对数函数的概念同步练习（含答案）

对数函数对数函数的概念1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)y＝log2x2与y＝logx3都不是对数函数．(√)(2)函数y＝loga(x＋1)的定义域为(0，＋∞)．(×)(3)若对数函数满足f(2)＝1，则f(x)＝log2x.(√)(4)函数f(x)＝log2xeq\f(1,3)＋5是对数函数．(×)题型1对数函数的概念2．下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(eq\r(3)－1)x；④y＝eq\f(1,3)＋log3x；⑤y＝logxeq\r(3)(x>0，且x≠1)；⑥y＝logeq\f(2,π)x.其中是对数函数的为(D)A．③④⑤ B．②④⑥C．①③⑤⑥ D．③⑥解析：①②④不满足对数函数解析式的特征，⑤中真数是常数，故只有③⑥是对数函数．3．(多选题)下列函数是对数函数的是(CD)A．y＝log3(x＋1)B．y＝loga(2x)(a>0且a≠1)C．y＝lnxD．y＝logeq\r(2)x解析：形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数为对数函数，C，D满足条件．4．若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝__4__.解析：因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，,a2－5a＋4＝0，))解得a＝4.题型2对数函数的解析式及应用5．对数函数的图象过点(16,4)，则此对数函数的解析式为(D)A．y＝log4x B．y＝logeq\f(1,4)xC．y＝logeq\f(1,2)x D．y＝log2x解析：设对数函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)．因为函数的图象经过点(16,4)，所以4＝loga16，所以a4＝16，解得a＝2，所以此对数函数的解析式为y＝log2x.6．对数函数f(x)的图象过P(8,3)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝__－1__.解析：设对数函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)．因为函数图象过P(8,3)，所以f(8)＝loga8＝3，解得a＝2，所以f(x)＝log2x，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log2eq\f(1,2)＝－1.7．若对数函数f(x)与幂函数g(x)的图象相交于一点(2,4)，则f(4)＋g(4)＝__24__.解析：设f(x)＝logax，g(x)＝xα.因为对数函数f(x)与幂函数g(x)的图象相交于一点(2,4)，所以f(2)＝loga2＝4，g(2)＝2α＝4，所以f(4)＝loga4＝2loga2＝2×4＝8，g(4)＝4α＝(2α)2＝42＝16，所以f(4)＋g(4)＝8＋16＝24.题型3对数函数的定义域8．(多选题)函数y＝lg(x－1)＋lg(x－2)的定义域为M，函数y＝lg(x2－3x＋2)的定义域为N，则(AD)A．M⊆N B．N⊆MC．M∪N＝M D．M∩N＝M解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,x－2>0，))解得x>2，所以M＝{x|x>2}．由x2－3x＋2>0，即(x－1)(x－2)>0，解得x<1或x>2，所以N＝{x|x<1或x>2}，故M⊆N，M∩N＝M.9．函数f(x)＝log2(3x－1)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).解析：由3x－1>0，解得x>eq\f(1,3)，所以定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).10．函数f(x)＝eq\f(\r(3－x),lgx－1)的定义域为__(1,2)∪(2,3]__．解析：由二次根式及分式有意义条件，结合对数函数的定义域可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x－1>0，,lgx－1≠0，))解得1<x<2或2<x≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．易错点1忽视对数函数底数的取值范围致错11．函数y＝log(x－3)(x＋1)的定义域为(B)A．(－∞，3] B．(3,4)∪(4，＋∞)C．(4，＋∞) D．(3,4)解析：由对数函数的定义可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,x－3>0，,x－3≠1，))解得3<x<4或x>4.故选B.[误区警示]对数函数的底数满足a>0且a≠1，所以本题不要忽视x－3>0且x－3≠1.易错点2忽视对二次项系数的讨论致错12．已知函数f(x)＝lg(mx2－mx－m＋3)的定义域为R，求实数m的取值范围．解：函数f(x)＝lg(mx2－mx－m＋3)的定义域为R等价于对于任意的实数x∈R，mx2－mx－m＋3>0恒成立．当m＝0时，不等式成立；当m≠0时，等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ＝－m2－4m－m＋3<0，))解得0<m<eq\f(12,5).综上，实数m的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5))).[误区警示]当二次式的二次项系数含有字母时，若用判别式解题，一定要讨论二次项系数等于0和不等于0两种情况．(限时30分钟)一、选择题1．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为(A)A．y＝log2x B．y＝log4xC．y＝logeq\f(1,2)x D．