基本立体图形基础练习【新教材】2022年人教A版高中数学必修（Word含解析）

基本立体图形基础练习一、单选题1.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦.弦者，葛之长”意思是：今有2丈长的圆木，其横截面周长3尺，葛藤从圆木底端绕圆木7周至顶端，问葛藤有多长？九章算术还有解释：七周乘以三尺为股（直角三角形较长的直角边），木棍的长为勾（直角三角形较短的直角边），葛的长为弦（直角三角形的斜边）（注：1丈=10尺）（

）A.

29尺

B.

27尺

C.

23尺

D.

21尺2.在正四棱锥P−ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=1，点Q，R分别在棱AB，PC上运动，当|QR|达到最小值时，|PQ||CQ|A.

7010

B.

355

C.

35103.正方体ABCD−A1B1C1DA.

25

B.

26

C.

44.设三棱锥P−ABC的顶点P在底面ABC上的射影是H，给出以下命题，其中错误命题的是（

）.A.

若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心

B.

若H是△ABC的垂心，则PA，PB，PC两两互相垂直

C.

若∠ABC=90°，H是斜边AC的中点，则PA=PB=PC

D.

若PA=PB=PC，则H是5.下列几何体中是棱柱的有(

)A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个6.设棱锥M−ABCD的底面是正方形，且MA=MD,MA⊥AB,△AMD的面积为1，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为（

）A.

2−3

B.

2−1

C.

1−27.已知圆锥的顶点为P，母线PA、PB所成角的余弦值为78，PA与圆锥底面所成角为45°，若ΔPAB的面积为5A.

40(2+1)π

B.

402π8.下列说法不正确的是（

）A.

三角形一定是平面图形

B.

若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形

C.

圆心和圆上两点可确定一个平面

D.

三条平行线最多可确定三个平面9.下列说法正确的是（

）A.

在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

B.

底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；

C.

棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

D.

以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥．10.下列说法中正确的是(

)A.

圆锥的轴截面是等边三角形

B.

用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台

C.

将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成

D.

有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是棱AAA.

255

B.

55

C.

12.棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1∶2，则此棱锥的高被分成的两段之比为（

）A.

1∶2

B.

1∶4

C.

1∶（2－1）

D.

1∶（2＋1）13.下列命题是真命题的是（

）A.

有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱

B.

正四面体是特殊的正四棱锥

C.

有一个面是多边形，其余各个面都是三角形的多面体叫做棱锥

D.

正四棱柱是平行六面休14.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10分钟.那么经过5分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的）（

）A.

1:2

B.

(2+1):1

C.

1:215.下图是由哪个平面图形旋转得到的（

）A.

B.

C.

D.

16.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以A.

4

B.

8

C.

12

D.

1617.已知三棱锥P−ABC的所有棱长为1.M是底面△ABC内部一个动点(包括边界)，且M到三个侧面PAB，PBC，PAC的距离ℎ1，ℎ2，ℎ3成单调递增的等差数列，记PM与AB，BC，AC所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是A.

B.

C.

D.

18.如图,正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为①AC⊥BE;②EF//平面ABCD;③三棱锥A−BEF的体积为定值;④ΔAEF的面积与ΔBEF的面积相等.A.

B.

C.

D.

19.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若ΔSAB的面积为8A.

8π

B.

16π

C.

24π

D.

32π20.正方体的边长为a，则该正方体的外接球的直径长（

）A.

a

B.

2a

C.

2a

D.

二、解答题21.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D

（1）经过P，Q作平面α，平面α与长方体ABCD−A1B1C（2）若R为直线AD上的一点，且AR=2，求过PQR截面图形的周长.22.如图所示，有一块矩形铁皮ABCD，AB=4，剪下一个半圆面作圆锥的侧面，余下的铁皮内剪下一个与其相切的圆面，恰好作为圆锥的底面.试求：（1）矩形铁皮AD的长度；（2）做成的圆锥体的体积.23.若一圆锥的底面半径为4，体积是16π.（1）求该圆锥的母线长；（2）已知该圆锥的顶点为O，并且OA、OB为圆锥的两个母线，求线段AB长度为何值时，△OAB的面积取得最大值？

