人年初存入银行100元，若年利率为10％，年末可从银行取出本息110元，出现了10元的增值。注意：一般的货币并不会增值，资金的时间价值不是货币本身产生的，也不是时间产生的，而是在资金运动中产生的。即：资金只有运动才能增值。二、影响因素1）投资收益率：单位投资取得的收益(不考虑时间因素)；投资收益率＝投资收益／投资成本×100％

2）通货膨胀率：货币贬值可能带来损失的补偿；3）风险因素：对风险可能带来的损失的补偿。三、资金时间价值的度量——利息、利率

1、基本概念：利息——衡量资金时间价值的绝对尺度：

放弃资金使用权所得的报酬或占用资金所付出的代价，亦称子金。

占有资金者获得的净收益（利润）的一种再分配。利率（收益率）——衡量资金时间价值的相对尺度：

单位本金在单位时间内（一个计息周期）获得的利息。有年、月、日利率等，记作i。

i越大，表明资金增值越快。

投资者角度：生产产生的净收益与投资额之比。消费者角度：导致节余的诱导物，具有推迟消费的吸引力2、利息计算方法——单利和复利单利（SimpleInterest）：利息的计算是按本金乘以利率来计算和支付，利息本身不再计息。第n期末的本利和：本利和=本金（1+期数*利率）

F=P（1+n·i）注意：居民存款和国债均按单利计算例：借款10000元，期限4年，每年按单利计息，年利率i＝20％，求整个借款利息的总额和第4年末的本利和。n支付利息本利和0---100001200012000220001400032000160004200018000复利（CompoundInterest）：

利息的计算是按本金加上上期利息之和乘以利率来计算和支付。俗称“利滚利”注意：居民贷款和项目投资均按复利计算。例：借款10000元，期限4年，每年按复利计息，年利率i＝20％，求整个借款利息的总额和第4年末的本利和。n支付利息本利和0---100001200012000224001440032880172804345620736复利计息比较符合资金在社会再生产过程中运动的实际状况间断复利和连续复利间断复利：当计息周期为一定时间区间，按复利计息，称为间断复利；

按期（年、半年、月、周、日）计算复利的方法连续复利：当计息周期无限缩短，则称为连续复利；按瞬时计算复利的方法称为连续复利。连续复利较符合资金的运用规则，但计算太复杂四、名义利率与实际利率1、基本概念：(1)名义利率（Nominalinterestrate）：

利率的时间单位与计息期的时间单位不一致的年利率。用r表示——表面上或形式上的利率(2)实际利率（EffectiveInterestRate）：

利率的时间单位与计息期的时间单位相一致时的利率；(3)计息期实际利率：按计息期实际计算利息时所用的利率。(4)年实际利率i：与计息期实际利率等效的年利率2、名义利率与实际利率的关系（1）名义利率与计息期实际利率：计息期实际利率=名义利率/计息期的期数=r/m

（2）名义利率与年实际利率按单利计算：名义利率r=年实际利率i

按复利计算：名义利率r<年实际利率i，计息期的期数m越大，差额（i-r）越大当m→∞，即一年之中无限多次计息，称为连续复利计息，连续复利计息的年实际利率：

例：若本金1000元，年利率12%，每月计息一次，则按复利计算的名义利率、计息期实际利率、年实际利率及一年后本利和分别为多少？答：由题目可知，r=12%，m=12，p=4%，故：名义利率=12%；计息期实际利率=r/m=12%/12=1%

间断复利的年实际利率则：连续复利的年实际利率则：

本利和：F=P（1+i）=1000*（1+12.68%）=1126.83元计息周期一年计息周期数(m)年名义利率(r)%期利率(r/m)%年实际利率(i)%年112.00(已知)12.0012.000半年212.00(已知)6.0012.360季度412.00(已知)3.0012.551月1212.00(已知)1.0012.683周5212.00(已知)0.230812.736日36512.00(已知)0.0328812.748连续计息∞12.00(已知)→012.750第二节现金流量与资金等值计算一、现金流量（CashFlow）的概念指某一系统（如某投资项目或方案），在某一定时期内（如一年），向该系统流入或由该系统流出的货币数量。包括：