不确定解析：设对数函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)，由题意可知loga4＝2，所以a2＝4，所以a＝2.所以该对数函数的解析式为y＝log2x.2．已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a的值为(A)A．－7 B．7C．－8 D．－9解析：由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.3．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ex－1，x<2，,log3x2－1，x≥2，))则f(f(2))的值为(C)A．0 B．1C．2 D．3解析：由题意得f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，则f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2e0＝2.4．函数y＝eq\f(1,log\s\do5(\f(1,2))4x－3)的定义域为(B)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))∪(1，＋∞)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\s\do5(\f(1,2))4x－3≠0，,4x－3>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠1，,x>\f(3,4)，))故x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))∪(1，＋∞)．5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)”的是(B)A．幂函数 B．对数函数C．指数函数 D．一次函数解析：在选项A中，取f(x)＝xα，则f(xy)＝(xy)α＝xayα，而f(x)＋f(y)＝xα＋yα，显然不满足题意；在选项B中，取f(x)＝logαx，则f(xy)＝loga(xy)＝logαx＋logαy，而f(x)＋f(y)＝logαx＋logαy，显然满足题意；选项C中，取f(x)＝ax，则f(xy)＝axy，而f(x)＋f(y)＝ax＋ay，显然不满足题意；选项D中，取f(x)＝kx＋b，则f(xy)＝kxy＋b，而f(x)＋f(y)＝k(x＋y)＋2b，显然不满足题意．二、填空题6．若函数f(x)＝(3x－a)的定义域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))，则a＝__2__.解析：依题意知，关于x的不等式3x－a＞0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即x>\f(a,3)))的解是x>eq\f(2,3)，所以eq\f(a,3)＝eq\f(2,3)，解得a＝2.7．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝eq\f(1,2)log3eq\f(O,100)，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼的游速为m/s时，这条鲑鱼的耗氧量是__2_700__个单位．解析：当v＝时，＝eq\f(1,2)log3eq\f(O,100)，即3＝log3eq\f(O,100)，eq\f(O,100)＝33＝27，所以O＝2700.8．已知a>0，b>0，函数f(x)＝alog2x＋b的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为__16__.解析：函数f(x)＝alog2x＋b的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，可得alog24＋b＝eq\f(1,2)，即4a＋2b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(4a＋2b)＝4＋4＋eq\f(2b,a)＋eq\f(8a,b)≥8＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(8a,b))＝16，当且仅当b＝2a＝eq\f(1,4)时，取得等号，故eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为16.三、解答题9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,2x，x≤0，))若f(a)＝eq\f(1,2)，求a的值．解：当x>0时，f(x)＝log2x，由f(a)＝eq\f(1,2)得log2a＝eq\f(1,2)，即a＝eq\r(2).当x≤0时，f(x)＝2x，由f(a)＝eq\f(1,2)得2a＝eq\f(1,2)，a＝－1.综上a＝－1或eq\r(2).10．已知M＝{x|y＝lg(6x－x2－5)}，N＝{y|y＝eq\r(16－2x)}，求M∩N.解：由M＝{x|y＝lg(6x－x2－5)}，得6x－x2－5>0，即x2－6x＋5<0，则(x－1)(x－5)<0，解得1<x<5，所以M＝{x|1<x<5}．由N＝{y|y＝eq\r(16－2x)}，得16－2x≥0,2x≤16＝24.因为函数y＝2x单调递增，所以x≤4，所以0<2x≤16⇒0≤16－2x<16，所以0≤eq\r(16－2x)<4，所以0≤y<4，所以N＝{y|0≤y<4}．故M∩N＝(1,4)．11．已知函数f(x)＝loga(3＋2x)，g(x)＝loga(3－2x)(a＞0，且a≠1)．(1)求函数y＝f(x)－g(x)的定义域；(2)判断函数y＝f(x)－g(x)的奇偶性，并予以证明．解：(1)要使函数y＝f(x)－g(x)有意义，必须有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋2x＞0，,3－2x＞0，))解得－eq\f(3,2