第2章离散时间信号分析

第2

章离散时间信号分析离散时间信号

离散时间信号(discrete-timesignal)是离散时间变量n的函数，它只在规定的离散时间点上才有函数值，在其他点无定义。在离散信号处理过程中，离散时间信号表现为在时间上按一定次序排列的不连续的一组数的集合，故称为时间序列(timeseriesorsequence)。

x(0)x(1)x(2)x(3)本章主要内容离散时间信号——序列采样定理及实现离散时间信号的相关分析离散时间信号的Z域分析离散系统描述与分析物理可实现系统2.1离散时间信号——序列一、序列的表示

单位采样序列单位阶跃序列1

-1

0

1

2

…

…

矩形序列

1……N-1N0和的关系：实指数序列……01230123…40123…40123正弦序列

对信号进行采样，模拟角频率，rad/s

数字角频率rad周期序列

N为整数

对正弦序列来说等式成立的条件为：二、序列的运算序列加减乘

设序列

与注意：时刻对齐序列移位序列翻转

序列的尺度变换

012345601234562345610111201789序列的离散卷积翻褶、移位、相乘、相加231x(n)54n0N1=523h(n)n0N2=3（1）翻褶231x(k)54k0N1=5231h(-k)k（2）平移（3）相乘x(k)h(-k)=5×1=5x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8x(k)h(6-k)=1*3=3231x(k)54k023h(1-k)k01(4)相加14265ny(n)2014830信号转换过程

2.2采样定理及实现一、采样过程1.模拟信号采样器离散的脉冲信号2.数学描述（2.2.1)假设采样脉冲为理想脉冲（2.2.2)只考虑正值时间(2.2.3)二、采样定理(Samplingtheory)离散信号X(nTs)连续信号

X(t)Nyquist（Shannon)采样定理：要想采样后不失真地还原原信号，采样频率必须大于原信号频谱中最高频率的两倍，即1.推导过程采样的脉冲序列时域采样信号是原始信号x(t)与脉冲序列的乘积频谱？X(t)的频谱：（2.2.4)脉冲序列频谱：(2.2.5)将（2.2.4)和(2.2.5)代入上式：2.几点说明（1）频谱的幅度受加权（2）频谱产生了周期延拓，以为间隔重复t1高频与低频的混叠

频率混叠现象？如何解决？1.提高采样率2.抗混叠滤波器3.如何由X(nTs)重构x(t)工程上：D/A转换器理论上：T插值函数三、采样方式实时采样等效时间采样单次波形

实时显示

等效时间显示重复波形2.3离散信号的相关分析

离散时间信号的自相关函数

对功率信号，其自相关函数应定义为对周期信号，其自相关函数应定义为对复值信号，其自相关函数应定义为性质若是实信号，则若是实信号，则当时,

若是能量信号若是周期性的，则不收敛，也是周期性的，且频率与的频率相同。同频率余弦例:

离散时间信号的互相关函数

对功率信号，其互相关函数应定义为性质

若是能量信号例：信号的检测（白噪声）

连续时间信号系统时域频域微分方程代数方程离散时间信号系统时域频域差分方程代数方程拉氏变换Z变换2.4离散时间信号的Z域分析采样信号拉氏变换一、Z变换及其收敛域

Z变换的定义Z变换的收敛域对任意给定序列x(n),使其Z变换收敛的所有Z值的集合级数收敛|z|=RX-|z|=RX+jIm[z]Re[z]讨论以下四种序列有限长度序列(finitelengthsequence)右边序列(right-sidesequence)左边序列(left-sidesequence)双边序列(bilateralsequence)二、Z反变换围线积分法（留数法）——(ContourIntegralMethod)幂级数展开法（长除法）——(PowerSeriesExpansionMethod)部分分式展开法——(Partial-FractionExpansionMethod)围线积分法（留数法）

若在积分围线C内的有限个极点集合为

若在处有阶极点

幂级数展开法（长除法）

一般情况下，是一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接用分子多项式除以分母多项式（长除法），得到幂级数展开式，从而得到。部分分式展开法

类似于拉氏变换中部分分式展开法，我们可以将展成一些简单而常见的部分分式之和，然后分别求出各部分分式的反变换，把各反变换相加即可得到。常用序列z变换（可直接使用）三、z变换的性质

z变换的许多重要性质在数字信号处理中常常要用到。z变换主要的性质参见附录4。

2.5

离散系统描述一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。

y(n)=T[x(n)]对T[·]加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统”。线性离散系统的特点

系统满足齐次性和叠加性输入一、离散系统特点时不变离散系统的特点

在同样起始状态之下，系统响应与激励施加于系统的时刻无关。线性时不变离散系统的特点

线性时不变离散系统的输出恰恰可以表示成输入与单位采样响应的卷积和。二、差分方程的描述

一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来表达。而对于离散时间系统，由于其变量n是离散整型变量，故只能用差分方程来反映其输入输出序列之间的运算关系。离散系统差分方程表示法有两个主要用途：①由差分方程得到系统结构；②求解系统的瞬态响应；三、离散卷积任何一个输入序列都可以表示为加权延时单位采样序列的线性组合。

将此任意序列加入到线性时不变系统时，系统的输出为

单位采样响应四、系统的频率响应与系统函数线性时不变离散系统，为单位采样响应

两边取z变换

定义为系统函数它是单位采样响应的z变换。所以可以用单位采样响应的z变换来描述线性时不变离散系统。单位圆上的系统函数就是系统的频率响应

可以证明，它是单位采样响应的DTFT。2.6

物理可实现系统因果系统因果系统就是指某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前时刻的输入的系统。

的输出只取决于的输入

即线性时不变系统是因果系统的充分且必要条件是稳定系统

稳定系统就是指输入信号序列有界，并能保证输出信号序列也有界的系统。绝对可和

线性时不变系统稳定的充分且必要条件是系统的单位取样响应2.7与本章内容有关的MATLAB函数randnresiduezplaneconvxcorrrand

rxy=xcorr(x,y)rxy=xcorr(x,y,Mlag,‘option’)[rxy,lags]=xcorr(x,y,Mlag,‘option’)例1产生一个叠加白噪声的正弦信号

M文件如下：clearallcloseallclcfs=1500;N=512;n=0:N-1;dt=1/fs;x=sin(2*pi*60*n*dt)+randn(1,N);plot(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('sin+randnsignal');gridM文件如下：

x1=[1,2,3];x2=[2,4,3,5];n1=-1:1;n2=-2:1;x3=conv(x1,x2);s3=n1(1)+n2(1);e3=n1(length(x1))+n2(length(x2));n3=[s3:e3];

写出相应的MATLAB程序求

例2设M文件如下：fs=input('thesamplingfrequency=');N=input('thesamplingnumber=');n=0:N-1;dt=1/fs;mlag=200;x=sin(2*pi*10*n*dt);y=0.5*sin(2*p