直线与平面垂直的性质【新教材】2022年人教A版高中数学必修复习巩固训练Word含答案

直线与平面垂直的性质一、知识梳理1.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线______。2.直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上__________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。3.两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内__________到另一个平面的距离相等，把它叫做两个平行平面间的距离。二、重要题型知识点一：直线与平面垂直的性质1.已知m,n表示两条不同的直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.知识点二：平行、垂直关系的综合问题3．给出下列命题：①a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；②a⊥α，a∥b⇒b⊥α；③a⊥α，b∥α⇒a⊥b；④a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α⇒a⊥α；⑤a∥α，a⊥b⇒b⊥α；⑥a⊥α，b⊥a⇒b∥α.其中真命题的个数是()A．3B．4C．5D．64.如图，在三棱锥A-BCD中，点E，F分别是BD，BC的中点，AB=AD，AE⊥BC.求证：(1)EF∥平面ACD.(2)AE⊥CD.三、巩固练习1．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心2．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l3.（多选题）如图,直线PA垂直于圆O所在的平面,△ABC内接于圆O,且AB为圆O的直径,点M为线段PB的中点.以下结论成立的是()⊥PC⊥平面ABCC.点B到平面PAC的距离等于线段BC的长D.三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半4.（多选题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段B1D1上的一个动点,则下列结论中正确的是()⊥BE∥平面ABCDC.三棱锥E-ABC的体积为定值⊥BC15．边长为a的正方形ABCD中，E为AB的中点，F为BC的中点，将△AED，△BEF和△DCF分别沿DE，EF和DF折起使A，B，C重合于一点A′，则三棱锥A′－EFD的体积为________．6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,则四个侧面△PAB,△PBC,△PCD,△PAD中,有个直角三角形.

7．(一题两空)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq\r(3)，那么P到平面ABC的距离为________，直线PC与平面ABC所成的角为________．8.如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,SA⊥底面ABCD,E,F分别是SD,SC的中点.求证:(1)BC⊥平面SAB;(2)EF⊥SD.9.已知四棱锥P­ABCD，PA⊥PB，PA＝PB＝eq\r(2)，AD⊥平面PAB，BC∥AD，BC＝3AD，直线CD与平面PAB所成角的大小为eq\f(π,4)，M是线段AB的中点．(1)求证：CD⊥平面PDM；(2)求点M到平面PCD的距离．（2）直线与平面垂直的性质答案一、知识梳理1.平行.2.任意一点.3.任意一点二、重要题型.A中,两条直线也可以相交或异面,故A错误;B中,描述的是线面垂直的性质,故B正确;C中,还会出现n⊂α的情况,故C错误;D中,还会出现n∥α,n与α相交或n在α内的情况,故D错误.2.证明：因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又MN⊥PC，PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.因为a⊥α，所以a垂直于平面α内的任意直线，所以①正确．若两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与这个平面垂直，所以②正确．由线面垂直，线线、线面平行的性质知，若a⊥α，b∥α，则a⊥b，所以③正确．由线面垂直的判定定理可知，④不正确．当a∥α，a⊥b时，b可能与α平行、垂直、斜交或b在α内，所以⑤不正确．当a⊥α，b⊥a时，b可能与α平行，b也可能在α内，故⑥不正确．4.证明：(1)因为点E，F分别是BD，BC的中点，所以EF∥CD，又因EF⊄平面ACD，CD⊂平面ACD，从而EF∥平面ACD.(2)因为点E是BD的中点，且AB=AD，所以AE⊥BD，又因为AE⊥BC，BC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，BC∩BD=B，故AE⊥平面BCD，因为CD⊂平面BCD，所以AE⊥CD.三、巩固练习设P在平面α内的射影为O，易证△PAO≌△PBO≌△PCO⇒AO＝BO＝CO.由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则交线平行于l，故选D..因为PA⊥圆O所在的平面,BC⊂圆O所在的平面,所以PA⊥BC,而BC⊥AC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,而PC⊂平面PAC,所以BC⊥PC,故A正确;因为点M为线段PB的中点,点O为线段AB的中点,所以OM∥PA,所以OM⊥平面ABC,故B正确;因为BC⊥平面PAC,所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长,故C正确;三棱锥M-PAC和三棱锥P-ABC均可以平面PAC为底面,此时M到底面的距离是B到底面距离的一半,故三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半,故D正确..对于A.因为在正方体中,AC⊥BD,AC⊥DD1,BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BB1D1D.因为BE⊂平面BB1D1D,所以AC⊥BE,所以A正确.对于B.因为B1D1∥平面ABCD,所以B1E∥平面ABCD成立,即B正确.对于C.三棱锥E-ABC的底面△ABC的面积为定值,锥体的高BB1为定值,所以锥体体积为定值,即C正确.对于D.因为D1C1⊥BC1,所以B1E⊥BC1错误.\f(a3,24)以等腰直角三角形A′EF为底，DA′为高，易求三棱锥的体积．因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,所以△PAB,△PAD为直角三角形,因为BC⊥PA,BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以△PBC为直角三角形,同理,△PDC为直角三角形,所以四个侧面三角形均为直角三角形.\r(2)eq\f(π,4)作PD，PE分别垂直于AC，BC，PO⊥平面ABC．连接CO，OD，知CD⊥PD，CD⊥PO，PD∩PO＝P，∴CD⊥平面PDO，OD⊂平面PDO，∴CD⊥OD．∵PD＝PE＝eq\r(3)，PC＝2，∴sin∠PCE＝sin∠PCD＝eq\f(\r(3),2)，∴∠PCB＝∠PCA＝60°.∴PO⊥CO，CO为∠ACB平分线，∴∠OCD＝45°，∴OD＝CD＝1，OC＝eq\r(2).又PC＝2，∴PO＝eq\r(4－2)＝eq\r(2).∴sin∠PCO＝eq\f(\r(2),2)，∴∠PCO＝eq\f(π,4).8.证明：(1)因为四棱锥S-ABCD的底面是矩形,所以AB⊥BC.因为SA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以SA⊥BC.又因为SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.(2)因为SA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥SA.又因为CD⊥AD,SA∩AD=A,所以CD⊥平面SAD.因为E,F分别是SD,SC的中点,所以EF∥CD,所以EF⊥平面SAD.又因为SD⊂平面SAD,所以EF⊥SD.9.解：(1)证明：∵AD⊥平面PAB，PM⊂平面PAB，∴AD⊥PM.∵PA＝PB＝eq\r(2)，M是线段AB的中点，∴PM⊥AB，又AD∩AB＝A，AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PM⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，∴PM⊥CD．取CB上点E，使得CE＝eq\f(1,3)CB，连接AE，∴AD∥CE且AD＝CE，∴四边形AECD为平行四边形，∴CD∥AE，∴直线CD与平面PAB所成角的大小等于直线AE与平面PAB所成角的大小，又AD⊥平面PAB，BC∥AD，∴BC⊥平面PAB，∴∠EAB为直线AE与平面PAB所成的角，∴∠EAB＝eq\f(π,4)，∴BE＝AB．∵PA＝PB＝eq\r(2)，PA⊥PB，∴AB＝2＝BE，∴AD＝1，BC＝3，CD＝2eq\r(2)，∴DM＝eq\r(2)，CM＝eq\r(10)，∴DM2＋DC2＝CM2，∴CD⊥DM.∵