第2章2节长度测量(测量误差和数据处理)-2

测量误差产生的原因测量误差是不可避免的，但是由于各种测量误差的产生都有其原因和影响测量结果的规律，因此测量误差是可以控制的。要提高测量精确度，就必须减小测量误差。要减小和控制测量误差，就必须对测量误差产生的原因进行了解和研究。产生测量误差的原因很多，主要有以下几个方面：基准件误差、测量仪器的误差、调整误差、方法误差、测量力误差、环境误差、人为误差等。2.8测量误差和数据处理测量仪器误差

测量仪器误差是指由于测量仪器本身存在的误差而引起的测量误差。具体地说，是由于测量仪器本身的设计、制造以及装配、调整不准确而引起的误差，一般表现在测量仪器的示值误差和重复精度上。

设计计量器具时，因结构不符合理论要求，或在理论上采用了某种近似都会产生误差。例如，在光学比较仪的设计中，采用了当α为无穷小量时，sinα≈α的近似而产生的误差；若将标尺的不等分刻线用等分刻线代替，就存在计量器具设计时的原理误差。

制造以及装配、调整不准确而引起的误差，如测量仪器测量头的直线位移与测量仪器指针的角位移不成比例、测量仪器的刻度盘安装偏心、刻度尺的刻线不准确等等。以上这些误差使测量仪器所指示的数值并不完全符合被测几何量变化的实际情况，这种误差叫做示值误差。当然，这种误差是很小的，每一种仪器都规定了相应的示值误差允许范围。基准件误差所有基准件或基准量具，虽然制作得非常精确，但是都不可避免地存在误差。基准件误差就是指作为标准量的基准件本身存在的误差。例如，量块的制造误差等。基准件误差直接影响测得值。在相对测量中，基准件误差包含在测量误差内，因为在测量时用来与被测几何量进行比较的基准件（如量块）误差将直接反映到测量结果中，引起测量误差。例如，在光学比较仪上用2级量块作为基准件将仪器调零，测量20mm的零件时，仅仅由2级量块就可能产生±0.60μm的测量误差。在测量中，要合理选择基准件的精度，一般地，基准件的误差应不超过总测量误差的1/3~1/5。方法误差方法误差是指选择的测量方法和定位方法不完善所引起的误差。例如：测量方法选择不当、工件安装不合理、计算公式不精确、采用近似的测量方法或间接测量法等造成的误差。环境误差环境误差是指由于环境因素与要求的标准状态不一致所引起的测量误差。影响测量结果的环境因素有温度、湿度、振动和灰尘等。其中温度影响最大，这是由于各种材料几乎对温度都非常敏感，都具有热胀冷缩的现象。因此，在长度计量中规定标准温度为20℃。人员误差及读数误差

人员误差是指由于人的主观和客观原因所引起的测量误差。如由于测量人员的视力分辨能力，测量技术的熟练程度，测量仪器调整的不正确、测量习惯的好坏以及疏忽大意等因素引起的测量误差

读数误差是人员误差的一种。它是指当测量仪器指针处在表盘上相邻两刻线之间时，需要测量者估读而产生的误差。除数字显示的测量仪器外，这种测量误差是不可避免的。测量力引起的变形误差测量力引起的变形误差是指使用测量仪器进行接触测量时，测量力使零件与测量头接触的部分发生微小变形而产生的测量误差。特别是当测量头移动的速度较快时，由于冲击或滑动而产生的动态测量力会形成较大的测量误差。因而为了减小测量力的变化所造成的测量误差，在操作时要轻放测量头，并尽可能在调零时和测量时保持一致。一般测量仪器的测量力大都控制在200克之内，高精度量仪的测量力控制在几十克甚至几克之内。为了控制测量力对测量结果的影响，测量仪器一般应具有使测量力保持恒定的装置。如：百分表和千分表上的弹簧，千分尺上的棘轮机构等。2.8测量误差和数据处理2.相对误差是指测量误差除以被测量的真值：

f＝δ/L2.8.1测量误差的基本概念1.测量误差（绝对误差）是指测量结果减去被测量的真值之差，即：

δ＝ι-L

δ——测量误差

L——被测量的真值ι——测量结果f

——相对误差测量误差δ的大小决定了测量的精确度，δ越大，则精确度越低；δ越小，则精确度越高。对于不同大小的同类几何量，要比较测量精确度的高低，一般采用相对误差的概念进行比较例如：

