第一章检测技术基础知识

现代检测技术

第1章检测技术基础知识误差分析基础系统误差处理

随机误差处理粗大误差处理不确定度评定

主要内容静态特性

回归分析

动态特性

测量信息论简介

1.1检测系统误差分析基础真值——指被测量在一定条件下客观存在的、实际具备的量值。真值是不可确切获知的，实际测量中常用“约定真值”和“相对真值”。约定真值是用约定的办法确定的真值，如砝码的质量。相对真值是指具有更高精度等级的计量器的测量值。标称值——计量或测量器具上标注的量值。如标准砝码上标注的质量数。示值——由测量仪器（设备）给出的量值，也称测量值或测量结果测量误差——测量结果与被测量真值之间的差值。误差公理——一切测量都具有误差，误差自始至终存在于所有科学试验的过程之中。研究误差的目的是找出适当的方法减小误差，使测量结果更接近真值。重复性——在相同条件下，对同一被测量进行多次测量所得到的结果之间的一致性。相同条件包括：相同的测量程序、测量方法、观测人员、测量设备和测量地点等。测量不确定度——表示测量结果不能肯定的程度，或说是表征测量结果分散性的一个参数。它只涉及测量值，是可以量化的。经常由被测量算术平均值的标准差、相关量的标准不确定度等联合表示。测量误差基本概念准确度——是测量结果中系统误差与随机误差的综合，表示测量结果与真值的一致程度，由于真值未知，准确度是个定性的概念。误差的表示方法3）引用误差——绝对误差与测量仪表量程之比。按最大引用误差将电测量仪表的精度等级分为7级，级数a

分别为：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0。2）相对误差——绝对误差与真值之比：在误差较小时，可以用测量值代替真值，称为示值相对误差γx

。1）绝对误差——示值与真值之差。它的负值称为修正值。称为修正值或补值。所以电测量仪表在使用中的最大绝对误差为：决定于量程及精度等级【例】某1.0级电压表，量程为300V，求测量值Ux分别为100V和200V时的最大绝对误差ΔUm和示值相对误差γUx

。误差的表示方法：量程及精度（最大引用误差）检测仪器的精度等级和容许误差精度等级规定：取最大引用误差百分数的分子作为检测仪器(系统)精度等级的标志，也即用最大引用误差去掉正负号和百分号后的数字来表示精度等级，精度等级用符号G表示。为统一和方便使用，国家标准GB776—76《测量指示仪表通用技术条件》规定，测量指示仪表的精度等级G分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0七个等级，这也是工业检测仪器(系统)常用的精度等级。检测仪器(系统)的精度等级出生产厂商根据其最大引用误差的大小并以选大不选小的原则就近套用上述精度等级得到。

例如：量程为0~1000V的数字电压表，如果其整个量程中最大绝对误差为1.05V，则有，检测仪器的精度等级和容许误差由于0.105不是标准化精度等级值，因此需要就近套用标准化精度等级值。0.105位于0.1级和0.2级之间，尽管该值与0.1更为接近，但按选大不选小的原则该数字电压表的精度等级G应为0.2级。因此，任何符合计量规范的检测仪器(系统)都满足由此可见，仪表的精度等级是反映仪表性能的最主要的质量指标，它充分地说明了仪表的测量精度，可较好地用于评估检测仪表在正常工作时(单次)测量的测量误差范围。检测仪器的精度等级和容许误差*容许误差指仪器在规定使用条件下可能产生的最大误差范围，它也是衡量检测仪器的最重要的质量指标之一。通常直接用绝对误差表示。

［例1.1］被测电压实际值约为21.7V，现有四种电压表：1.5级、量程为0-30V的A表;1.5级、量程为0-50V的B表;1.0级、量程为0-50V的C表；0.2级、量程为0-360V的D表。请问选用哪种规格的电压表进行测量产生的测量误差较小?解：分别用四种表进行测量可能产生的最大绝对误差如下，所以，与所选仪表精度等级G、量程有关。通常量程L和测量值X相差愈小，测量准确度较高。所以，在选择仪表时，应选择测量值尽可能接近的仪表量程。

