基本不等式的应用随堂跟踪练习（含答案）

2.2.2基本不等式的应用跟踪练习(15分钟35分)1.已知a>b>0，全集为R，集合M=xb<x<，N={x|<x<a}，P={x|b<x≤}，则M，N，P满足 ()A.P=M∩(RN) B.P=(RM)∩NC.P=M∪N D.P=M∩N2.某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则 ()A.x= B.x≤C.x> D.x≥3.已知a>0，b>0，ab=1，且m=b+，n=a+，则m+n的最小值是 ()A.3 B.4 C.5 D.6【补偿训练】若实数a，b满足+=，则ab的最小值为 ()A. B.2 C.2 D.44.周长为+1的直角三角形面积的最大值为_______.

5.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=_______.

6.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1.证明：(1)ab+bc+ac≤.(2)++≥1.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.若x，y为正数，且+2y=3，则的最大值为()A. B. C. D.2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A.6.5m B.6.8mC.7m D.7.2m3.已知a>0，b>0，若不等式+≥恒成立，则m的最大值为()A.9 B.12 C.18 D.24【补偿训练】设a>0，b>0，且不等式++≥0恒成立，则实数k的最小值等于()A.0 B.4 C.-4 D.-24.若x，y为正数，则+的最小值是 ()A.3 B. C.4 D.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.已知a>0，b>0，a+b=1，对于代数式1+1+，下列说法正确的是()A.最小值为9B.最大值是9C.当a=b=时取得最小值D.当a=b=时取得最大值6.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是()A.该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低B.该单位每月最低可获利20000元C.该单位每月不获利，也不亏损D.每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损三、填空题(每小题5分，共10分)7.在4×□+9×□=60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上_______和_______.

8.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L-1)随时间t(单位：h)的变化关系为C=，则经过_______h后池水中该药品的浓度达到最大.

四、解答题(每小题10分，共20分)9.已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值.10.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.创新训练：1.已知正实数a，b，c满足a2-2ab+9b2-c=0，则当取得最大值时，+-的最大值为_______.

【补偿训练】设a>b>c>0，则2a2++-10ac+25c2的最小值是 ()A.2 B.4 C.2 D.52.我们学习了二元基本不等式：设a>0，b>0，≥，当且仅当a=b时，等号成立，利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值.(1)对于三元基本不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥_______，当且仅当a=b=c时，等号成立(把横线补全).

(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明：设a>0，b>0，c>0，求证：(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc.(3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值：设a>0，b>0，c>0，a+b+c=1，求(1-a)(1-b)(1-c)的最大值.（解析版）(15分钟35分)1.已知a>b>0，全集为R，集合M=xb<x<，N={x|<x<a}，P={x|b<x≤}，则M，N，P满足 ()A.P=M∩(RN) B.P=(RM)∩NC.P=M∪N D.P=M∩N【解析】选A.由a>b>0结合基本不等式可得，a>>>b，故P=M∩(RN).2.某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则 ()A.x= B.x≤C.x> D.x≥【解析】选B.由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2，所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤，所以1+x≤1+，故x≤.3.已知a>0，b>0，ab=1，且m=b+，n=a+，则m+n的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.6【解题指南】利用“1”的代换解题.【解析】选B.因为ab=1，所以m=b+=2b，n=a+=2a，所以m+n=2(a+b)≥4=4.当且仅当a=b=1时，等号成立.【补偿训练】若实数a，b满足+=，则ab的最小值为 ()A. B.2 C.2 D.4【解析】选C.由题意知a>0，b>0，则+≥2=，当且仅当=，即b=2a时等号成立.所以≥，即ab≥2.4.周长为+1的直角三角形面积的最大值为_______.

【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，则+1=a+b+≥2+，解得ab≤，当且仅当a=b=时取等号，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为.答案：5.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=_______.

