集合的基本运算同步练习（含答案）2

课时2补集1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)∁UU＝∅，∁U∅＝U.(√)(2)若A⊆B⊆U，则∁UA⊇∁UB.(√)题型1补集的运算2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁UA＝(C)A．∅ B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}3．设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<0}，则∁UM＝(A)A．{x|0≤x≤2} B．{x|0<x<2}C．{x|x<0或x>2} D．{x|x≤0或x≥2}4．已知全集U＝{x|－5<x<5，x∈Z}，A＝{0,1,2}，则∁UA＝__{－4，－3，－2，－1,3,4}__．解析：易知U＝{－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4}，A＝{0,1,2}，故∁UA＝{－4，－3，－2，－1,3,4}．题型2集合的交、并、补的综合运算5．[2019·全国卷Ⅰ]已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA＝(C)A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}解析：由已知得∁UA＝{1,6,7}，所以B∩∁UA＝{6,7}．6．如图阴影部分表示的集合是(A)A．A∩(∁UB) B．(∁UA)∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)解析：由Venn图可知，阴影部分在集合B外，同时在集合A内，应是A∩(∁UB)．7．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“⊕”，满足X⊕Y＝(∁UX)∪Y，则对于任意集合X，Y，Z，则X⊕(Y⊕Z)＝(D)A．(X∪Y)∪(∁UZ)B．(X∩Y)∪(∁UZ)C．[(∁UX)∪(∁UY)]∩ZD．(∁UX)∪[(∁UY)∪Z]解析：根据运算“⊕”的定义可得，Y⊕Z＝(∁UY)∪Z，所以X⊕(Y⊕Z)＝(∁UX)∪[(∁UY)∪Z]．8．已知集合P＝{x|x>0}，Q＝{x|－1<x<1}，那么(∁RP)∩Q＝(C)A．{x|x>－1} B．{x|0<x<1}C．{x|－1<x≤0} D．{x|－1<x<1}解析：因为P＝{x|x>0}，所以∁RP＝{x|x≤0}．因为Q＝{x|－1<x<1}，所以(∁RP)∩Q＝{x|－1<x≤0}．题型3利用补集运算求参数9．已知全集U＝{x|－2020≤x≤2020}，A＝{x|0<x<a}，若∁UA≠U，则实数a的取值范围是(D)A．a<2020 B．a≤2020C．a≥2020 D．0<a≤2020解析：由题意知A≠∅，且A⊆U，因此a>0，且a≤2020，故a的取值范围是0<a≤2020.10．设U＝R，N＝{x|－2<x<2}，M＝{x|a－1<x<a＋1}，若∁UN是∁UM的真子集，则实数a的取值范围是(D)A．－1<a<1 B．－1≤a<1C．－1<a≤1 D．－1≤a≤1解析：因为∁UN是∁UM的真子集，所以M是N的真子集，所以a－1≥－2且a＋1≤2，解得－1≤a≤1.11．设S＝{1,2,3,4}，且M＝{x∈S|x2－5x＋p＝0}，若∁SM＝{1,4}，则p＝__6__.解析：由题意知M＝{2,3}，所以p＝2×3＝6.12．设全集为R，A＝{x|x<0或x≥1}，B＝{x|x≥a}，若∁RA⊆∁RB，则a的取值范围是__{a|a≥1}__．解析：∁RA＝{x|0≤x<1}，∁RB＝{x|x<a}．又∁RA⊆∁RB，结合数轴(图略)，可得a≥1.易错点忽视空集或补集的性质易致错13．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－5x＋q＝0}，A⊆U，求∁UA及q的值．解：①若A＝∅，则∁UA＝U，此时方程x2－5x＋q＝0无实数解，所以Δ<0，即25－4q<0，所以q>eq\f(25,4).②若A≠∅，由于方程x2－5x＋q＝0的两根之和为5，又由于两根只能从1,2,3,4,5中取值，因此A＝{1,4}或{2,3}．当A＝{1,4}时，∁UA＝{2,3,5}，q＝4；当A＝{2,3}时，∁UA＝{1,4,5}，q＝6.[误区警示]本题容易忽略A＝∅的情况，从而导致漏解．当A≠∅时，由方程x2－5x＋q＝0的两根之和为5，从而准确的确定集合A是关键．(限时30分钟)一、选择题1．[2020·全国卷Ⅱ]已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则∁U(A∪B)＝(A)A．{－2,3} B．{－2,2,3}C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3}解析：因为A∪B＝{－1,0,1}∪{1,2}＝{－1,0,1,2}，所以∁U(A∪B)＝{－2,3}．故选A.2．已知全集U＝R，集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|x2－2x＝0}，则图中的阴影部分表示的集合为(B)A．{－1} B．{2}C．{1,2} D．{0,2}解析：由已知得B＝{0,2}，故图中阴影部分对应的集合为B∩∁UA＝{0,2}∩{x|x≠－1，且x≠0，且x≠1}＝{2}．