按误差性质分类1）系统误差——在重复条件下，对同一物理量无限多次测量结果的平均值减去该被测量的真值。系统误差大小、方向恒定一致或按一定规律变化。测量误差的分类3）粗大误差——明显超出规定条件下预期的误差，它是统计异常值。应剔除含有粗大误差的测量值。产生原因主要是读数错误、仪器有缺陷或测量条件突变等。2）随机误差——测量示值减去在重复相同条件下同一被测量无限多次测量的平均值。误差大小及符号无规律变化。产生原因主要是温度波动、振动、电磁场扰动等不可预料和控制的微小变量。通常用精密度表征其大小。测量误差的分类静态误差

被测参量不随时间变化时，所测得的误差称为静态误差。动态误差

在被参测量随时间变化过程中进行测量时所产生的附加误差称为动态误差。动态误差是由于检测系统对输入信号变化响应上的滞后或输入信号中不同频率成分通过检测系统时受到不同的衰减和延迟而造成的误差。动态误差的大小为动态时测量和静态时测量所得误差值的差值。按被测参量与时间的关系分类测量误差的分类1.2系统误差的处理系统误差的特点及常见变化规律系统误差的判别和确定减小和消除系统误差的方法曲线1表示测量误差的大小与方向不随时间变化的恒差型系统误差；曲线2为测量误差随时间以某种斜率呈线性变化的线性变差系统误差；曲线3表示测量误差随时间作某种周期性变化的周期变差型系统误差；曲线4为上述三种关系曲线的某种组合形态，呈现复杂规律变化的复杂变差型系统误差。系统误差的特点及常见变化规律系统误差的规律性，系统误差的产生原因一般可通过实验和分析研究确定与消除。系统误差的判别和确定恒差系统误差的确定（1）实验比对对于不随时间变化的恒差型系统误差，通常可以采用通过实验比对的方法发现和确定。实验比对的方法又可分为标准器件法(简称标准件法)和标准仪器法(简称标准表法)两种。以电阻测量为例，标准件法就是检测仪器对高精度精密标准电阻器(其值作为约定真值)进行重复多次测量，测量值与标准电阻器的阻值的差值大小均稳定不变．该差值即可作为此检测仪器在该示值点的系统误差值。其值即为此测量点的修正值。（2）原理分析与理论计算对一些因转换原理、检测方法或设计制造方面存在不足而产生的恒差型系统误差，可通过原理分析与理论计算来加以修正。这类“不足”，经常表现为在传感器转换过程中存在零位误差，传感器输出信号与被测参量间存在非线性，传感器内阻大而信号调理电路输入阻抗不够高，或是信号处理时采用的是略去高次项的近似经验公式．或是采用经简化的电路模型等。需要针对性地研究和计算、评估实际值与理论值之间的恒定误差，设法校正、补偿和消除。（3）改变外界测量条件有些检测系统一旦工作环境条件或被测参量数值发生改变，其系统误差往往也从—个固定值变化成另一个确定值。系统误差的判别和确定变差系统误差的确定

(1)残差观察法当系统误差比随机误差大时，通过观察和分析测量数据各测量值与全测量数据算术平均值之差，即剩余误差(也叫残差)，可发现该误差是否为按某种规律变化的变差系统误差。通常的做法是把一系列等精度重复测量值及其残差按测量时的先后次序分别列表，观察各测量数据残差值的大小和符号的变化情况，如果残差序列呈有规律递增或递减，且残差序列减去其中值后的新数列，在以中值为原点的数轴上呈正负对称分布，则说明测量存在累进性的线性系统误差；

如果发现偏差序列呈有规律交替重复变化，则说明测量存在周期性系统误差。系统误差的判别和确定系统误差的判别和确定

当系统误差比随机误差小时，只能通过专门的判断准则才能较好地发现和确定。这些判断准则实质上是检验误差的分布是否偏离正态分布，常用的有马利科夫准则和阿贝—赫梅特准则等。(2)马利科夫准则

适于判断线性系统误差系统误差的判别和确定

(3)阿贝—赫梅特准则

适于判断周期性系统误差减小和消除系统误差的方法根据不同测量目的，对测量仪器、仪表、测量条件、测量方法及步骤等进行全面分析，发现系统误差，采用相应的措施来消除或减弱它。分析系统误差产生的根源，从产生的来源上消除：仪器、环境、方法、人员素质等。分析系统误差的具体数值和变换规律，利用修正的方法来消除：通过资料、理论推导或者实验获取系统误差的修正值，最终测量值＝测量读数＋修正值。针对具体测量任务可以采取一些特殊方法，从测量方法上减小或消除系统误差，如：差动法、替代法，半周期法。多次测量求平均值不能减小系统误差1.3随机误差的处理

