向量的数量积运算【新教材】2022年人教A版高中数学必修复习巩固训练Word含解析

向量的数量积运算（1）一、知识梳理1、向量夹角：作，则叫做的夹角。。2.数量积：向量的夹角为，向量的数量积_____________.3.投影向量：向量在向量上的投影向量为____________,其中向量为与向量同向的单位向量。4.性质：=1\*GB2⑴，=2\*GB2⑵。即。5.向量乘积与实数乘积的不同=1\*GB2⑴推不出或，=2\*GB2⑵推不出（消去律不成立），=3\*GB2⑶(a·b)·ca·(b·c)，=4\*GB2⑷.二、重点题型知识点一向量夹角的概念1.已知|a|＝|b|＝3，且a与b的夹角为80°，则a＋b与a－b的夹角是________．2．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(CB,\s\up15(→))|＝1，则Aeq\o(C,\s\up15(→))与Ceq\o(B,\s\up15(→))的夹角θ＝________.知识点二平面向量数量积的定义3.若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于()\f(1,2)\f(3,2)C．1＋eq\f(\r(3),2) D．24．已知两个单位向量e1，e2的夹角为eq\f(π,3)，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.知识点三投影向量5.已知等边△ABC的边长为2，则向量eq\o(AB,\s\up15(→))在向量eq\o(CA,\s\up15(→))方向上的投影向量为()A．－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up15(→))\f(1,2)eq\o(CA,\s\up15(→))C．2eq\o(AC,\s\up15(→)) D．2eq\o(CA,\s\up15(→))6．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，记向量a在向量b方向上的投影向量为γ，则|γ|＝()A．4B．3C．2 D．17．已知|a|＝4，e为单位向量，a与e的夹角为eq\f(2π,3)，则e在a方向上的投影向量的模为________．知识点四平面向量数量积的性质及运算律8.给出以下结论：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)·c＝a·(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3 D．49．若|a|＝1，|b|＝2，则|a·b|的值不可能是()A．0\f(1,2)C．2 D．310．如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(CA,\s\up15(→))＝4，eq\o(BF,\s\up15(→))·eq\o(CF,\s\up15(→))＝－1，则eq\o(BE,\s\up15(→))·eq\o(CE,\s\up15(→))的值是________．知识点五平面向量数量积的应用11.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2B．4C．6 D．1212．如图，在△ABC中，AD⊥AB，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\r(3)eq\a\vs4\al(\o(BD,\s\up15(→)))，|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝1，则eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))＝()A．2eq\r(3)\f(\r(3),2)\f(\r(3),3) \r(3)13．设四边形ABCD为平行四边形，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝4.若点M，N满足eq\o(BM,\s\up15(→))＝3eq\o(MC,\s\up15(→))，eq\o(DN,\s\up15(→))＝2eq\o(NC,\s\up15(→))，则eq\o(AM,\s\up15(→))·eq\o(NM,\s\up15(→))＝()A．20B．15C．9 D．614.已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量b与c的夹角为________．三、巩固练习一、选择题1．向量a的模为10，它与向量b的夹角为150°，则它在b方向上的投影向量的模为()A．－5eq\r(3)B．5C．－5 D．5eq\r(3)2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则eq\o(AB,\s\up15(→))·Beq\o(C,\s\up15(→))的值为()A．1B．－1C．2 D．－23．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于()\f(3,2)B．－eq\f(3,2)C．±eq\f(3,2) D．14．设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，给出以下命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中为正确命题的是()A．①②B．①③C．②③ D．③5．对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2二、填空题6．已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影向量的模长为2，则|a|＝________.7．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))＝________.8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为eq\f(π,3)，则实数λ＝________.三、解答题9．(1)已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→)).10．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且a与b具有关系|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|(k>0)．(1)a与b能垂直吗？(2)若a与b的夹角为60°，求k的值．向量的数量积运算（1）参考答案一、知识梳理1.，。2.。3.。4.=1\*GB2⑴，=2\*GB2⑵。二、重点题型°如图，作向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形，则四边形OACB为菱形．∵eq\o(OC,\s\up15(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝a－b，eq\o(OC,\s\up15(→))⊥eq\o(BA,\s\up15(→))，∴a＋b与a－b的夹角为90°.°在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，CB＝1，所以tan∠ACB＝eq\f(AB,CB)＝eq\r(3)，所以∠ACB＝60°，即eq\o(CB,\s\up15(→))与eq\o(CA,\s\up15(→))的夹角为60°，所以eq\o(AC,\s\up15(→))与eq\o(CB,\s\up15(→))的夹角为120°.a·b＝|a||b|cos60°＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).4.