简单线性规划的应用

第三章 不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 简单的线性规划问题第2课时简单线性规划的应用A级基础巩固一、选择题1．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为 ( )A．z＝6x＋4y

B．z＝5x＋4yC．z＝x＋y

D．z＝4x＋5y解析：设需x辆6吨汽车，y辆4吨汽车．则运输货物的吨数为z＝6x＋4y，即目标函数z＝6x＋4y.答案：A2．某服装制造商有 10m2的棉布料，10m2的羊毛料和6m2的丝绸料，做一条裤子需要 1m2的棉布料，2m2的羊毛料和1m2的丝绸料，做一条裙子需要 1m2的棉布料，1m2的羊毛料和1m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是 20元，一条裙子的纯收益是 40元，为了使收益达到最大，若生产裤子 x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为 ( )x＋y≤10，2x＋y≤10，A. z＝20x＋40yx＋y≤6，x，y∈Nx＋y≥10，2x＋y≥10，B. z＝20x＋40yx＋y≤6，x，y∈Nx＋y≤10，2x＋y≤10，z＝20x＋40yx＋y≤6，x＋y≤10，2x＋y≤10，x＋y≤6，z＝40x＋20yx，y∈N解析：由题意可知选A.答案：Ax≥1，y－1．实数，满足y≥0，则＝()3xyzxx－y≥0，A．[－1，0]B．(－∞，0]C．[－1，＋∞)D．[－1，1)解析：作出可行域，如图所示，y－1x的几何意义是点(x，y)与点(0，1)连线l的斜率，当直线l过B(1，0)时k1最小，最小为－1.又直线l不能与直线x－y＝0平行，所以kl<1.综上，k∈[－1，1)．答案：D4．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：品种年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50解析：设黄瓜、韭菜的种植面积分别为 x，y亩，则总利润z＝40.55x＋6×0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.此时x，y满足条件x＋y≤50，画出可行域如图，得最优解为 A(30，20)，故1.2x＋0.9y≤54，选B.答案：B5．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为 ( )A．2，4 B．3，3C．4，2 D．不确定解析：设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则100x＋160y≤800，x≥1，y≥1，x，y∈N*.求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3，3)．答案：B二、填空题6．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．解析：设生产产品A、产品B分别为x、y件，利润之和为z元，那么1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600， ①x≥0，y≥0目标函数z＝2100x＋900y.二元一次不等式组①等价于3x＋y≤30010x＋3y≤900，5x＋3y≤600，②x≥0，y≥0.作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图)，即可行域．z将z＝2100x＋900y变形，得y＝－3x＋900，平行直线y＝－3x，77 z当直线y＝－3x＋900经过点M时，z取得最大值．10x＋3y＝900，解方程组 得M的坐标(60，100)．5x＋3y＝600所以当x＝60，y＝100时，zmax＝2100×60＋900×100＝216000.故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 216000元．答案：216000x－y＋1≥0，．若，满足约束条件x－2y≤0，则＝＋y的最大值为7xyzxx＋2y－2≤0，________．解析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z＝x＋y经过点A1，113.2时取得最大值，即zmax＝1＋＝223答案：28．满足|x|＋|y|≤2的点(x，y)中整点(横纵坐标都是整数 )有________个．解析：|x|＋|y|≤2可化为x＋y≤2（x≥0，y≥0），x－y≤2（x≥，y<0），－x＋y≤2（x<0，y≥0），－x－y≤2（x<0，y<0），作出可行域，为如图所示的正方形内部 (包括边界)，容易得到整点个数为 13个．答案：13三、解答题9．某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：因素产品A产品B备注研制成本、搭载费用之2030计划最大投资和/万元金额300万元产品质量/千克105最大搭载质量110千克预计收益/万元8060——试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载， 才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？解：设“神十一”宇宙飞船搭载产品 A，B的件数分别为x，y，最大收益为 z，则目标函数为 z＝80x＋60y，根据题意可知，约束条20x＋30y≤300， 2x＋3y≤30，10x＋5y≤110， 2x＋y≤22，件为 即x≥0，y≥0， x≥0，y≥0，x∈N，y∈N， x∈N，y∈N，作出可行域如图阴影部分所示，作出直线l：80x＋60y＝0，并平移直线 l，由图可知，当直线过2x＋3y＝30，点

M

时，z取得最大值，解

得M(9，4)，2x＋y＝22，所以zmax＝80×9＋60×4＝960，即搭载A产品9件，B产品4件，可使得总预计收益最大，为 960万元．10．某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大， 对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：每台空调或月资金供资金冰箱所需资金/元应数量/元空调冰箱成本3000200030000工人工资500100011000每台利润600800——问：该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少？解：设空调和冰箱的月供应量分别为 x，y台，月总利润为z元，000x＋2000y≤30000，则500x＋1000y≤11000，x，y∈N*，z＝600x＋800y，作出可行域(如图所示)．3zz，斜率为＝－3y4800800k4当z最大时z最大，此时，直线＝－3x＋z必过四边形区域的顶800y4800点．3000x＋2000y＝30000，由 得交点(4，9)，所以x，y分别为4，500x＋1000y＝11000，9时，z＝600x＋800y＝9600(元)．所以空调和冰箱的月供应量分别为 4台、9台时，月总利润最大，最大值为9600元．B级 能力提升1．某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、 电和产值如表所示：产品用煤/吨用电/千瓦产值/万元甲产品7208乙产品35012但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多 56吨，供电至多

450千瓦，则该厂最大日产值为

(

)A．120万元

B．124万元C．130万元 D．135万元解析：设该厂每天安排生产甲产品 x吨，乙产品y吨，则日产值7x＋3y≤56，z＝8x＋12y，线性约束条件为 20x＋50y≤450，作出可行域如图所x≥0，y≥0，示，8 z把z＝8x＋12y变形为一簇平行直线系 l：y＝－12x＋12，由图可z知，当直线l经过可行域上的点 M时，截距12最大，即z取最大值，7x＋3y＝56，解方程组 得M(5，7)，20x＋50y＝450，zmax＝8×5＋12×7＝124，所以，该厂每天安排生产甲产品 5吨，乙产品7吨时该厂日产值最大，最大日产值为124万元．答案：B2．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300分钟的广告，广告总费用不超过 9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为

0.3万元和

0.2万元．则该公司可获得的最大收益是

________万元．解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x分钟x＋y≤300，500x＋200y≤90000，和y分钟，总收益为 z元，由题意得x≥0，y≥0.目标函数为z＝3000x＋2000y.x＋y≤300，5x＋2y≤900，二元一次不等式组等价于x≥0，y≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域， 即可行域，如图所示．作直线l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.平移直线l，从图中可知，当直线 l过M点时，目标函数取得最大值．x＋y＝300，联立 解得x＝100，y＝200.5x＋2y＝900，所以点M的坐标为(100，200)．所以z最大值＝3000x＋2000y＝700000(元)．因此，该公司在甲电视台做 100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70万元．答案：703．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min，生产一个骑兵需7min，生产一个伞兵需4min，已知总生产时间不超过10h．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100－x－y，所以利润W＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.