随机误差的统计特性

随机测量数据的分布

随机测量数据的特征参数

随机误差的处理

随机误差的统计特征测量品种某参数测量值平均值1234567891011产品113.013.113.312.813.112.713.213.012.812.913.213.0产品214.614.214.314.714.514.314.814.314.714.614.614.5

当其它误差可以忽略时，随机误差δ可以表示为测量值与真值之差：随机误差的统计特征（4）抵偿性:随着测量次数的增加，随机误差的代数和趋于零。（1）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。（2）有界性：绝对值很大的误差出现的概率为零。在一定的条件下，误差的绝对值不会超过某一界限。（3）单峰性：绝对值小的误差出现的概率大于绝对值大的误差出现的概率;随机测量数据的分布

正态分布对某一产品作N次等精度重复测量，测量序列：服从正态分布（高斯概率分布）标准偏差：随机误差：测量真值：μ当没有决定性影响的误差源存在时，大多服从正态分布。随机测量数据的分布

测量数据概率密度：不同的σ

有不同的概率密度函数曲线，σ一定，随机误差的概率分布就完全确定。随机测量数据的分布平均分布（均匀分布）在某一区域内随机误差出现的概率处处相等。仪器刻度误差最小分辨率误差数字量化误差舍入误差等随机测量数据的分布

t分布**处理小样本的测量数据（n<30）随机测量数据的特征参数

数学期望的估计假设对被测量A进行n次等精度、无系统误差独立测量，则该测量序列的算术平均值是被测量A数学期望的最佳估计。标准偏差的估计由于随机误差与真值有关，是不可知的，工程上常用剩余误差代替随机误差而获得方差和标准差的估计值。剩余误差定义： 用剩余误差计算近似标准差的贝塞尔公式：

随机测量数据的特征参数

随机测量数据的特征参数

算术平均值的标准差**算术平均值的标准差为：当考虑n有限，估计值为：算术平均值比单次测量值的离散度小，精度更高。数学期望方差（标准差σ）随机变量A定义式估计算术平均值的标准差随机测量数据的特征参数

随机测量数据的置信度置信度是表征测量结果可信赖程度的一个参数，用置信区间和置信概率来表示。标准偏差可知分散程度，但是不知真值落入某区间的肯定程度.置信区间[-a，+a]是鉴定测量系统设计的误差指标，对于已有的检测系统，随机误差δ服从正态分布，标准偏差σ已知。区间[-a~+a]与曲线构成的面积就是测量误差在[-a~+a]区间出现的置信概率。随机测量数据的置信度置信概率计算置信概率等于在置信区间对概率密度函数的定积分；随机误差出现的概率就是测量数据出现的概率；由于服从正态分布的概率密度函数具有对称性，随机误差概率公式为:置信区间可用标准偏差的倍数K来表示，K称为置信因子，即：随机测量数据的置信度

令 ，因 ，积分由0到a变为由0到K:上式是一个计算比较复杂的积分，工程中可以通过查K/φ(K)表获得积分值。随机测量数据的置信度

随机误差大于3σ概率为1-0.9973=0.0027，几乎为零，故常将标准差的3倍作为正态分布下测量数据的极限误差。K0.00.51.01.52.02.52.582.63.0φ(K)0.000000.382920.682690.866390.954500.987580.990120.990680.99730随机测量数据的置信度

【例】对某电阻作无系统误差等精度独立测量，已知测量数据服从正态分布，其标准差为0.2Ω，求被测电阻真值R落在区间[R-0.5,R+0.5]Ω的概率。相应的置信概率为：同样可以算出，当置信区间要求为：运算表明：当置信区间要求为： 相应的置信概率为：随机测量数据的置信度

由设定置信概率P来计算置信区间[-a，+a]；【例】对某电压值进行测量，其标准差为0.02V，期望值为79.83V，求置信概率为99%时所对应的测量值置信区间。随机测量数据的置信度

