中考数学二轮复习讲义 二次函数与角度

16/16二次函数与角度【教学目标】学习内容目标星级是否掌握二倍角问题★★★★☆☆相等角问题★★★★☆☆一、二倍角问题学习内容目标星级是否掌握二倍角问题★★★★☆☆【例题讲解】★★★例1.抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，为抛物线第一象限上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接，，若，求的面积；（3）如图2，连接，，若，求点的坐标．★★★练习1.如图，已知抛物线经过点和两点，与轴交于点，点为第一象限抛物线上的一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接，交于点，当时，求出点的坐标．（3）如图2，点的坐标为，点为轴正半轴上一点，，连接，是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．★★★例题2．如图1，抛物线过点，，与轴相交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）在轴正半轴上存在点，使得是等腰三角形，请求出点的坐标；（3）如图2，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，是否存在点，使得的某个角恰好等于的2倍？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．★★★练习1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点为直线上方抛物线上一动点；①连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，求的最大值；②过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．二、相等角问题学习内容目标星级是否掌握相等角问题★★★★☆☆【例题讲解】★★★例题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点的坐标为，直线恰好经过，两点（1）写出点的坐标；（2）求出抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴和点的坐标；（3）点在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为且，求点的坐标．★★★练习1．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点为，顶点为，对称轴与轴交于点．（1）求顶点的坐标（用含的代数式表示）；（2）当抛物线过点，且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点在第二象限时，如果，求的值．★★★例题2．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．（1）求抛物线的解析式及点的坐标；（2）点是抛物线上的动点，当时，求点的坐标；★★★练习1．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点为轴下方抛物线上的一动点，当时，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．★★★例题3.如图，点是直线：上的一点，过点作直线，使直线与抛物线有两个交点，设这两个交点为、（1）如果直线的解析式为，直接写出、的坐标；（2）如果已知点的坐标为，点、满足，试求直线的解析式；（3）设直线与轴的交点为，如果已知且，求点的坐标．★★★练习1.在平面直角坐标系中，已知、是抛物线上两个不同的点，其中在第二象限，在第一象限，（1）如图1所示，当直线与轴平行，，且时，求此抛物线的解析式和、两点的横坐标的乘积．（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线与轴不平行，仍为时，、两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若直线分别交直线，轴于点、，直线交轴于点，且，求点的坐标．【课后练习】【巩固练习】★★★1．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为．（1）直接写出点和点的坐标．（2）求抛物线的函数解析式．（3）为直线下方抛物线上一动点①连接交于点，若，求点的坐标．②是否存在点，使得的度数恰好是度数2倍，如果存在，求点的坐标，如果不存在，说明理由．★★★2．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．（1）求抛物线的解析式；（2）过点的直线交直线于点．①当时，过抛物线上一动点（不与点，重合），作直线的平行线交直线于点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标；②连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标．★★★3．如图，已知直线交轴、轴分别于点、，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过、两点，交轴于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线轴上方一点，，求点的坐标；（3）过点作的垂线交轴于点，平移直线交抛物线于点、两点，连结、．若为以为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．★★★4．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点，且经过点，一次函数的图象经过点和点．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与相交于点，点在线段上，与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，，求点的坐标．★★★5．已知二次函数的图象经过点，并与轴交于、两点（点在点的左边），为它的顶点，（1）试确定的值；（2）设点为线段上的一点，且满足，求直线的解析式；（3）在轴的正半轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．★★★6．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线的函数表达式；（3）为线段上一点，连接，，若，求的面积．★★★7．已知抛物线与轴交于点和点，顶点为．点在轴的负半轴上，且，点的坐标为，直线经过点、．（1）求抛物线的表达式；（2）点是直线在第三象限上的点，联结，且线段是线段、的比例中项，求的值；（3）在（2）的条件下，联结、，在直线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．★★★8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于点、，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接，点在抛物线的对称轴上，以为平面内一点，以点、、、为顶点的四边形能否成为矩形？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由；（3）在抛物线上有一点，过点、的直线交轴于点，连接，若，请直接写出点的坐标．★★★9．如图，已知抛物线与轴交于点、，与直线交轴于点，点是抛物线的顶点，且横坐标为．（1）求出抛物线的解析式．（2）判断的形状，并说明理由．（3）直线交轴于点，在线段上是否存在一点，使？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．★★★10．如图1，已知、、原点在抛物线上．（1）求抛物线的解析式．（2）将直线向下平移个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点，求的值及点的坐标．（3）如图2，若点在抛物线上，且，则在（2）的条件下，求出所有满足的点的坐标（点、、分别与点、、对应）★★★11．已知抛物线是常数）的顶点为，直线．（1）求证：点在直线上；（2）当时，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．与直线的另一个交点为，是轴下方抛物线上的一点，（如图），求点的坐标；（3）若以抛物线和直线的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的的值．★★★12．已知抛物线与轴交于．两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，点的坐标为．（1）求点的坐标；（2）如图1，连接，并延长交于点，求的度数；（3）如图2，已知点，点在轴下方的抛物线上，直线交线段于点，当时，求点的坐标．★★★13．如图，已知抛物线与轴交于，，与轴交于．（1）求抛物线的解析式；（2）是关于轴的对称点，是抛物线上的一点，当与相似时，求符合条件的点的坐标（求出两