平面向量基本定理及坐标表示【新教材】人教A版高中数学必修同步讲义Word

第六章平面向量及其应用平面向量的运算平面向量数量积的坐标表示【课程标准】能用坐标表示平面向量的数量积，会求两个平面向量的夹角会用两个向量的的坐标判断他们是否垂直会利用平面向量的数量积解决判断图形形状的问题，进一步体会数形结合的思想方法【知识要点归纳】1．平面向量数量积的坐标表示已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．注意：公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．2．两个公式、一个充要条件(1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则|a|＝．(2)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则．(3)两个向量垂直的充要条件设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．（4）距离公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，，即A，B两点间的距离为【经典例题】例题1.已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.①求a的坐标；②若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c.【答案】①a＝(2,4)．②0，(20，－10)．数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解例题2：(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于()A．4B．5C．35 D．45(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：①向量a的模；②与a平行的单位向量的坐标；③与a垂直的单位向量的坐标求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.例题3.已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值。【解】(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝42＋32＝5，|b|＝（－1）2＋22＝5，设a与b的夹角为θ，所以cosθ＝a·b|a||b|＝25\r(5)＝5)25.(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.注意：（1）利用数量积求两向量夹角的步骤（2）涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．例题4．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形解析：选A.由题设知＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)，所以·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥.所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．【当堂检测】一．选择题（共4小题）1．已知两个向量，则的最大值是A．2 B． C．4 D．2．设，，则下列命题中错误的是A． B． C． D．3．已知向量，，那么向量与的位置关系是A．平行 B．垂直 C．夹角是锐角 D．夹角是钝角4．设向量，，，且，则A．3 B．2 C． D．二．填空题（共4小题）5．已知向量，的夹角为，若，，则．6．已知向量，满足，，则与的夹角的余弦值为．7．已知的三个顶点的坐标分别为、、，则的重心坐标为．8．已知向量，，若与夹角为钝角，则的取值范围是．（用区间表示）三．解答题（共2小题）9．已知向量，．（1）若，求的坐标；（2）若与垂直，求的值．10．已知点，，及．（1）为何值时，点在第二象限？（2）四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由．

当堂检测答案一．选择题（共4小题）1．已知两个向量，则的最大值是A．2 B． C．4 D．【分析】根据向量的线性运算得到的表达式，再由向量模的求法，利用正弦和余弦函数的公式进行化简，即可求出答案．【解答】解：向量，，，，当时，取“”，的最大值为4．故选：．【点评】本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及三角函数公式的应用问题，是基础题目．2．设，，则下列命题中错误的是A． B． C． D．【分析】直接利用向量模判断的正误；向量的数量积公式判断的正误；向量的垂直判断的正误；向量共线判断的正误．【解答】解：由向量的模可知：正确，向量的数量积坐标运算公式可知正确；向量垂直数量积为0可知正确；向量共线的坐标运算可知不正确；故选：．【点评】本题考查向量的基本知识，垂直以及共线的由条件，数量积的运算，考查基本知识的应用．3．已知向量，，那么向量与的位置关系是A．平行 B．垂直 C．夹角是锐角 D．夹角是钝角【分析】可先求出，从而可判断出与不平行，然后可求出，从而可得出与的位置关系．【解答】解：，，与不平行，又，与的夹角是钝角．故选：．【点评】本题考查了向量坐标的减法和数量积的运算，向量数量积的计算公式，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．4．设向量，，，且，则A．3 B．2 C． D．【分析】利用，列出含的方程即可．【解答】解：因为，又因为，所以，，，解得，故选：．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．二．填空题（共4小题）5．已知向量，的夹角为，若，，则．【分析】可得出，从而可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出的值．【解答】解：，，．故答案为：．【点评】本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．6．已知向量，满足，，则与的夹角的余弦值为．【分析】根据平面向量的数量积运算，求出对应的模长与夹角即可．【解答】解：由，，得，，，与夹角的余弦值为．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹角运算问题，是基础题．7．已知的三个顶点的坐标分别为、、，则的重心坐标为，．【分析】设出三角形三个顶点的坐标，根据所给的三边的中点坐标和中点的坐标公式，得到六个关系式，把含有相同变量的三个关系式相加，得到三个顶点的坐标之和，即出现了重心的坐标的表示式，得到结果即可．【解答】解：设，，，，，，则重心坐标为，．故答案为：，【点评】本题考查三角形的重心坐标公式，本题解题时看起来比较复杂，但是在解题过程中注意观察出现的结果，不用求出三个顶点的坐标，而是以整体形势来处理．8．已知向量，，若与夹角为钝角，则的取值范围是．（用区间表示）【分析】根据平面向量与夹角为钝角知，由此求出的取值范围．【解答】解：向量，，若与夹角为钝角，则，，解得且，的取值范围是，，．故答案为：，，．【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹角公式的应用问题，是基础题．三．解答题（共2小题）9．已知向量，．（1）若，求的坐标；（2）若与垂直，求的值．【分析】（1）直接由向量的数乘及减法运算求解；（2）由向量的数乘及减法运算求得的坐标，再由向量垂直的坐标运算求解．【解答】解：（1），，，，，；（2），，，，与垂直，，即．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，是基础题．10．已知点，，及．（1）为何值时