第4章刚体平面运动(陆)

第四章刚体平面运动平面运动：刚体在运动过程中，其上各点都始终保持在与某一固定平面相平行的平面内运动。平面图形：刚体上任一个与固定平面平行的截面。曲柄连杆机构

行星机构

刚体作平面运动平面图形的位置显然，只需确定平面图形的位置，即可确定整个刚体的运动状态.一、运动特征注意：平面图形的形状和尺寸并不重要，需要的话，可以扩展为整个平面。§4-1运动方程在x1o1y1平面上，要确定平面图形的位置，只需确定任一直线的位置。故运动方程可以表示为：讨论：1.φ为常数二、运动方程刚体作平动2.(xO,yO)为常数定轴转动3.O点位置和φ均变化平面运动由此看出，平面运动可以分解为“平动”和“定轴转动”平面图形的位置三、运动分解平面运动=“随基点的平动”“绕基点的转动”+所谓基点，是在平面图形上任意取定的那点。但是平面图形转过的角度与基点的选取无关！平面图形的位置O取在刚体上的不同位置，其运动方程不同。运动方程ABCABC平面图形转过的角度与基点的选取无关！ABCDABCD先平移ABC再定轴转动以D为基点以A为基点但刚体都是转过900ABCDABCD先平移ABC再定轴转动ABCD刚才预设了刚体先平移，然后再转动。实际上，根本不管它是先移再转，还是“移转同时进行”，刚体由第一状态到第二状态，都是转过900。ABCD再定轴转动先平移平面图形转过的角度与基点的选取无关！φ对时间的导数就是刚体的转动角速度，故而：平面运动刚体的角速度和角加速度与基点的选择无关！平面图形的位置图表示？正负规定？ABClllxyo已知θ=kt，试求AB杆的平面运动方程。已知轮心速度v0=kt，轮只滚不滑。试求轮的平面运动方程。Ov0R一、速度基点法1.以基点A为原点建立动系x’Ay’,动系随A一起运动，但两轴的方向保持不变。这样此动系的运动为平行移动。应用点的合成运动方法2.以平面图形上任意一点B为动点，它的运动就可以由合成得到。绝对运动：B点相对定系xoy的运动，速度vB待求相对运动：B点相对动系x`Ay`的圆周运动，速度vBA牵连运动：动系x`Ay`相对定系xoy的平动，速度ve=vA§4-2刚体上各点的速度OxyABωx`y`结果说明1.A点为基点，可以任意选择，一般我们选择速度已知的点。2.B点为刚体上任意一点，此公式给出了刚体上任意两点间的速度关系，以后直接应用，不必再应用合成运动方法。3.在动系x`Ay`中，整个平面图形绕A点定轴转动，角速度ω。所以且垂直于A、B连线OxyABωx`y`基点法二、速度投影定理如将右式投影到A、B两点的连线上，并注意到vAB垂直于AB连线，在连线上的投影为零，可得:平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，这称为速度投影定理。

问：此定理直观的力学意义是什么？OxyABωx`y`假如在平面图形内或其延伸部分上能找到速度为零的一个点，并以它为基点，计算其它各点的速度就相当简单了。从计算效果看，整个刚体此时仿佛“绕此基点作定轴转动”。三、速度瞬心法证明:一般情形下，刚体作平面运动时速度瞬心确实是存在的，并且唯一。这里只给出一个图形，您不妨证明一下。AI速度瞬心d我们称某瞬时速度为零的点为平面图形在此瞬时的速度中心，简称“速度瞬心”，一般用I表示之。以I为基点，则有AIBC但请注意：I点仅仅此时刻速度为零，一般情况下，速度瞬心的加速度不等于零，下一瞬时I的速度也就不再为零了。因此，速度瞬心在图形本身上和在固定平面上的位置都是随时间而变的，在不同的瞬时，图形具有不同的速度瞬心。相当于定轴转动的计算.四、瞬心的确定(１)已知图形上任意两点速度方位(２)已知图形上Ａ、Ｂ两点的速度平行，且垂直于两点连线ABIABIABI(３)已知图形上两点的速度平行，但两点连线与速度方位不垂直(４)平面图形S沿某一固定面作纯滚动（只滚动不滑动），如图所示。则每一瞬时图形与固定面相接触的一点Ｉ的速度为零，这接触点就是该瞬时的速度瞬心。瞬时平动速度瞬心例题4-1在下图所示的曲柄连杆机构中，已知曲柄OA长0.2m，连杆AB长1m，OA以匀角速ω=10rad/s绕O点转动。求在图示位置滑块B的速度及AB杆的角速度。例题4-2车轮沿直线轨道滚动而不滑动，轮心O的速度等于vo，如图所示。设车轮半径为r，求车轮的角速度和轮边上A、B、C诸点的速度。解：轮与轨道接触点为速度瞬心，故有：则ABC例题4-3ωAOBMBNωAO曲柄OA=r，以匀角速度ω转动。AB=2r，轮B半径R，在地面作纯滚动。求图示两种状态下，轮缘最右端点的速度。ωAOBM解：A点速度vA=ωr，方向朝上；B点速度方向只可能水平。故AB杆的瞬心在B点，说明此时B点速度为零。而轮B作纯滚动，I点速度必为零，所以此刻轮B的角速度为零ω轮＝0。IvM=0BNωAO当运动到图示状态时，A点速度vA=ωr，方向水平；B点速度方向也水平。这时AB为瞬时平动。而轮B作纯滚动，I点为瞬心，所以此刻轮B的角速度为：IvA=vB=ωr最后方向如图例题4-4