置信概率与置信区间的关系A.若给定置信概率p，则测出的置信区间愈小，表明系统的测量精度愈高。B.若给定置信区间，则测出的置信概率越大，表明系统所测试数据越可靠。*随机误差的处理

随机误差处理平均值处理方法被测样品的真实值是当测量次数n为无穷大时的统计期望值。n次采样数据算术平均值的标准误差为:由上式可见：测量列的算术平均值的标准误差只是各测量值的标准误差σ的。因此，以算术平均值作为检测结果比单次测量更为准确，而且在一定测量次数内，测量精度将随着采样次数的增加而提高。*随机误差的处理平均值先后计算的问题将式（1）（2）式在真值V0

附近展开泰勒级数，保留到二次项得：（2）（1） 当采样次数n不受限制时，可以认为平均值更接近，当测量次数n较大时，可以认为，但不可能为零。说明：直接采样信号的平均值就是系统对检测信号的最佳估计值，可代表其相对真值；，因此应采用：*随机误差的处理采样次数n的确定标准误差σ是在采样次数n足够大得到的，但实际测量只能有限次，测量次数n如何确定？a实际测量中的有限次测量只能得到标准误差的近似值b通过贝塞尔公式求标准误差的近似值c采用近似值通过谢波尔德公式确定测量次数n。*随机误差的处理由贝塞尔（Bessel）公式可推导出用剩余误差计算近似标准误差为：谢波尔德公式给出了标准偏差、近似误差以及检测设备分辨率ω之间的关系：当测量次数n增加，利用随机误差的抵偿性质，使随机误差对测量结果的影响削弱到与相近的数量时，近似误差就趋于稳定，此时测量次数n为选定值，一般n在10~20之间。*随机误差的处理1.4粗大误差的处理

物理判别法——测量过程中——人为因素（读错、记录错、操作错）——不符合实验条件/环境突变（突然振动、电磁干扰等）——随时发现，随时剔除，重新测量统计判别法——测量完毕按照统计方法处理数据，在一定的置信概率下确定置信区间，超过误差限的判为异常值，予以剔除。粗大误差的处理

拉依达准则

（3准则，服从正态分布的等精度测量）随机误差大于3倍标准差的概率仅为0.0027，如果测量值Ak

的随机误差为δk

，且 ，则该测量值含有粗大误差，应予以剔除。实际应用中可用剩余误差代替随机误差，标准偏差采用估计值，即：当n较小时，特别是当n≤10时，该准则失效。以n=10为例，由贝塞尔公式：当n≤10时，剩余误差总是小于，即使在测量数据中含有粗大误差，也无法判定。粗大误差的处理

格拉布斯（Grubbs）准则当测量数据中，测量值Ak

的剩余误差满足下面的条件时，则除去Ak

： 是与测量次数n、显著性水平α相关的临界值，为格拉布斯鉴别值，可以查表获得。显著性水平α与置信概率P的关系为：粗大误差的处理αn0.010.0531.161.1541.491.4651.751.6761.911.8272.101.9482.222.0392.322.11102.412.18112.482.23122.552.29132.612.33特点：1.

对于次数较少的粗大误差剔除的准确性高；

2.每次只能剔除一个可疑值。粗大误差的处理具体步骤：a.用查表法找出统计量的临界值：b.计算各测量值的剩余误差，找出剩余误差绝对值最大值；c.判断：d.剔除含有粗大误差的测量值后，重新计算标准差估计值，重复步骤a~c，直至含有粗大误差的测量值全部被剔除。粗大误差的处理标准差估计值为：【例】对某种样品进行8次检测采样，测得长度值为Xi