－6由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝eq\f(1,2)，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3eeq\o\al(2,1)－2e1·e2－8eeq\o\al(2,2)＝3－2×eq\f(1,2)－8＝－6.在等边△ABC中，∵∠A＝60°，∴向量eq\o(AB,\s\up15(→))在向量eq\o(AC,\s\up15(→))方向上的投影向量为eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up15(→))，∴向量eq\o(AB,\s\up15(→))在向量eq\o(CA,\s\up15(→))方向上的投影向量为－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up15(→)).故选A.设向量a与向量b的夹角为θ，与b方向相同的单位向量为e，则a在b方向上的投影向量γ＝|a|cosθ·e，则|γ|＝||a|cosθ|＝|2×cos120°|＝1，故选D.\f(1,2)∵a与e的夹角θ＝eq\f(2π,3)，∴e在a方向上的投影向量的模为||e|·cosθ|＝eq\f(1,2).①②③显然正确；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线，故④错误；|a·b|＝|a|b||cosθ|，a·b＝|a||b|cosθ，有|a·b|≥a·b，故⑤错误．由向量内积性质知|a·b|≤|a||b|＝2.故选D.\f(7,8)设eq\o(BD,\s\up15(→))＝a，eq\o(DF,\s\up15(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(CA,\s\up15(→))＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，eq\o(BF,\s\up15(→))·eq\o(CF,\s\up15(→))＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝eq\f(13,8)，|b|2＝eq\f(5,8)，则eq\o(BE,\s\up15(→))·eq\o(CE,\s\up15(→))＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝eq\f(7,8).∵a·b＝|a||b|cos60°＝2|a|，∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.∴|a|＝6.故选C.设|eq\o(BD,\s\up15(→))|＝x，则|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝eq\r(3)x，eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))·eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))＝|eq\o(BC,\s\up15(→))||eq\o(AD,\s\up15(→))|cos∠ADB＝eq\r(3)x·1·eq\f(1,x)＝eq\r(3).如图所示，由题设知：eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up15(→))，eq\o(NM,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up15(→))，所以eq\o(AM,\s\up15(→))·eq\o(NM,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up15(→))＋\f(3,4)\o(AD,\s\up15(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up15(→))－\f(1,4)\o(AD,\s\up15(→))))＝eq\f(1,3)|eq\o(AB,\s\up15(→))|2－eq\f(3,16)|eq\o(AD,\s\up15(→))|2＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)×36－eq\f(3,16)×16＝9.°由题意画出图形，如图，因为a，b的夹角为120°，所以∠CAB＝60°，又|b|＝2|a|，所以∠ACB＝90°，所以∠ABC＝30°，则b与c的夹角为150°.三、巩固练习a在b方向上的投影向量的模为||a|·cos150°|＝5eq\r(3).eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))·(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))2＝－|eq\o(AB,\s\up15(→))|2＝－1.∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝eq\f(3,2).故选A.(a·b)·c表示与向量c共线的向量，(c·a)·b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以①错误；[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝0，即(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，故②错误；显然③正确．设向量a，b的夹角为θ，∵|a·b|＝|a||b|·|cosθ|≤|a||b|，∴A正确；∵当向量a，b反向时，|a－b|≥||a|－|b||，∴B错误；由向量的平方等于向量模的平方可知C正确；根据向量的运算法则，可推导出(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，故D正确．因为||a|·cos120°|＝2，所以eq\f(1,2)|a|＝2，所以|a|＝4.7.－16eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AM,\s\up15(→))－eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\o(AM,\s\up15(→))－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AM,\s\up15(→))＋eq\o(MC,\s\up15(→))＝eq\o(AM,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))，∴eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AM,\s\up15(→))－\f(1,2)\o(BC,\s\up15(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AM,\s\up15(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up15(→))))＝eq\o(AM,\s\up15(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up15(→))2＝9－eq\f(1,4)×100＝－16.8.－8或5