空间直线平面的垂直【新教材】2022年人教A版高中数学必修讲义

空间直线、平面的垂直空间直线、平面的垂直1、了解求异面直线所形成的角的步骤2、掌握直线与平面垂直的证明方法探索新知3、理解平面与平面垂直的证明方法探索新知一、直线与直线垂直两条异面直线所成的角的定义已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O分别作直线，，把直线，所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，直线a与直线b垂直，记作a⊥b异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的取值范围是直线与平面垂直1.定义：一般地，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作直线叫做平面的垂点，平面叫做直线的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足2.点到平面的距离（1）过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条（2）定义：过一点做垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离3.直线与平面垂直判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直4.直线与平面垂直性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行5.直线与平面、平面与平面之间的距离（1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面的距离6.直线与平面所成的角一条直线1与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线A0叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角7.直线与平面所成角的范围(1）一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°(2）直线与平面所成的角的取值范围是0°≤0≤90°(3)斜线与平面所成的角是斜线与平面中所有直线所成角中最小的角.三、平面与平面垂直1.二面角如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面二面角的记法棱为AB,面分别为的二面角记作二面角在内（棱以外的半平面部分）分别取P,Q，将这个二面角记作二面角(3)如果棱记作,那么这个二面角记作二面角或二面角二面角的平面角如图,在二面角的棱上任取一点O,以点O为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的度量(1)二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.(2)二面角的平面角的取值范围是2.平面与平面垂直平面与平面垂直的定义定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面与垂直,记作(2)画法:如图,画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直平面与平面垂直的判定及性质自然语言符号语言判定定理如果一个平面过另个平面的垂线,那么这两个平面垂直性质定理两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直概念辨析概念辨析思考1思考11.如图，在四棱锥P-ABCD的展开图中，点P分别对应点P1，P2，P3，P4，已知A，D均在线段P1P3上，且P1P（1）若M为线段BC的中点，证明：BC⊥平面PDM.（2）求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】（1）证明：由P1P3⊥P2C，P因为AD∩CD=D，所以PD⊥平面ABCD，则PD⊥BC.连接BD，取CD的中点E，连接BE，因为AB=1所以BC=CD，BE=AD=3CE，所以从而△BCD为正三角形，又因为M为BC的中点，所以DM⊥BC.又因为PD∩DM=D，PD,DM⊂平面PDM，所以BC⊥平面PDM（2）解：以D为坐标原点，以DA的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设AB=1，则D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,1,0)，从而PB=(3,1,-1)，BC设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)则{n⋅PB令x=1，得n=(1,平面PAB的法向量m=(则{m⋅PB=0m⋅AB=0，即所以cos〈由图可知二面角A-PB-C为钝角，故二面角A-PB-C的余弦值为-7【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】(1)根据题意与线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由正三角的性质即可得出线线垂直然后与线面垂直的判定定理即可的得证出结论。

(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面PBC法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面PBC的法向量的坐标，同理即可求出平面PAB的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角A-PB-C的余弦值。思考2思考2

2.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PC⊥AC，BC⊥AC，AC=PC=2，CB=4，M是PA的中点．（Ⅰ）求证：PA⊥平面MBC；（Ⅱ）设点N是PB的中点，求二面角N-MC-B的余弦值．【答案】解：（Ⅰ）平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∵PA⊂平面PAC，∴BC⊥PA，∵AC=PC，M是PA的中点，∴CM⊥PA，∵CM∩BC=C，CM,BC⊂平面MBC，∴PA⊥平面MBC．（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PC⊂平面PAC，PC⊥AC∴PC⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴PC⊥BC，以C为原点，CA，CB，CP为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，A(2,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,0)，P(0,0,2)，M(1,0,1)，N(0,2,1)，则CM=(1,0,1)，CN=(0,2,1)，由（Ⅰ）知PA=(2,0,-2)是平面MBC设n=(x,y,z)是平面MNC则有{CM⋅n令y=1，则z=-2，x=2，∴n=(2,1,-2)设二面角N-MC-B所成角为θ，由图可得θ为锐角，则cosθ=|【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】（1）利用已知条件结合面面垂直的性质定理推出线线垂直，即BC⊥AC，再利用线线垂直证出线面垂直，即BC⊥平面PAC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即BC⊥PA，思考3因为AC=PC，M是PA的中点，再利用等腰三角形三线合一，进而推出线线垂直，即CM⊥PA，再利用线线垂直证出线面垂直，即证出PA⊥平面MBC。

