复数的乘除运算【新教材】人教A版高中数学必修同步练习（word含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册复数的乘、除运算同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________一．选择题已知复数z1=3+4i，z2=t+i，且z1A.34 B.43 C.−4设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则A.−5 B.5 C.−4+i D.−4−i已知i为虚数单位，a为实数，复数z=(1−2i)(a+i)在复平面内对应的点为M，则“a>12”是“点M在第四象限”的(    )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件设集合M={y|y=|cos2x−sin2x|,x∈R}，N=xA.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]i为虚数单位，1i+1i3+A.0 B.2i C.−2i D.4i已知实数m，n满足(m+ni)(4−2i)=5+3i，则m+n= (    )A.95 B.115 C.94定义运算abcd=ad−bc，则符合条件1−1zzi=4+2iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限设f(n)=1+i1−in+1−i1+A.2 B.0 C.−2 D.1若复数(1+2ai)i=1−bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=

(

)A.12+i B.5 C.5已知i为虚数单位，a∈R，若a+3i1−3i为实数，则a等于A.−3 B.−1 C.1 D.3已知i为虚数单位，复数z满足(1−i)·z=2i，z是复数z的共轭复数，则下列关于复数z的说法正确的是

(

)A.z=−1−iB.|z|=2

C.z⋅z=2

D.复数设复数z1=i1+i，z2=z1i，z1，z−12 B.0 C.12二．填空题在复数范围内方程x2+2x+5=0的根是_________．定义运算abcd=ad−bc.若复数x=1−i1+i，y=4x，y互为共轭复数，且(x+y)2−3xyi设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，点A与点B关于x轴对称，若复数z1满足z1(1−i)=3−i，则三．解答题计算下列各题：(1)(1+i)71−i+(3)(1+i1−i已知复数z=3+bi(b∈R)，且(1+3i)·z为纯虚数．(1)求复数z；(2)若w=z2+i，求复数w及复数w的模|w|．在复平面内，复数z1，z2，z3对应的点分别为A(4,0)，B(5,3(1)求z2z3(2)求向量BC在向量OA上的投影向量，其中O为复平面的原点．

答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】

本题考查复数的概念、共轭复数和复数的四则运算，考查推理能力和计算能力，属于基础题．

由z1·z2=(3+4i)(t−i)=3t+4+(4t−3)i为实数，得t=34．

【解答】

解：z1·z2【解析】【分析】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．

根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．

【解答】解：由题意可知z2=−2+i，所以z1z2=(2+i)(−2+i)=i2【解析】【分析】本题考查复数的四则运算以及几何意义，考查充分不要条件的应用，属于基础题．

先通过复数的乘法运算以及点M在第四象限，得到a>12，再根据充分、必要条件的定义判定，即可得到答案．

【解答】解：z=(1−2i)(a+i)=(a+2)+(1−2a)i，

若其对应的点在第四象限，则a+2>0，且1−2a<0，解得a>12．

即“a>12”是“点M【解析】【分析】

本题考查三角函数的二倍角公式、三角函数的有界性、复数的模的公式、集合的交集的定义，属于较易题.通过三角函数的二倍角公式化简集合M，利用三角函数的有界性求出集合M；利用复数的模的公式化简集合N；利用集合的交集的定义求出交集．

【解答】

解：因为y=|cos2x−sin2x|=|cos 2x|∈[0,1]，所以M=[0,1]．

由x−2(1+i)2<2，得|x+i|<2，

又因为x∈R，所以【解析】【分析】本题是基础题，考查复数的基本运算，i的幂的运算性质，考查计算能力，常考题型．

直接利用i的幂运算，化简表达式即可得到结果．

【解答】解：∵i2=−1，∴1i【解析】【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础的计算题．把已知等式坐标变形，利用复数相等的条件列式求得m，n的值，则答案可求．