答案解析一、单选题1.【答案】A【解析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即木棍的高）为20尺，矩形的底边长为7×3=21（尺），因此葛藤长202故答案为：A.2.【答案】A【解析】以P在底面的投影O为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设Q(12,a,0)因为P(0，0,22又因为R在PC上，PR所以(m，m,q−22所以R=(−所以|QR|2=因为a∈[−设f(a)=a2对其求导f'(a)=2a−λ当二个导数同时为0时，取最小值，即2a−λ=0，2λ−a+所以λ=1所以|所以|PQ||CQ|所以当|QR|达到最小值时，|PQ||CQ|的值为70故答案为：A.3.【答案】B【解析】如图所示，设F为BB1的中点，连接AF,FC1，设G为由EG//AB且EG=AB，得ABGE是平行四边形，则AE//BG且AE=BG，又BG//C1F且BG=C1F，得故平面AC1E又AF=FC1=EC1=EA，故AFC1E故答案为：B.4.【答案】B【解析】对于A：因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，所以PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC，又因为PH⊥平面ABC，所以PH⊥BC，又因为PA∩PH=P，所以BC⊥平面PAH，所以AH⊥BC，同理可证明CH⊥AB，所以H是△ABC的垂心，A符合题意；对于B：若H是△ABC的垂心，则AH⊥BC，又因为PH⊥平面ABC，所以PH⊥BC，PH∩AH=H，所以BC⊥平面PAH，所以AP⊥BC，得不出PA，PB，PC两两互相垂直，B不正确；对于C：若∠ABC=90°H是斜边AC的中点，则可得AH=BH=CH，PH⊥HA,PH⊥HB,PH⊥HC，所以Rt△PHA≅Rt△PHB≅Rt△PHC，所以对于D：若PA=PB=PC，PH⊥平面ABC，所以Rt△PHA≅Rt△PHB≅Rt△PHC，所以AH=BH=CH，所以H是△ABC的外心，D符合题意.故答案为：B5.【答案】C【解析】棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，观察图形满足棱柱概念的几何体有：①③⑤，共三个．故答案为：C．6.【答案】B【解析】解：∵AB⊥AD，AB⊥MA，∴AB⊥平面MAD，由此，面MAD⊥面ABCD．记E是AD的中点，从而ME⊥AD．∴ME⊥平面ABCD，ME⊥EF．设球O是与平面MAD、平面ABCD、平面MBC都相切的球．不妨设O∈平面MEF，于是O是△MEF的内心．设球O的半径为r，则r=设AD=EF=a，∵所以∴ME=2a所以r=2当且仅当a=2a，即∴当AD=ME=2时，满足条件的最大半径为2故答案为：B7.【答案】B【解析】设O为圆锥底面圆的圆心,设底面圆的半径为r.PA与圆锥底面所成角为45°,即∠PAO=45°.所以PA=2母线PA、PB所成角的余弦值为78,即cos则sin∠APB=由S△PAB得：r2又底面圆的周长为：2πr.圆锥的侧面积为:12故选：B.8.【答案】C【解析】由定义可知，三角形一定是平面图形，A不符合题意；由相交直线确定一个平面可知，若四边形两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形，B不符合题意；当圆心和圆上两点构成直径时，此时可有无数平面经过此三点，C错误，符合题意；三条平行线可确定三个平面，正确，如三棱柱的三条侧棱，D不符合题意故答案为：C9.【答案】B【解析】对A，只有两点连线平行于轴时，两点连线是母线，A不符合题意；对B，因为底面是正多边形，当相邻两侧面和底面垂直时，可推出所有侧面和底面都垂直，故为正棱柱，B符合题意；对C，根据棱台的定义，上下底面应为相似形且侧棱的长不一定相等；对D，若旋转的边为斜边，则旋转体为两个圆锥的组合体故答案为：B10.【答案】D【解析】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A不符合题意；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B不符合题意；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，C不符合题意；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，D符合题意．故答案为：D11.【答案】A【解析】以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，依题意有M(2,0,1),C(0,2,0),D1(0,0,2),P(2,a,b)，MC=(−2,2,−1),D1P=(2,a,b−2)，由于CM⊥D1P，故(−2,2,−1)⋅(2,a,b−2)=−4+2a−b+2=0，解得b=2a−2故答案为：A.12.【答案】C【解析】设截后棱锥的高为h,原棱锥的高为H,由于截面与底面相似,所以截面面积与底面面积的比等于相似比的平方,所以有(ℎH)13.【答案】D【解析】A．当两个侧面是矩形且相邻时，四棱柱是直四棱柱；当两个侧面是矩形且不相邻时，四棱柱不是直四棱柱；故A不正确；B．正四面体是三棱锥，故B错误，C．棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体，故C错误，D．正四棱柱是平行六面体，正确，故答案为：D．14.【答案】D【解析】由于时间刚好是5分钟，是总时间的一半，而沙子漏下来的速度是恒定的，所以漏下来的沙子是全部沙子的一半，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，所以可以单独研究下方圆锥，下方圆锥被沙子的上表面分成体积相等的两部分，所以V上V全=1故答案为：D15.【答案】A【解析】根据下面是圆台，上方是圆锥，可知应选A.故答案为：A16.【答案】D【解析】根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4=16故答案为：D．17.【答案】D【解析】依题意知正四面体P−ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，则cosα=cos∠PMO⋅cos<MO，AB>，其中<MO，AB>cosβ=cos∠PMO⋅cos<MO，BC>，其中<MO，BC>cosγ=cos∠PMO⋅cos<MO，AC>，其中<MO由于∠PMO是公共的，因此题意即比较MO与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3

则d1=所以d1，d2，d3由于d1<d2<d从图中可以看出，MO、BC所成角小于MO、AC所成角，所以β<γ，故答案为：D．18.【答案】C【解析】连结BD,则AC⊥平面BB1D1D,BD∴A