（2）利用平面PAC⊥平面ABC，结合面面垂直的性质定理推出线线垂直，即PC⊥AC，再利用线线垂直证出线面垂直，即PC⊥平面ABC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即PC⊥BC，以C为原点，CA，CB，CP为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合中点的性质，从而求出二面角N-MC-B的余弦值。思考33.如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD,PD⊥AD,（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）过PD的平面交AB于点E,若平面PDE把四棱锥P-ABCD分成体积相等的两部分，求平面PAD与平面PCE所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明：如图，取AB的中点M,连结DM,DB，∵CD=1∴CD=MB，∵CD//∴四边形BCDM为平行四边形，∴DM=BC，∵四边形ABCD是等腰梯形，AB//∴DM=BC=AD，又AD=CD=1∴△AMD为等边三角形，∴∠DAM=∠DMA=60∴在等腰△MBD中，∠MBD=30∴在△ADB中，∠ADB=90不妨设2PD=2AD=2CD=AB=PB=2，则BD=3在△PBD中，BD=3∴PD∴PD⊥BD，又PD⊥AD,AD⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,AD∩BD=D，∴PD⊥平面ABCD，又PD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD

（2）解：∵PD⊥AD,PD⊥BD,AD⊥BD，∴以AD,BD,PD分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：设PD=1，∵平面PDE把四棱锥P-ABCD分成体积相等的两部分，三棱锥P-ADE的体积等于四棱锥P-BCDE，∴1∴S设梯形ABCD的高为h,AE=x则12解得x=3则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,0,1)，PN=(-∵y轴⊥平面PAD,∴平面PAD的一个法向量为n=(0,1,0)设平面PCE的一个法向量为m=(x,y,z)则{m即{-取x=-3,则∴m∴cos∴平面PAD与平面PCE所成锐二面角的余弦值为64【考点】平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】（1）作DF⊥AB交AB于点F，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求出BD，然后由勾股定理可证PD⊥BD，再利用线面垂直的判定定理可证PD⊥平面ABCD，由面面垂直的判断定理证明即可；

（2）利用平面PDE把四棱锥P-ABCD分成体积相等的两部分，可得S△ADE思考4思考44.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD=3，AB=5，（1）求证：平面DBE⊥平面ADD（2）求直线AD1和平面【答案】（1）证明：由题意可得BD所以AD2+B在直四棱柱ABCD-ADD1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD又因为AD∩DD1=D，AD,DD1⊂平面因为BD⊂平面DBE，所以平面DBE⊥平面ADD（2）解：由（1）知，DA，DB，DD以D为原点，DA，DB，DD1所在直线为x，y，则D(0,0,0)，A(3,0,0)，D1(0,0,4)，由AB=DC可得C(-3,4,0)，所以则AD1=(-3,0,4)，DB设n=(x,y,z)是平面BDE则{DB令x=2，可得n=(2,0,3)设直线AD1和平面BDE所成的角为则sinθ=|【考点】平面与平面垂直的判定，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】（1）利用已知条件结合余弦定理和勾股定理，进而证出线线垂直，即AD⊥BD，在直四棱柱ABCD-A1B1C

DD1⊥BD，再利用线线垂直证出线面垂直，所以BD⊥平面ADD1，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面DBE⊥平面ADD1。

（2）由（1）知，DA，DB，DD1两两垂直，以D为原点，DA，DB，DD11.已知m，n为两条不同的直线，α和β是两个不同的平面，下列为真命题的是（

）A.

m⊥n,m//α⇒n⊥α

B.

n//β,β⊥α⇒n⊥αC.

m//n,m⊥β⇒n⊥β

D.

m//α,n⊂α⇒m//n2.设m，n是两条不同的直线，α,β是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（

）①m⊥nn⊂α}⇒m⊥α

②m⊥αm⊂β}⇒α⊥β

③A.

①②

B.

①④

C.

②③

D.

②④3.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（

）A.

若m//α,n//α,则m//n

B.

若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C.

若m⊥α，m⊥n，则n//α

D.

若m//α，m⊥n，则n⊥α4.设m,n是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：⑴若α⊥β,β⊥γ，则α//γ（2）若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n（3）若m//α,n⊂α，则m//n（4）若α//β,γ∩α=m,γ∩β=n，则m//n其中正确命题个数是﹙

﹚A.

1

B.

2

C.

3