第三章：恒定电流

第三章恒定电流3.1电流场1、电流：电荷的定向运动形成电流。正电荷运动方向规定是电流的方向；

电流强度：单位时间内通过导体任一横截面的电量

单位：安培（A）、毫安（mA）、微安（μA）、皮安（pA）++++++几种典型的电流分布粗细均匀的金属导体粗细不均匀的金属导线半球形接地电极附近的电流电阻法勘探矿藏时的电流同轴电缆中的漏电流4

2.电流密度电流密度矢量

的方向沿该点电场的方向，大小等于通过与该点场强方向垂直的单位面积的电流强度.

电流线概念

电流线上某点的切向为该点的方向电流线P电流密度矢量j的分布构成一个矢量场——电流场

电流线的条数密度等于电流密度大小电流强度就是穿过横截面电流线的数目。由电流强度定义电流密度：

是指向电流方向的单位向量，与垂直。通过导体中任意截面S的电流强度与电流密度矢量的关系为

—电流密度通量S二.电流强度与电流密度的关系7三.电流连续性方程对任一闭合曲面，电流密度的通量满足：ISq内微分形式电流连续性方程是电荷守恒定律的数学表述：单位时间内“净”流出封闭曲面的电量，等于封闭曲面内电量的减少，反映了电流分布和电荷分布之间的普遍关系。电流线起始、终止于电荷随时间变化之处：

有电流线发自面内，面内积累负电荷，电荷密度减小。

有电流线止于面内，面内积累正电荷，电荷密度增加。

电流线连续地穿过，面内无电荷积累，电荷密度不变。9

稳恒电流和稳恒电场对稳恒电流

稳恒条件：

稳恒电流：的分布不随时间变化的电流。

若不随时间变化，则电荷分布也不随时间变化：一些电荷从某地流动走的同时，另外一些等量的电荷必将流动过来进行补充。电流线闭合稳恒电场与静电场的相同之处：稳恒电场：稳恒电流情况下，电荷分布不随时间变化，则产生的电场不随时间变化。服从环路定理：服从高斯定理：任何电场都服从高斯定理。电势和电势差概念仍然适用！习惯上仍把稳恒电场称为静电场。稳恒电场与静电场的不同之处：静电场电荷静止，不激发磁场静电平衡时导体内部场强为零，维持静电场不需要能量的转换稳恒电场电荷运动形成电流，激发磁场（静磁场）伴随能量的转换导体内部电场不为零，欧姆定律恒定电场和静电场一样，满足环路定理；欧姆定律积分形式可以引进电势差（电压）的概念电阻率和电导率均匀导体电阻

非均匀导体

电导电导率欧姆定律微分形式

上式给出了j与E的点点对应关系更适用于表征性质各异的导体材料的特征适用范围比积分形式大标量，场强E的方向和电流密度矢量j的方向处处一致

2.有许多材料不服从欧姆定律。例如：低压电离气体，半导体材料等，伏安特性曲线（U~I关系）呈非线性。

欧姆定律的适用范围1.比适用范围广，对非均匀导体成立，对非稳恒电流也成立。3.理想导体的，但不能把超导体简单地看成是理想导体。焦耳定律——电流热效应

电功率：电场在单位时间内所做的功

热功率：单位时间内电流通过导体时产生的热量热功率：热功率只是电功率中转化为内能的那一部分

焦耳定律的微分形式热功率密度：单位体积内的热功率

热功率密度与场强的平方成正比，是点点对应关系，与导体形状无关。导体中一定体积内的发热功率：

求：接地电阻R解：【例题】半径a

的球形电极埋入大地，距地面

h>>a，大地电导率为。设接地电流为I，I大地har18arI大地har当r=10a时：即90%的电势降落在r=10a的范围内。a

r=0.9UarI大地har一、不同导体界面上的边界条件设界面上有自由电荷积累0

由高斯定理和电流连续性方程可得0恒定电流

3.2恒定电流场的边值关系根据欧姆定律的微分形式：可得恒定电场E的边值关系：当界面上没有自由电荷时，两种导体界面上，j法向连续。因为恒定电场是库仑场（保守场或无旋场、势场），所以满足环路定理：在不同导电介质的界面上，恒定电场E切向分量连续

恒定电场的折射定律电流线在边界上的“折射”

J法向分量连续，E切向分量连续架空输电线的电场2=0，理想电解质中无电流，电流密度只存在于导电介质中二、导电介质与理想电介质界面处的边值关系在电流恒定时，导体表面上有恒定的电荷分布0，将在理想电解质中激发恒定电场。这说明，导体表面上的恒定电场既有法线分量E2n，又有切线分量E2t,因此，在恒定电流情况下，导体外（理想电介质中）的恒定电场不与导体表面垂直。这一点与静电场不同。25三电动势26

非静电力:能把正电荷从电势较低的点(如电源负极板)送到电势较高的点(如电源正极板)的作用力称为非静电力.电源：提供非静电力的装置.非静电场场强:单位正电荷所受的非静电力.+++---+27电动势的定义：把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，电源中的非静电力所作的功.自负极经电源内部到正极的方向为电动势的正方向.28电源电动势可定义为把单位正电荷绕闭合回路一周时，电源中非静电力所作的功.电源内部

电流密度一段含源电路的欧姆定律路端电压

外电路上电场力做功沿电源内部积分四、稳恒电流场和恒定电场的基本规律稳恒电流场总是伴随着静电场，当导电介质中有稳恒电流时，如何同时确定电流分布和电场分布，这类问题的基本方程是什么？一.基本方程稳恒条件：