，如表所示。在置信概率为0.99时，用格罗布斯准则判断有无粗大误差。8次测量的平均值为：计算相应的剩余误差为：i/次12345678Xi13.613.813.813.412.513.913.513.6δi0.090.290.29-0.11-1.010.39-0.010.09第二次δi-0.060.140.14-0.26/0.24-0.16-0.06粗大误差的处理由上表看出:值得怀疑。n=8，而α=1-P=1-0.99=0.01，查表可得：于是有:因故含有粗大误差，应剔除。粗大误差的处理用余下的7个数据重新计算剩余误差和标准差，标准差估计值为7个数的平均值为最大的已小于判别值，故余下7个测量数据中已无粗大误差存在，在后续计算时可以使用。粗大误差的处理1.5测量不确定度的评定不确定度表明测量结果可能的分散程度。可用标准偏差表示，也可用标准偏差的倍数或置信区间的半宽度表示。用作对测量结果的定量描述。测量准确度因无法获知真值而只能作为结果的定性描述。系统误差大，随机误差小精密度： 概念：重复测量时，测量结果的分散性 表述：随机误差的标准差(standarddeviation)准确度： 性质：测量结果与真值的接近程度，系统误差的影响程度 表述：平均值与真值的偏差(deviation)精确度：

性质：系统误差和随机误差综合影响程度 表述：不确定度(uncertainty)工程表示：引用误差，最大允许误差相对于仪表测量范围的百分率，0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0七级

几个已知的概念测量不确定度

不确定度分类测量不确定度测量不确定度（又称置信因子）测量不确定度正态分布时概率与置信因子k的关系概率p%5068.27909595.459999.73置信因子k0.67611.6451.96022.5763常见概率分布与置信因子k取值概率分布正态分布三角分布均匀分布两点分布置信因子k2～31测量不确定度测量误差与不确定度的比较测量不确定度测量不确定度的评定测量不确定度评定方法A类标准不确定度实验标准偏差贝塞尔公式B类标准不确定度测量不确定度的评定非统计，样值少合成标准不确定度测量不确定度的评定扩展不确定度测量结果的表达方法测量不确定度的评定测量不确定度的评定步骤测量不确定度的评定测量不确定度评定实例某恒温容器温度控制系统，用热电偶数字温度计测量容器内部的实际温度。系统设定温度为400℃，数字式温度计的分辨率为0.1℃，不确定度为0.6℃，热电偶的不确定度为2.0℃（置信水平99％），在400℃的修正值为0.5℃(xt)。当恒温器的指示器表明调控到400℃时，稳定半小时后从数字温度计上重复测得10个恒温器温度值，如表所示。i12345678910ti(℃)401.0400.1400.9399.4398.8400.0401.0402.0399.9399.0Σti=4002.22℃ 均值=400.222℃测量不确定度的评定测量不确定度的评定分析如下：建立测量过程数学模型容器内部某处的温度T与数字温度计显示值t和热电偶修正值B之间的函数关系为：T=t+B分析测量不确定度来源由于各种随机因素影响引起的读数不一致；数字温度计不确定度；热电偶校准时引入的校准不确定度。测量不确定度的评定评定标准不确定度读数不一致引入的标准不确定度μ1，按A类方法评定：样本标准偏差为

故A类不确定度为测量不确定度的评定??有无粗大误差b.数字温度计不准确引入的标准不确定度μ2，按B类方法评定。由于数字温度计的不确定度为±0.6℃，则最大允许误差的区间半宽度a2为0.6℃。设测量值在该区间内为均匀分布，取 ，则μ2为：c.热电偶校准时引入的校准不确定度μ3，按B类方法评定。由于热电偶不确定度为2.0℃，置信水平为99％，假设符合正态分布，置信因子k3＝2.576，故μ3为：测量不确定度的评定只有上下限，区间内概率为1，只能假设均匀分布的情况查数学手册(4)计算合成标准不确定度(5)确定扩展不确定度（总不确定度）取置信因子k=2（置信水平97%），故U为(6)测量结果及其不确定度表示测量不确定度的评定测量不确定度的评定测量不确定度的评定测量不确定度的评定

回归分析是处理变量之间相关关系的一种数理统计方法,用于获得被随机噪声掩盖的测试数据变量之间的依存关系，采用确定的数学函数近似逼近较为复杂的相关关系。

相关分析只能描述两个研究样本之间相互影响的密切程度，不能表示两者之间的因果关系，也无法反映因（自变量）对果（因变量）影响程度。

回归分析不确定事物之间的因果关系，而是在假设因果关系成立的基础之上，分析这种因果关系的性质与大小。回归分析只用于分析不确定型因果关系。1.6回归分析1、变量间的函数关系，是一一对应的确定关系，如以电流i流过电阻R，则电阻两端建立的电压U函数关系U=IR，即测试点在一条线上。X决定y2、变量间的相关关系，不能用函数关系精确表达，一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定，即当变量x取某个值时，变量y的值可能有多个，对应着一个分布。如测试点分布在直线附近。如人的身高与体重之间的关系。X影响y，讨论