1）现金流出（CashOutflow）：系统在某一时期内支付的费用；

2）现金流入（CashInflow）：系统在某一时期内取得的费用；

3）净现金流量（NetCashFlow）：系统的现金流入与现金流出之差。例：对运输项目的经济评价来说：系统：指该运输项目本身在评价时要对其计算期限从建设期、生产期直到寿命终了的各年经济流量进行分析。现金流出：投资（包括固定资产投资和流动资金投资）、成本（经营成本）、税金等；现金流入：销售收入、期末时固定资产残值回收、流动资金回收等；净现金流量：将每一年现金流入与现金流出相抵。二、表示现金流量的工具1、现金流量图（CashFlowDiagram）概念：表示某一特定经济系统（项目）现金流入、流出与其发生时点对应关系的数轴图形。三要素:50000123455000i=10%b500大小:表示现金的数额——

用长度表示流向:表示项目的现金流入或流出——用箭头表示时间点:表示现金流入或流出所发生的时间现金流量图的绘制：①先画一横轴表示时间轴，将横轴分为n等份。自左向右时间递增，表示时间的历程。

每一等分代表一个时间单位，以计息期时间单位为准,可以是年、半年、季、月或天，一般以年为单位，用0，1，2，3，…，n表示。

注意：在分段点所定的时间通常表示该时点末（某年末），同时也表示为下一个时点初（下一年的年初）0123456….n-1n(年)②描述各时点上系统所发生的现金流量与横轴垂直向下的箭头代表现金流出(费用)，向上的箭头则代表现金流入(收益)，线段的长短与金额的大小成比例。现金流入与现金流出所发生的具体时间定在期初（年初）或期末（年末）。假定项目的投资或支出定在年初发生,而将逐年所发生的经营成本（费用）、销售收入（收益）均定在年末发生。+-收入支出0123456….n-1n(年)③利率标注于水平线上方。+－收入支出0123456….n-1n(年)i=?%注意：现金流量图与选择的对象有关。例：假设有某项贷款为5000元，偿还期为5年，年利率为10%，偿还方式有两种：一是到期本利一次偿还；二是每年付息，到期一次还本。就两种方式画现金流量图。

以贷款者为对象，该系统现金流量图：50000123458055i=10%a50000123455000i=10%b500

以借款者为对象，该系统现金流量图：50000123458053i=10%a50000123455000i=10%b5002.现金流量表（CashFlowStatement）序号项目计算期合计123……n1现金流入1.12现金流出2.13净现金流量三、资金的等值计算1、资金等值（EconomicEquivalence）的概念是指在考虑资金时间价值因素后，不同时点上数额不等的资金在一定利率条件下具有相等的价值。

不同时点上数额不等的资金如果等值，则它们在任何时点上也必然等值。

例：现在的100元与一年后的110元，其数额并不相等，但如果年利率为10％，则两者是“等值”的。因为，现在的100元，在10％利率下，一年后的本金与资金时间价值两者之和为110元。同样，一年后的110元在年利率为10％的情况下等值于现在的100元。2、影响资金等值的因素（1）资金数额大小（2）利率大小（3）计息期数例：在上例中把100元的资金换成200元，年利率还是10%，则一年后的等值为220元，而不是110元；或者，其他条件不变，年利率降为5%，则一年后的等值为105元。同样，100元二年后的等值则变为121元。1、相关概念现值（PresentValue）：指资金“现在”的价值。注意：“现值”是一个相对的概念。一般地说，将t＋k时点上发生的资金折现到第t个时点所得的等值金额就是第t＋k个时点上资金金额在t时点的现值，用符号P表示。终值（Futurevalue）：现值在未来时点上的等值资金，用符号F表示。等年值（Annualvalue）：指分期等额收支的资金值，用符号A表示。第三节资金等值计算公式及其应用二、复利计算公式分类①一次支付经济活动：即在整个时期现金流入和流出分别只有一次的现金流量。②多次支付经济活动：即在整个时期现金流入和流出各有多次的现金流量情况。根据每次支付是否相等及是否连续，又分为等额连续支付和不等额连续支付及等额不连续支付和不等额连续支付。③等差支付序列：即每相邻两期支付按一个定数增加或减少的现金流量数列。④等比支付序列：即每相邻两期支付按一个定比增加或减少的现金流量数列一次性支付(整付)型（SinglePayment）：支付系列中的现金流量，无论是流出或是流入，均在一个时点上一次性全部发生。①一次性支付终值公式（已知P求F）若现在存入银行P元，年利率为i，n年后拥有本利和多少？

F＝P(1＋i)n

系数(1＋i)n称为一次支付终值系数，记为(F/P,i,n)，其值可查附表。P已知0nF=？12②一次支付现值公式（已知F求P）已知n年后一笔资金F，在年利率i下，相当于现在多少钱？

系数称为一次支付现值系数，记为(P/F,i,n)，其值可查附表。P=？0nF已知12查附表求：（F/P,5%,30）=？（P/F,5%,30）=？（F/P,15%,40）=？（P/F,15%,40）=？一次支付终值公式的逆运算思考：当i或n未知时该如何利用复利表等额支付型（UniformSeriesPayments）①等额支付终值公式（已知A求F）如果某人每年末存入资金A元,年利率为i，n年后资金的本利和（本息）为多少?

