平面几何中的向量方法【新教材】2022年人教A版高中数学必修练习（Word含答案解析）

平面几何中的向量方法练习一、单选题在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足OP=OA+12(ABA.2 B.1 C.12 D.已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AO=OC，DO=OB，则四边形ABCD一定为A.正方形 B.梯形 C.平行四边形 D.菱形如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC=150∘，点P在弧BC上运动，AP=λAB+μAC，则A.0 B.3 C.2 D.−1如下图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=3DC，若AD=λAB+μAC，则λμA.12

B.13

C.2

在△ABC中，向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)·A.等边三角形 B.直角三角形

C.等腰非等边三角形 D.等腰直角三角形如图所示，半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则PA+PB⋅A.2 B.0 C.−1 D.−2如图在梯形ABCD中，BC=2AD，DE=EC，设BA=a,BC=b，则BE=A.12a+14b

B.1如图，在△ABC中，AD = 2DB，AE = 3EC，CD与BE交于F，AF=xAB+yAC，则(x,y)为A.(13,12) B.

(−1在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EM·EC的取值范围是(

A.[12,2] B.[0当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|=|G|，则θ的值为(    )A.30° B.60° C.90° D.120°已知ΔABC中，AB=4,AC=3，∠A=π3，BC的中点为M，则AM⋅AB等于A.152 B.10 C.11 D.设O在△ABC的内部，且有OA+2OB+3OC=

0，则△ABC的面积和△AOCA.3 B.53 C.2 D.已知△ABC的外接圆的圆心为O，若AB+AC=2AO，且|OA|=|AC|=2A.34BC B.32BC C.二、单空题在四边形ABCD中，已知AB=(4,−2)，AC=(7,4)，AD=(3,6)，则四边形ABCD的面积是________如图，在△ABC中，已知AB=10，AC=5，，点M是边AB的中点，点N在直线AC上，且AC=3AN，直线CM与BN相交于点P，则线段AP的长为

．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB−OC|=|OB+OC−2点M在△ABC内部，满足2MA+3MB+4MC=在等腰梯形ABCD中，已知AB // DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且BE=23BC，DF=1在菱形ABCD中，∠DAB=60°，|AB|=1，则|BC+三、解答题如图平行四边形ABCD，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=13BD.求证：M，N，C三点共线．

如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为P．

(1)若，求AP的长；(2)设，，，，求的值．

在△ABC中，三边a，b，c的对角分别为A，B，C，已知a=3，．(1)若c=23，求sinA(2)若AB边上的中线长为372，求△ABC的面积．

答案和解析1.【答案】B

【解答】

解：由OP=OA+12(AB+AC)

可得OP−OA=12(AB+AC)，

即AP=12(AB+AC)，

可得点P是直角三角形斜边BC的中点，因为BC=2，

所以|AP|=1，

2.【答案】C

【解答】解：∵AB=AO+OB，DC=DO+OC，且AO=OC，DO=OB，

∴AB=DC，

∴AB//CD且AB=CD，

∴四边形ABCD一定为平行四边形．

3.【答案】D

【解答】

解：以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，如图，

设P(cosθ,sinθ)，0°≤θ≤150°，

4.【答案】B

【解答】

解：

因为BD=3DC，

则AD=AB+BD=AB+34BC

=AB+34(【解答】解：因为(ABAB+ACAC)·BC所以三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC．

又因为BABA所以∠ABC=45°，

所以三角形ABC是等腰直角三角形．

6.【答案】D【解答】解：由平行四边形法则得PA+PB=2PO，

故(PA+PB)·PC=2PO·PC，又|PC|=2−|PO|

且PO·PC反向，设|PO|=t(0≤t≤2)，

则(PA+PB)·PC=2PO·PC=−2t(2−t)

=2(t2−2t)=2[(t−1)2−1]．

∵0≤t≤2，

∴当t=1时，(PA+PB)·PC的最小值为−2．

7.【答案】D

【解答】

解：取BC中点F，连接FA，

因为在梯形ABCD中，BC=2AD，所以四边形ADCF是平行四边形，

所以FA//CD，FA=CD，

则BE=BC+CE=BC+12CD=BC+12FA

=BC+12(BA−BF)=BC+12(BA−12BC)

=12BA+34BC=12a+34b．

8.【答案】A

【解答】

解：∵AD=2DB，AE=3EC，

设BF=λBE，CF=μCD，

∴解：如图，|F又∵|F|=|G|，∴2cosθ2

11.【答案】C

【解答】

解：∵ΔABC中，AB=4,AC=3，∠A=π3，BC的中点为M，

∴AM⋅AB=12AB+AC⋅AB【解答】解：分别取AC、BC的中点D、E，

∵OA+2OB+3OC=0，

∴OA+OC=−2( OB+OC)，

即2OD=−4OE，

∴O是DE的一个三等分点，

∴S△AECS△AOC=DEDO=32，S△ABCS△AOC=31

13.【答案】A

【解答】

解：∵△ABC的外接圆的圆心为O，且AB+AC=2AO，∴O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，∴∠BAC=90°．

∵|OA|=|AC|=2，

∴△AOC是边长为2的等边三角形，

∴∠ACB=60°，∠ABC=30°，

∴|BA|=BC⋅sin 60∘=23，

∴向量BA在向量BC上的投影向量为．

14.【答案】30

【解答】

解：∵AB=(4,−2)，AC=(7,4)，AD=(3,6)，

∴AB⋅AD=4×3−2×6=0，BC=AC−AB=(3,6)=AD，DC=AC−AD=(4,2)=AB，

∴AB⊥AD，BC//AD，AB//DC，

∴四边形ABCD为矩形，

∵|AB|=42+(−2)2=20，|AD|=32+62=45【解答】

解：如图，延长MA到E，使得ME=2MA，延长MB到F，使得MF=3MB，以ME、MF为临边作平行四边形MEDF，连接AD、EF，

由2MA+3MB+4MC=0，

即2MA+3MB=−4MC，

所以MD=−4MC，

∴M、C、D三点共线，且MD=4MC，

所以S△MAC=14·S△MAD=18S△MED=116S▱MEDF，

S△MAB=16S△MEF=112S▱MEDF，

所以S△MAC︰S△MAB=116：112=3:4，

故答案为3︰4．

18.【答案】2918

【解答】

解：以AB所在直线为x轴，A为原点建立如图所示的坐标系，

【解答】解：如图，

|BC+DC|=AD+AB=|AC|，

在Rt△AOB中，AB=1，∠OAB=30°，

AC=2AO=2AB·cos 30°=3．

故答案为：3．

20.【答案】证明：由于MC=MB+所以M，N，C三点共线．21.【答案】解：，

解得．，且B,P,O三点共线，

∴x+2y=1①，

又，，，

，

由可知，

展开化简得到，

联立①②解得，，故．22.【答案】

解：(1)因为cosB+cosAcosCsinBcosC=3ab，

由正弦定理，得cosB+