变量间的关系可分为函数关系和相关关系。3、利用所求的关系式，根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的值，并要知道这种预测或控制可达到的精密度。回归分析是一种处理变量间相关关系的数理统计方法。解决以下几个问题：1、对一组测试数据考察，区分因变量自变量，并确定变量之间的数学关系式。2、对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著。回归模型的类型回归模型一元回归线性回归非线性回归线性回归非线性回归多元回归一个自变量两个及两个以上自变量1、回答“变量之间是什么样的关系？”2、方程中运用3、主要用于预测或估计回归分析的基本过程确定自变量与因变量选择回归分析的模型估计模型中的参数模型检验模型应用线性模型非线性模型一元线性模型多元线性模型曲线性模型斜距、回归系数、确定系数R检验、F检验、T检验建立模型、预测一元线性回归模型概念1、当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量与自变量之间为线性关系时称为一元线性回归。3、描述因变量如何依赖于自变量和误差项的方程称为回归模型。2、对于具有线性关系的两个变量，可以用一个线性方程来表示它们之间的关系。其中，和称为模型的参数；误差项是随机变量，反映随机因素对y的影响，是线性关系不能解释。是由测量获得的两个变量的一组测试数据。2、误差项是一个期望值为0的随机变量，即。对于一个给定的值，的期望值为：3、对所有的值，的方差都相同，方差齐性。4、误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即—独立性是指对于一个特定的值，它所对应的与其它值所对应的不相关。对于一个特定的值，它所对应的值与其它值所对应的不相关。一元线性回归模型基本假定

1、自变量与因变量呈线性关系且自变量非随机取值固定。1、描述的平均值或期望值如何依赖于的方程称为回归方程。2、简单线性回归方程的形式如下——方程是一条直线，因此也称为直线回归方程。——是回归直线在轴的截距，时的期望值。——是直线的斜率，表示当每变动一个单位时，的平均变动值。回归方程概念要点1、总体回归参数和是未知的，必须利用测试数据去估计。2、用测试数据量和代替回归方程中的未知参数和，这时就可得到经验的回归方程。3、一元线性回归的经验的回归方程——是回归直线在轴上的截距。——是直线的斜率，它表示对于给定的的值，是的估计值，也表示当每变动一个单位时，的平均变动值。经验（估计）的回归方程1、使

的观测值与估计值之间的误差平方和达到最小，以求取、的方法。参数的最小二乘估计2、用最小二乘法拟合的直线来代表

与

之间的关系与实际数据的误差，比其他任何直线都小。式中，根据最小二乘法的要求，可得，、的计算式回归方程的稳定性

1、回归值的波动大小有关，波动愈小，回归方程的稳定性愈好。2、回归值的波动大小的计算公式由标准不确定度来表示。回归值的波动大小不仅与剩余标准差s有关，而且还取决于试验次数n及自变量取值范围。回归方程的方差分析及显著性检验偏差平方和的分解

测量值之间的差异来源于两个方面——由于自变量取值的不同造成的。——除以外的其它因素(如对的非线性影响、测量误差等)的影响。对一个具体的观测值来说，变异（变差）的大小可以通过该实际观测值与其均值之差来表示，即偏差平方和的分解图示两端平方后求和得到总偏差平方和

回归平方和残余平方和

自由度计算公式在总的偏差中除了对线性影响之外的其它因素而引起取值变化的大小；在总的偏差中因和的线性关系而引起的取值变化的大小；总偏差平方和

回归平方和残余平方和

意义反映因变量的n个观测值与其均值的总偏差；三个平方和的意义回归方程的显著性检验1、目的是检验自变量和因变量之间的线性关系是否显著。2、具体方法是将回归均方（MSR,回归平方和除以自变量的个数或其自由度）和残余均方（残余平方和除以相应自由度）加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著。——如果显著，两个变量之间存在线性关系。——如果不显著，两个变量之间不存在线性关系。2、计算检验统计量3、由给定显著性水平，由分布表查得临界值。4、作出决策。若，拒绝，则认为该回归效果显著，y与x有线性相关关系。反之，则不显著。即，检验步骤1、提出假设——