【解析】总运费与总存储费用之和f(x)=4x+×4=4x+≥2=160，当且仅当4x=，即x=20时取等号.答案：206.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1.证明：(1)ab+bc+ac≤.(2)++≥1.【证明】(1)由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1，即ab+bc+ca≤.(2)因为+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c.故+++(a+b+c)≥2(a+b+c)，即++≥a+b+c.所以++≥1.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.若x，y为正数，且+2y=3，则的最大值为()A. B. C. D.【解析】选D.由x，y为正数得3=+2y≥2，所以≤，≤，当且仅当x=，y=时等号成立.2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A.6.5m B.6.8mC.7m D.7.2m【解析】选C.设两直角边分别为a，b，直角三角形框架的周长为l，则ab=2，所以ab=4，l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m).因为要求够用且浪费最少，故应选择7m长的铁丝.3.已知a>0，b>0，若不等式+≥恒成立，则m的最大值为()A.9 B.12 C.18 D.24【解析】选B.由+≥得m≤(a+3b)=++6，又++6≥2+6=12，当且仅当=，即a=3b时等号成立.所以m≤12，所以m的最大值为12.【补偿训练】设a>0，b>0，且不等式++≥0恒成立，则实数k的最小值等于 ()A.0 B.4 C.-4 D.-2【解析】选C.由++≥0，得k≥，而=++2≥4，当且仅当a=b时，等号成立，所以-≤-4，因此要使k≥-恒成立，应有k≥-4，即实数k的最小值等于-4.4.若x，y为正数，则+的最小值是 ()A.3 B. C.4 D.【解析】选C.+=++≥4，当且仅当即x=y=时等号成立.【误区警示】同一题目中多次用基本不等式，必须保证每次用时等号成立的条件相同.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.已知a>0，b>0，a+b=1，对于代数式1+1+，下列说法正确的是()A.最小值为9B.最大值是9C.当a=b=时取得最小值D.当a=b=时取得最大值【解析】选AC.=1+1+=·=5+2≥5+4=9.当且仅当a=b=时，取等号.6.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是()A.该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低B.该单位每月最低可获利20000元C.该单位每月不获利，也不亏损D.每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损【解析】选AD.由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为=x+-200≥2-200=200，当且仅当x=，即x=400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.设该单位每月获利为S元，则S=100x-y=100x-=-x2+300x-80000=-(x-300)2-35000，因为x∈[400，600]，所以S∈[-80000，-40000].故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损.三、填空题(每小题5分，共10分)7.在4×□+9×□=60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上_______和_______.

【解析】设两数分别为x，y，即4x+9y=60，+==≥×(13+12)=，当且仅当=，且4x+9y=60，即x=6且y=4时，等号成立，故应分别填上6，4.答案：64【补偿训练】设x，y均为正数，且xy+x-y-10=0，则x+y的最小值是_______.

【解析】由xy+x-y-10=0，得x==+1，所以x+y=+1+y≥2=6，当且仅当=1+y，即y=2时，等号成立.答案：68.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L-1)随时间t(单位：h)的变化关系为C=，则经过_______h后池水中该药品的浓度达到最大.

【解析】C==.因为t>0，所以t+≥2=4当且仅当t=，即t=2时，等号成立.所以C=≤=5，即当t=2时，C取得最大值.答案：2四、解答题(每小题10分，共20分)9.已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值.【解析】(1)由2x+8y-xy=0，得+=1，又x>0，y>0，则1=+≥2=，得xy≥64，当且仅当x=16，y=4时，等号成立.所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-xy=0，得+=1，则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18.当且仅当x=12且y=6时等号成立，所以x+y的最小值为18.10.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【解析】(1)设所用时间为t=(h)，y=×2×+14×，x∈[50，100].所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y=+x，x∈[50，100].(或y=+x，x∈[50，100]).(2)y=+x≥26，当且仅当=x，即x=18时，等号成立.故当x=18时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.创新训练：1.已知正实数a，b，c满足a2-2ab+9b2-c=0，则当取得最大值时，+-的最大值为_______.

【解析】正实数a，b，c满足a2-2ab+9b2-c=0，得===≤，当且仅当=，即a=3b时，取最大值.又因为a2-2ab+9b2-c=0，所以此时c=12b2，所以+-=+-=≤=1.当且仅当a=3，b=1时，等号成立.故最大值为1.答案：1【补偿训练】设a>b>c>0，则2a2++-10ac+25c2的最小值是 ()A.2 B.4 C.2 D.5【解析】选B.2a2++-10ac+25c2=(a-5c)2+a2-ab+ab