【解答】

解：由(m+ni)(4−2i)=(4m+2n)+(4n−2m)i=3i+5，

得4m+2n=54n−2m=3，解得m=710，n=1110．

∴m+n=710+11【解析】【分析】

根据定义先计算z的值，结合复数的几何意义进行化简判断即可．

本题主要考查复数的几何意义，结合复数的运算进行化简是解决本题的关键．

【解答】

解：由1−1zzi=4+2i得zi+z=4+2i，

即z(1+i)=4+2i，

得z=4+2i1+i=(4+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=6−2i2=3−i【解析】【分析】

本题考查复数代数形式的混合运算，虚数单位i的幂运算性质，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的难点，属于基础题．依据两个复数代数形式的除法法则，化简1+i1−i

和1−i1+i，得到f(n)=in+(−i)n，分n=4k，n=4k+1，n=4k+2，n=4k+3这四种情况，分别求出f(n)的值，即得结论．

【解答】

解：∵1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i，

1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−i，

∴f(n)=1+i1−in+1−i1+in=in+−in，

根据i的性质当n=4k(k∈N)时，f(n)=2；【解析】【分析】

本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数相等和复数的求模，

本题解题的关键是求出复数中的字母系数，本题是一个基础题．

【解答】解：∵(1+2ai)i=1−bi，

∴i−2a=1−bi，

∴−2a=1，b=−1，

∴a=−12，b=−1，

∴|a+bi|=52，

10.【答案】B【解析】【分析】

本题考查复数的四则运算以及复数的基本概念，属于基础题．

先化简已知复数，再根据其为实数，得到a的方程，求得a的值．

【解答】

解：∵a+3i1−3i=(a+3i)(1+3i)【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求出z，然后逐一核对四个选项得答案．

【解答】解：由(1−i)⋅z=2i，

可得z=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i−22=−1+i，故A错误；

∴|z|=2，故B错误；

易知z=−1−i，则z⋅z=(−1+i)(−1−i)=2，故C正确；

复数z【解析】【分析】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

利用复数代数形式的乘除运算化简z1，z2然后求得OP，OQ，再由向量数量积的计算公式求解．

【解答】

解：z1=i1+i=i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i2，

z2=z1i=i−12

z1，【解析】【分析】

本题考查复数范围内一元二次方程的求解，属于基础题．

运用配方法，并根据i2=−1，即可得到答案．

【解答】

解：由x2+2x+5=0得(x+1)2=−4，所以x=−1±2i．

−2【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．利用复数代数形式的除法运算化简x，代入y=4ixi【解答】解：x=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，x=1

15.【答案】2【解析】【分析】

本题考查复数的基本概念和复数相等，属于基础题．

由共轭复数和复数相等可得a2=1，b2=1，代入要求的式子化简即可．

【解答】

解：∵x、y为共轭复数，

∴设x=a+bi，y=a−bi，a，b∈R，

则x+y=2a，xy=a2+b2，

∴由(x+【解析】【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义、复数模的计算，是基础题．

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z1，进一步得到z2,通过模的公式计算，即可得到答案．

【解答】

解：∵z1(1−i)=3−i，

所以z1=3−i1−i=3−i(1+i)(1−i)(1+i)=4+2i2=2+i，

∴z1在复平面内的对应点的坐标为A(2,1)，

∵z1，z2在复平面内的对应点关于x轴对称，

=8+8−16−16i

=−16i(2)原式=16=−(162(3)方法1：原式=i方法2：原式．

【解析】本题考查复数的四则运算，属于基础题

根据复数的四则运算法则和i的幂运算的周期性，分母实数化，高次方变低次方依次计算即可．

18.【答案】解：(1)复数z=3+bi(b∈R)，且(1+3i)⋅z为纯虚数．

即(1+3i)⋅(3+bi)=3−3b+(9+b)i为纯虚数，

∴3−3b=0，9+b≠0，

解得b=1．

∴z=3+i．

(2)w=z2+i=3+i2+i【解析】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

(1)利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．

(2)利用复数的运算法则、模的计算公式