3．设全集U(U≠∅)和集合M，N，P，且M＝∁UN，N＝∁UP，则M与P的关系是(B)A．M＝∁UP B．M＝PC．MP D．M⃘P解析：因为M＝∁UN，N＝∁UP，所以M＝∁UN＝∁U(∁UP)＝P.4．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1<9}，则∁UA等于(D)A．{x|x<0或x>4} B．{x|x≤0或x>4}C．{x|x≤0或x≥4} D．{x|x<0或x≥4}解析：因为U＝R，A＝{x|0≤x<4}，所以∁UA＝{x|x<0或x≥4}．5．设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝(B)A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}解析：因为集合B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x<1}，所以A∩(∁RB)＝{x|0<x<1}．6．(多选题)设全集为U，则图中的阴影部分可以表示为(AB)A．∁U(A∪B) B．(∁UA)∩(∁UB)C．∁U(A∩B) D．A∪(∁UB)解析：阴影部分的元素是由不属于集合A且不属于集合B的元素构成，即元素x∈U但x∉A，x∉B，即x∈(∁UA)∩(∁UB)，即x∈∁U(A∪B)．7．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)＝(A)A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅解析：由U＝{1,2,3,4}，且∁U(A∪B)＝{4}，得A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中一定有元素3，没有元素4，所以A∩(∁UB)＝{3}．8．(多选题)设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9}，∁UA＝{5,7}，则a的值是(AB)A．2 B．8C．－2 D．－8解析：因为A∪(∁UA)＝U，所以|a－5|＝3，解得a＝2或8.9．设U＝{1,2,3,4,5}，若A∩B＝{2}，(∁UA)∩B＝{4}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,5}，则下列结论正确的是(B)A．3∉A且3∉B B．3∈A且3∉BC．3∉A且3∈B D．3∈A且3∈B解析：由题意画出Venn图．由Venn图可得A＝{2,3}，B＝{2,4}，所以3∈A且3∉B.二、填空题10．(1)设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x<3}，则∁UA＝__{x|x<0或x≥3}__；(2)设全集U＝{三角形}，集合A＝{直角三角形}，则∁UA＝__{锐角三角形或钝角三角形}__．11．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁UA＝__{2}__．解析：若x＝2，则x2－2＝2，U＝{1,2,2}，与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．故U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，则∁UA＝{2}．12．已知全集U＝{x∈N*|x≤9}，(∁UA)∩B＝{1,6}，A∩(∁UB)＝{2,3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,5,7,8}，则A＝__{2,3,9}__，B＝__{1,6,9}__．解析：全集U＝{x∈N*|x≤9}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由题意作出Venn图．由Venn图得A＝{2,3,9}，B＝{1,6,9}．13．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是__{a|a≥2}__．解析：因为∁RB＝{x|x≤1或x≥2}，又A＝{x|x<a}，在数轴上表示集合∁RB，A(图略)，可知当a≥2时，A∪(∁RB)＝R.三、解答题14．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，且(∁UA)∪B＝{1,3,4,5}，求m＋n的值．解：因为U＝{1,2,3,4,5}，(∁UA)∪B＝{1,3,4,5}．所以2∈A，又A＝{x|x2－5x＋m＝0}，所以2是关于x的方程x2－5x＋m＝0的一个根，所以m＝6且A＝{2,3}，所以∁UA＝{1,4,5}．而(∁UA)∪B＝{1,3,4,5}，所以3∈B.又B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，所以3一定是关于x的方程x2＋nx＋12＝0的一个根，所以n＝－7且B＝{3,4}，所以m＋n＝－1.15．已知集合A＝{x|x<－3或x>2}，B＝{x|－4≤x－2<2}．(1)求A∩B，(∁RA)∪(∁RB)；(2)若集合M＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}是集合A的真子集，求实数k的取值范围．解：(1)因为B＝{x|－4≤x－2<2}＝{x|－2≤x<4}，且A＝{x|x<－3或x>2}，所