有两个被测量的实际测得值X1=100mm，X2=10mm，δ1=0.02mm，δ2=0.01mm，则其相对误差为：f1=δ1/L1×100%=0.02/100×100%=0.02%f2=δ2/L2×100%=0.01/10×100%=0.1%由上例可以看出，两个不同大小的被测量，虽然前者绝对误差大，但f1＜f2，表示前者的精确度比后者高。2.8.2误差的分类1.随机误差单次测量无规律可循，大小和符号不可预知。多次测量服从统计规律，常用概率论和统计原理队它进行处理。粗大误差：测量中出现的差错对测量结果产生明显得歪曲。2.系统误差测量结果与在重复条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差，称为随机误差。随机误差主要由随机因素（环境变化、对线数、读等）引起。随机误差=误差－系统误差在重复条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差，称为系统误差。通过修正值队其只能有限程度的补偿。(a)(b)(c)枪好，系统误差小。打靶人技术不好，手抖，随机误差大。弹孔分散，平均值靠近靶心枪不好，系统误差大打靶人技术好，随机误差小枪好，系统误差小技术好，随机误差小下面以打靶为例，说明系统误差和随机误差的关系：准确度高

弹孔集中，平均值远离靶心

弹孔集中，平均值靠近靶心2.8.3随机误差1．随机误差的分布及其特征随机误差可用试验方法来确定。实践表明，大多数情况下，随机误差符合正态分布。为便于理解，现举例说明。对工件的某一部位用同一方法进行200次重复测量，测得200个不同读数，这一系列测量值称为测量列。将其分组，每隔0.002为一组，共11组，见下表2-3。表2-3测量数据统计表尺寸分组区间（mm）组号区间中心值xi（mm）每组出现的次数（频数ni）频率（ni/N）19.990～19.99219.992～19.99419.994～19.99619.996～19.99819.998～20.00020.000～20.00220.002～20.00420.004～20.00620.006～20.00820.008～20.01020.010～20.012123456789101119.99119.99319.99519.99719.99920.00120.00320.00520.00720.00920.0112410243745392312310.010.020.050.120.1850.2250.1950.1150.060.0150.005若以横坐标表示测得值Xi，纵坐标表示相对出现次数ni/N，其中ni为某一测得值出现的次数，N为测量总次数，则得如图2-35(a)所示的图形，称为频率直方图。连接每个小方图的上部中点，得一折线，称为实际分布曲线。yO正态分布曲线δμ图2-35频率直方图和正态分布曲线19.99120.0070.2250.120.01x=20.0

ni/N实际分布曲线xi19.99120.0070.2250.120.01x=20.0

ni/N实际分布曲线△x△x大，图形高。让图形高低不受△x影响，可用代替——为概率论中的概率密度N∞，△x0Δ代替x得光滑曲线称随机误差的正态分布曲线.

随机误差分布及其特点：对称性：绝对值相等而符号相反的误差出现的概率相同。

单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多。

有界性：在一定条件下，误差的绝对值不会超过一定的界限。

抵偿性：对同一量在同一条件下进行重复测量，随测量次数不断增加而趋于无穷时，随机误差的算术平均值趋于零。yO正态分布曲线δμ19.99120.0070.2250.120.01x=20.0

ni/N实际分布曲线△x其中y－概率密度

σ－标准偏差δ－随机误差e－自然对数的底=2.71828依据概率论原理正态分布曲线的数学表达式：y正态分布曲线δ2．评定随机误差的尺度——标准偏差公式与随机误差δ和标准偏差σ有关。随机误差指在没有系统误差的条件下，测得值与真值之差，即：δ＝ι－L公式分析：1）当δ＝0时，正态分布的概率密度最大。ymaxps21=esd222-=1y正态分布曲线δ从理论上讲，正态分布中心位置的均值代表被测量的真值，标准偏差σ代表测得值的集中与分散程度。不同的σ对应不同形状的正态分布曲线，σ越小，ymax值越大，曲线越陡，随机误差越集中，即测得值分布越集中，测量精密度越高；σ越大，ymax值越小，曲线越平坦，随机误差越分散，即测得值分布越分散，测量精密度越低。2）若σ1<σ2<σ3，则ymax1＞ymax2＞ymax30σ1σ2σ36σ16σ26σ3yδσ1<σ2<σ3测量列中相应各测得值与真值之差。式中σ测量列中单次测量的标准偏差；（2-10）

由上述分析可知，不存在系统误差时，测量方法精密度的高低可用标准偏差σ的大小表示。根据误差理论，等精度测量列中单次测量的标准偏差σ是各随机误差δ平方和的平均值的正平方根，即：依据概率论原理，正态分布曲线所包含的面积等于其相应区间确定的概率，即：p-¥=ò+¥espsd22221--¥ò+¥=ydδdδ=1p-δ=ò+δespsd22221--δò+δ=ydδdδ误差落在(-∞，+∞)之间，概率P=1；我们研究误差落在(-δ，+δ)之间的概率，上式改写为:设t=δ/σ，则：dt=dδ/σ即：p-t=ò+tept2221-dt由于超出δ=3σ的概率已很小，故在实践中常认为δ=3σ的概率P≈1。从而将δ=±3σ看作是单次测量的随机误差的极限值，称为随机误差的极限，记作：所以误差极限是单次测量标准偏差的3倍，是随机误差不会超过的限度。这时的置信概率P=99.73％。由正态分布的第四个特性可知，当测量次数n增大时，算术平均值愈趋近于真值。因此，用算术平均值作为测量结果比其它任一测量值作为测量结果更可靠。3．算术平均值在评定有限测量次数测量列的随机误差时，必须获得真值，但真值是不知道的，因此只能从测量列中找到一个接近真值的数值加以代替，这就是测量列的算术平均值。若测量列为l1、、l2、…、li，则算术平均值为L式中：nL1=å=nl1iin1=（l1+l2+…+li）Llin——算术平均值——第i个测量值——测量次数4．由残余误差求标准偏差真值L不知，δ也不知，不用该式计算标准偏差σ。在实际应用中用残余误差计算标准偏差σ。=li