如图所示的行星系中，大齿轮Ⅰ固定，半径为r1；行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度ωO。试求轮Ⅱ的角速度ωⅡ及B、C两点的速度。ωOⅠⅡOACBDωⅡ动画行星轮Ⅱ作平面运动，A点的速度由于齿轮Ⅰ固定不动，接触点D不滑动，为轮Ⅱ的瞬心解：1.求轮Ⅱ的角速度ωⅡωOⅠⅡOACBDωⅡ2.求轮Ⅱ上B点的速度方向如图3.求轮Ⅱ上C点的速度方向如图例题4-5设图中刚架的支座B有一铅直向下的微小位移△SB（沉陷），相应地C、D、E三点都将发生微小位移。试确定三点的位移的方向以及它们的大小。4m4m4m6m10mABCDE△SB4m4m4m6m10mABCDE△SBIDE△SE△SD△SC解：分析BC分析DE§4-3平面运动刚体上各点加速度根据速度基点法的分析，由点的合成运动方法可以导出平面运动刚体上各点的加速度计算公式：平面图形内任一点的加速度，等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的加速度的矢量和。B点随图形绕基点A转动的加速度包括两部分，一是切向加速度，一是法向加速度：αABω再次强调：1.速度瞬心的加速度一般不为零；计算加速度时，通常只用基点法。2.刚体平面运动中，转动的角速度ω和角加速度α与基点的选取无关。解:由于杆作匀速转动，故可求得点的加速度的大小为:以A为基点求B点的加速度例题4-6求例4-1中滑块B的加速度和杆AB的角速度。由AB杆的角速度可有：大小:×∠∠×方位:∠∠∠∠解得:杆AB的角加速度可按下式求出:逆时针转向将式(a)投影到y，x轴上得:解矢量方程:xyO将方程投影到x，y轴上，转化为代数方程求解：问：曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA长R，连杆AB长l。设曲柄以匀角速度ω沿逆钟向绕定轴O转动。试求当曲柄转角为φ时滑块B的加速度和连杆AB的角加速度。OABφω你能否只用运动方程形式，直接解决此问题？车轮沿直线滚动，已知车轮半径为R，中心O的速度为vO，加速度为aO。设车轮与地面接触无相对滑动。求车轮上速度瞬心的加速度。例题4-7CO解：一、先确定轮的角加速度因为上式恒成立，对其求导数得nCOaO车轮作平面运动，其速度瞬心在与地面的接触点C。车轮只滚不滑，所以其角速度aOOvOαωC二、求C点加速度取中心O为基点nCOaO式中注意：C为速度瞬心，但其加速度不为零CO向x方向投影向y方向投影例题4-8如图所示，在外啮行星齿轮机构中，杆OA长l，以匀角速度ω1绕O1转动。大齿轮Ⅱ

固定，行星轮Ⅰ

半径r，在轮Ⅱ

上只滚不滑。设D和B是轮缘上的两点，点D在OA的延长线上，而点B则在垂直于OA的半径上。试求点D和B的加速度。解：I轮作平面运动，速度瞬心在C，轮心A的速度和加速度为：轮I的角速度为：由于其角速度为常数，故其角加速度为零，则：B、D点绕A点的法向角速度为：D、B点的加速度为：B点加速度的方向：例题4-9已知曲柄AB以匀角速度ω转动，试计算图示时刻C点的加速度。lABCD450450lωlABCD450450lω解：1.计算BC、DC杆的角速度（瞬心法）２.计算BC、DC杆的角加速度（基点法）３.C点法向、切向加速度平面运动方法IvB1.画成一般状态３.C坐标运动方程（运动学最基本的东西）ABCD3llxy4.求导例题4-10(讨论)BrOA长度2r的杆，A端在半径为r的半圆形轨道上以匀速vA运动。试求A到达最低点时，AB杆的角速度和角加速度。图所示为一曲柄机构，曲柄ＯＡ可绕Ｏ轴转动，带动杆ＡＣ在套管Ｂ内滑动，套管Ｂ及与其刚连的ＢＤ杆又可绕通过Ｂ铰而与图示平面垂直的水平轴运动。已知：OA＝BD＝300mm，OB＝400mm，当ＯＡ转至铅直位置时，其角速度ω０＝２rad/s，试求Ｄ点的速度。例题4-11(讨论)解(1)平面运动方法：由题可知：IvA确定AC杆平面运动的速度瞬心。套筒中AC杆上一点速度沿套筒(为什么？)D点加速度如何分析？关键求AC杆角加速度(=BD杆角速度)基点法，分析AC上在套筒的点(B’)：大小：×∠∠×方位：×∠∠∠再利用合成运动方法：动点：套筒内AC杆上的点B’，动系：套筒。大小：×∠×∠方位：×∠∠∠联立求解(1)，(2)可得结果。(2)合成运动方法：动点A，动系BD绝对运动：圆周运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动例4-12、OD杆以匀角速度ω转动，并带动半径为r的圆轮做定轴转动。图示时刻OD、AE连线均处于水平位置，试求此时圆轮的角速度和角加速度。讨论题ABOErωD1.动点E，动系OD2.绝对运动：圆周运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动3.速度分析4.加速度分析如图所示平面机构，AB长为l，滑块A可沿摇杆OC的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度ω绕O轴转动，滑块B以匀速v=ωl沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，AB与水平线OB夹角为30o。求此瞬时AB杆的角速度及角加速度。BOACωv例题8-13对作平面运动的AB杆，以B点为基点由点的合成运动理论BOACωvvBvABvevr其中AB杆作平面运动，A点又在摇杆OC内有相对运动，这是一个应用刚体平面运动和点的合成运动理论联合求解的问题，而且是一种含两个运动输入量ω和v较复杂的机构运动问题。相对速度vr大小未知。1.求AB杆的角速度解：动系－固连于导套OC杆上