系数称为等额支付终值系数，用（F/A,i,n）表示，其值可由附表查出。A已知01234n-2n-1nF=？注意：第一次等额支付位于第1年末，最后一次支付位于第n年末，终值位于第n年末例：某运输企业为将来的技术改造筹集资金，每年年末用利润留成存入银行30万元，欲连续积存5年，银行复利利率为8%，问该公司5年末能用于技术改造的资金为多少？现金流量图如下所示：A=30万元012345F=？i=8%解：由题可知，A=30万元，n=5年，i=8%

根据等额支付终值系数计算可得：∴5年末用于技术改造的资金为176.01万元②等额支付偿债基金公式（已知F求A）偿债基金公式是等额支付终值公式的逆运算，即已知终值F，求与之等价的等额年值A。

系数为等额支付偿债基金系数，用符号（A/F,i,n）表示，其值可查附表。A=？01234n-2n-1nF已知查附表求：（F/A,8%,15）=？（A/F,8%,15）=？注意事项：在使用等额支付终值公式和等额支付偿债基金公式计算时，必须注意现金流量发生的时间点。如果出现如下图所示现金流量，应对公式进行一定变换。区别：等额支付终值和偿债基金公式中的A是从第1年末开始的，而左图是从第1年初开始的AF01234n-2n-1ni③等额支付现值公式（已知A求P）从第1年末到第n年末有一个等额的现金流序列，每年的金额均为A，这一等额年金序列在利率为i的条件下，其现值是多少？

其中，系数为等额支付现值系数，记为(P/A,i,n)，值可查附表。01234n-2n-1nP=？A已知例：某运输设备的经济寿命为8年，预计年净收益20万元，残值为0，若投资者要求的年收益率为20％，问投资者最多愿意出多少的价格购买该设备？

分析：该问题等同于在银行利率为20％条件下，若存款者连续8年每年从银行取出20万元，则现在应存入银行多少钱？即求等额支付现值。解：由题可知：A=20万元，n=8年，i=20%，求P

根据等额支付现值公式得:

所以，投资者最多愿意出76.74万元。④资本回收公式（已知P求A）银行现提供贷款P元，年利率为i，要求在n年内等额分期回收全部贷款，问每年末应回收多少资金？这是已知现值P求年金A的问题。称为等额支付资本回收系数，记为(A/P,i,n)，其值可查附表。P已知0123n-2n-1nA=？为等额支付现值的逆运算查附表求：（P/A,30%,10）=？（A/P,30%,10）=？实例：某人为购买商品房而向银行贷款10万元，年利率为12%，按月计息，贷款周期为5年，现有两种还款方式:(1)等额本息还款；

(2)等额本金还款，求两种方式每期应偿还利息与本金各为多少？分析:(1)等额本息还款：是在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)，即前面所述的等额支付资金回收（已知P求A）。

(2)等额本金还款：是将本金每月等额偿还，然后根据剩余本金计算利息。解：由题目可知，年利率为12%，月实际利率则为1%，5年还款期按月计算共60期，即n=60；P=10万元第一种方式：根据资本回收公式可知（已知P求A）：期数应还本金应还利息月还款额贷款余额010000011224.441000.002224.4498775.5621236.69987.762224.4497538.8731249.06975.392224.4496289.8141261.55962.902224.4495028.26………2224.44…592180.6143.832224.442202.42602202.4222.022224.440.00合计10000033466.68133466.4月还款额相同，月还本金逐月递增，而月还利息随着贷款余额的减少而逐月减少。第二种方式：即每月归还的本金相同

月还本金额

=贷款总额/贷款期数

=100000/60=1666.67元月还利息=月初剩余贷款*月利率=贷款总额×(1-(还款月数-1)÷还款次数)×月利率

月还款额=月还本金+月还利息这种还款方式属于等差数列支付型期数应还本金应还利息月还款额贷款余额010000011666.671000.002666.6798333.3321666.67983.332650.0096666.6631666.67966.672633.3394999.9941666.67950.00261