环路定理：欧姆定律：说明：1.载流导电介质中的稳恒电流场和静电场的分布规律完全由导电介质的导电特性决定，而与其极化性质无关，即与电导率有关，与介电常数无关。三个方程闭合：可以完全确定导电介质中的

稳恒电流场和静电场。根据前2式可得在不同导电介质交界面处的界面关系：—确定总电荷分布的

辅助方程2.由静电场的高斯定理可确定载流导电介质中的总电荷分布，这也只与其导电特性有关，与其极化性质无关。—确定自由电荷分布的辅助方程3.导电介质中自由电荷、极化电荷在总电荷中的比例与其极化性质有关。3.4金属导电的经典电子论

有关金属的第一个理论模型1900年特鲁德（PaulDrude）提出把气体分子运动论用于金属，提出了经典的金属自由电子气体模型金属自由电子气体模型晶格（离子实）变化可以忽略价电子，可以脱出成为独立、自由的电子金属自由电子气体模型假定

除了电子与晶格碰撞一瞬间以外，忽略电子与晶格之间的相互作用，即“自由电子近似”忽略电子与电子之间的相互作用，即所谓的“独立电子近似”电子与离子实的碰撞是随机的瞬间事件，碰撞会突然改变电子速度（包括大小和方向），在相继两次碰撞间，电子作直线运动，遵从牛顿定律；同时碰撞还会使电子达到热平衡，碰撞后的电子速度方向是随机的金属中自由电子的运动和单原子的理想气体非常相似。金属中自由电子作无规则热运动其平均速率为v~105m/s，电子在各个方向运动的机会均等因此无规热运动速度的矢量和为零。自由电子的运动相当复杂固有的不规则运动外因电场的作用，将获得与场强方向相反的加速度,并做有规则的定向运动——u而电子与晶格碰撞又不断破坏定向运动——

v

推导：p129质量为m，所带电量为-e自由电子受恒定电场作用而获得定向加速度a

近似：假定电子与晶格点阵只要碰撞一次，它所获得的定向速度就消失，接着又重新开始作定向初速度为零的加速运动——自由程设电子在两次碰撞之间的平均飞行时间为，则在第二次碰撞之前，电子所获得的定向速度为

初速＝0一个自由程内速度与加速度方向一致，解释了j与E处处方向一致电流密度j电子数密度n的关系自由电子数密度：n；电子电量的绝对值：e；设所有电子均以同一定向运动速度u运动则t时间内，通过导体内任一面元迁移的电量为q

考虑方向电导率与电子、v、n的微观平均量相联系，是微观平均量的宏观体现；从经典电子论的观点看电导率和电阻率确实与温度有关，温度升高，电阻率增大，电导率减小

只能定性地说明电子的导电规律。由它算出的电导率与实验数据相差甚远经典理论在解释电子的运动时存在不可克服的困难

——正确的导电理论只能建立在量子理论的基础上按照气体分子运动论观点：例题

设铜导线中的电流密度为2.4A/mm2,铜的自由电子数密度，求自由电子的漂移速度

按此速度，如果开关到灯泡之间用一米长的导线相连，电流从开关传到用电器需要1、2个小时。但实际上当开关一打开，灯立刻就亮了。如何解释？请思考

问题静电场的性质能否推广到稳恒电场？电流场中电流线闭合和静电场中电力线不闭合是否矛盾？§3.5基尔霍夫定律直流电路的基本方程依据元件最简单的联结方式为串联和并联；简单电路：能够通过运用元件串、并联的计算法将电路化为一个单回路复杂电路：不能将元件的联结方式归并为串、并联的电路简单电路高阻起主要作用低阻起主要作用复杂电路

由多个电源和多个电阻复杂联接而成的电路，在一般情况下，这类电路不能用电阻串并联等效变换化简的电路解复杂电路的方法：基尔霍夫电路定律名词解释

支路：电路中由电源、电阻串联而成的通路，支路中电流强度处处相等

节点或分支点：三条或更多条支路的联接点。

回路：几条支路构成的闭合通路2006.5北京大学物理学院王稼军编基尔霍夫第一定律

规定流向节点的电流为负，从节点流出的电流为正汇于节点的各支路电流强度的代数和为零

若一个完整电路共有n个节点，则可以写出n-1个独立的节点方程——基尔霍夫第一方程组基尔霍夫第二定律沿回路环绕一周回到出发点，电势数值不变

写方程的约定规定其绕行方向（可以任意规定）标定一个电流方向解出I>0，——实际电流与标定一致解出I<0，——实际电流与标定相反规定电势从高到低，电势降落为正，电势升高负基尔霍夫第二方程组，又叫回路电压方程电势降落正负的写法

纯电阻元件：若电流方向与绕行方向相同，电势降落为正，若电流方向与绕行方向相反，电势降落为负；

理想电源：当电动势的“方向”（由电源内部负极指向正极）与绕行方向相同时为负，反之为正；实际电源有内阻，可以把一个电源看成一个没有内阻的理想电源和一个纯电阻串联，然后按电阻和理想电源的规定分别写出独立方程的个数

若整个电路可以化为平面电路所有的节点和支路都在一平面上而不存在支路相互跨越的情形——可以把电路看成一张网络网孔的数目就是独立回路的数目节点电流方程＋回路电压方程构成完备方程组，可解，且解是唯一的，它原则上可解决任何直流电路问题

例题：图3-15是一电桥电路，图中G为一检流计，它的内阻为RG。电桥各臂的电阻分别为R1、R2、R3、R4，工作电源的电动势为ε，内阻可忽略。求该电桥不平衡时流过的电流。对节点A对节点B对节点C对回路ABDA对回