-L残余误差由符合正态分布曲线分布规律的随机误差的分布特性可知残差具有下述两个特性：1）当测量次数n足够多时，残差的代数和趋近于零，即≈0；2）残差的平方和为最小即实际应用中，常用≈0来验证数据处理中求得的与是否正确。即单次测量的标准偏差σ的估计值（用S表示）。S可用下式表示为：S=（2-16）贝赛尔公式实验标准偏差σ

=（2-16）系统误差与随机误差在性质上是不同的，它的出现具有一定的规律性，不能像随机误差那样依靠统计的方法来处理，而只能采取具体问题具体分析的方法，通过仔细的校验和精心的试验才能发现与消除。2.8.4系统误差在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持恒定，或在条件改变时，按某一个确定的规律变化的误差。误差数值往往比较大，因而在测量结果中如何发现和消除它是提高测量准确度的一个重要问题。发现系统误差的方法有多种，直观的方法是“残余误差观察法”——根据系列值的残余误差，列表或作图进行观察

残余误差观察法

根据残余误差大小和符号变化规律，由残余误差数据或残余误差曲线来判断有无系统误差。1）若vi大体正负相间，无显著变化规律，则可以认为不存在系统误差。2）若vi有规律地递增或递减，则存在线性系统误差。3）若vi有规律地逐渐由负变正或由正变负，则存在周期性系统误差。(a)不存在变值系统误差(b)存在线性系统误差(c)存在周期性系统误差5liL=li

-L消除系统误差的方法从产生误差根源上消除系统误差要求测量人员对测量过程中可能产生系统误差的各个环节作仔细的分析，并在测量前就将系统误差从产生根源上加以消除。用误差修正法消除系统误差若发现系统误差的存在，且误差的大小、正负均已知道，则可将测量结果减去已知系统误差值。从而获得不含（或少含）系统误差的测量结果。也可将已知系统误差取相反的符号，变成修正值，并用代数法将此修正值与未修正测量结果相加，算出已修正的测量结果。（如游标卡尺磨损造成的误差）若发现2）和3）的系统误差存在，必须采取措施加以消除或减小到最低程度，然后作为随机误差处理。知道误差大小和正负号可采用修正法；不知道误差大小和正负号无法修正，可采用抵偿法或分离法。用误差抵偿消除系统误差

若知道系统误差存在，但不知道误差的大小和正负，则无法进行修正，但通过分析发现，在有的测量结果中，包含有系统误差和另一个测量结果中包含的系统误差其大小相等，而方向相反。因此，可用此两测量结果相加取平均，可抵消其系统误差。

用误差分离消除系统误差

就是采用反向测量或多步测量或多测头测量等的测量方法，使之获得较多的测量信息，然后通过某一种计算方法将其分离，从而或得准确的测量结果。在测量之前，应该尽可能预见到产生系统误差的来源，设法消除之。或者使其影响减少到可以接收的程度。

系统误差的来源一般可以归纳为以下几个方面：由于测量设备、试验装置不完善，或安装、调整，使用不得当而引起的误差。由于外界环境因素的影响而引起的误差。由于测量方法不正确，或者测量方法所赖以存在的理论本身不完善而引起的误差。

2.8.5粗大误差的处理粗大误差也称为疏忽误差或过失误差，指的是明显歪曲测量结果的误差，其数值通常较大。当怀疑测量序列中某些测得值可能含有粗大误差时，应根据一定的判别准则对它们是否含有粗大误差进行判断，若是则应把含有粗大误差的测得值从测量序列中剔除。最常用的粗大误差判别准则是莱依达准则（3σ准则）：

对于某一无系统误差的测量序列，若其中某一测得值的残余误差满足则可以认为该测得值含有粗大误差，应予以剔除。

其他判别准则：肖维勒准则、格罗布斯准则、罗曼诺夫斯基准则（t检验准则）、狄克松准则等。2.8.6函数误差（间接测量误差分析与处理）直接测量中，测量结果的总误差要受测量器具误差、测量方法误差、温度误差、人员误差的共同影响。间接测量中，测量结果的误差受各间接量测量误差的间接影响。设