线性关系不显著偏离回归残余总和平方和自由度１标准差统计量置信限0.10.050.01显著否显著否显著否方差分析表回归预测值及其不确定度１、利用估计的回归方程，对于自变量的一个给定值，求出因变量的一个估计值，就是回归的预测值。

——

的标准不确定度来表述：

——

的扩展不确定度来表述：2、预测值与实际值之间存在偏差，因此给出预测值时，还必须给出其不确定度。有以下两种表示方式。【例】试对下表所列实验数据做直线拟合，并作方差分析和预测。

180200145165123110191205104100141135151180190220134135144160110130153145141125190190108110155160204235190210158130177185150170161145107115177205121125165195180240143160151135154150127135147155116100115120【解】直线拟合计算故有直线拟合方差分析偏离平方和自由度标准差统计量置信限0.01回归41037116.8145.0查表可得7.56至7.31之间/view/943edf43be1e650e52ea9945.html残余905732总和5009433高度显著预测对于，查分布表得/view/8861f2283169a4517723a347.html

故有回归直线及预测区间1.7检测系统的静态特性系统概述检测系统的基本特性一般分为两类：静态特性和动态特性。静态特性：是被测参量基本不变或变化很缓慢的情况，即所谓“准静态量”。此时，可用检测系统的一系列静态参数(静态特性)来对这类“准静态量”的测量结果进行表示、分析和处理。动态特性：是被测参量变化很快的情况，它必然要求检测系统的响应更为迅速，此时，采用检测系统的一系列动态参数(动态特性)来对这类“动态量”测量结果进行表示、分析和处理。系统概述已知测量系统特性，输出可测，求输入；已知测量系统特性和输入，推断输出；由已知或观测系统的输入、输出，推断系统特性。*系统概述若输出信号中出现与输入信号频率不同的分量，说明系统中存在非线性环节（噪声等干扰）或者超出了系统的线性工作范围，应采用滤波等方法进行处理。零点（零位）（1）量程：又称满度值，是指系统能够承受的最大输出值与最小输出值之差。如图中yFS所示。静态特性的基本参数（2）精度等级（3）灵敏度：传感器输出变化量与输入变化量之比为静态灵敏度，其表达式为量纲？i.e.100uV/mm（4）分辨力：指传感器能够检测到的、引起输出发生变化的最小输入增量。对于输出为数字量的传感器，分辨率可以定义为一个量化单位或二分之一个量化单位所对应的输入增量，如图所示。使传感器产生输出变化的最小输入值称为传感器的阈值。例若灵敏度10uV/mm，对于分辨力3位半的表，在200mV档位，则分辨不了。（5）重复性（同向行程差/量程）其中，Z为置信系数，对于正态分布，取2,3等。为最大的标准偏差。衡量测量结果分散性的指标，即随机误差大小的指标。输入量同方向、全量程、连续多次测量的曲线的不一致程度（6）线性度：指系统标准输入输出特性与拟合直线的不一致程度，也称非线性误差，用标准特性曲线与拟合直线之间的最大偏差相对满量程的百分比表示。常用的直线拟合方法有：理论拟合、端点连线拟合、最小二乘拟合等。相应的有理论线性度、端点连线线性度、最小二乘线性度等。实际中常用最小二乘拟合直线。最小二乘拟合的原则。（7）迟滞（正返程差/量程）原因：磁滞、弹性滞后、间隙、材料变形等。（8）死区低于灵敏度，零点处（9）可靠性MTBF检测系统的动态特性数学模型（3种表示）1、常系数线性微分方程

2、传递函数：当初始条件满足t≤0时，x(t)=0，y(t)=0微分方程是在时域表达系统的动态特性，难于求解；传递函数是在复频域中用代数方程的形式表达系统的动态特性， ，便于分析和计算。n为系统阶数3、频率响应（稳定常系数线性系统）：

频率响应函数是传递函数的特例，可以由傅立叶变换得到。频率响应函数反映的是系统处于稳态输出阶段的输入输出特性（正弦信号的响应，常用），传递函数则反映了激励所引起的、系统