函数的极值与最大（小）值【新教材】2022年人教A版高中数学选择性练习（Word含解析）

函数的极值与最大（小）值练习一、单选题已知函数f(x)=−x3+ax2−4在x=2处取得极值，若m∈[−1,1]，则A.−4 B.−2 C.0 D.2若函数fx=x3−3x在a,6−a2上有最小值，则实数A.−5,1 B.−5,1 C.设函数fx=x2−3eA.fx有极大值且为最大值

B.fx有极小值，但无最小值

C.若方程fx=b恰有3个实根，则0<b<6e已知函数f(x)=13x3−4x+4在区间(2a−5,a2)A.−2,32 B.(−2,2) C.已知函数f(x)=aexA.f(x)在R上单调递增

B.f(x)无极值点

C.当a=2时，函数f(x)在[1,2]上有最小值e

D.若f(x)≥1对任意x∈(0,+∞)恒成立，则a≥函数f(x)=xln x，正确的命题是(    )A.值域为R B.在(1,+∞)是增函数

C.f(x)有两个不同的零点 D.过(1,0)点的切线有两条已知函数f(x)=12x−sinx，xA.π6 B.π−336 C.π+3已知函数fx=exx+klnx−x，若A.(−∞,e] B.(−∞,e) C.(−e,+∞) D.[−e,+∞)函数f(x)=xln x，正确的命题是A.值域为R B.在(1,+∞)是增函数

C.f(x)有两个不同的零点 D.过已知函数fx=ax2+bx−lnx(a>0,b∈R)，若对任意x>0，有A.lna<−2b B.lna>−2b C.lna=−2b函数f(x)=13x3+ax2−2x+1A.−12<a<12 B.−12≤a≤12函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π≤x≤π且x≠0)的图象大致是A. B.

C. D.二、单空题若函数fx=12ax2已知函数f(x)的定义域为−1,5，部分对应值如下表．f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示．x−1045f(x)1221

下列关于函数f(x)的命题：①函数y=f(x)是周期函数；

②函数f(x)在0,2上是减函数；③如果当x∈−1,t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4④当1<a<2时，函数y=f(x)−a有4个零点．其中真命题有__________.

若对任意正实数x，y，不等式(2x−y)−(lny−lnx+1)≤xa恒成立，则实数a的取值范围a为__________已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=−23与x=1处都取得极值，则a+b=_________.若对x∈[−1,2]，不等式函数f(x)=sinx+12sin设函数fx=lnx+k+1，gx=ex.若f三、解答题某种商品每件进价9元，售价20元，每天可卖出69件.若售价降低，销售量可以增加，且售价降低x(0≤x≤11)元时，每天多卖出的件数与x2+x成正比.已知商品售价降低3元时，一天可多卖出(1)试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；(2)该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？

已知函数f(x)=x3(1)当c=1时，讨论函数f(x)单调性；(2)设x1，x2是函数f(x)的两个极值点，当|x1−x答案和解析1.【答案】A

【解答】

解：f′(x)=−3x2+2ax，因为f(x)在x=2处取得极值，所以f′(2)=0,即−12+4a=0，所以a=3，

则f′(x)=−3x2+6x=3x(−x+2),当−1<x<0时，f′(x)<0,f(x)单调递减，当0<x<1时，f′(x)>0,f(x)单调递增，

所以当m∈−1,1，则f【解析】解：由f(x)=x3−3x，得f′(x)=3x2−3．

令f′(x)=3x2−3=0，可得x=±1．

x∈(−∞,−1)时，f′(x)>0；x∈(−1,1)时，f′(x)<0；

x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，

∴f(x)的增区间是(−∞,−1)，(1,+∞)，减区间是(−1,1)，

x=1为函数的极小值点，x=−1为函数的极大值点．

∵函数

f(x)在区间(a,6−a2)上有最小值，

所以函数f(x)的极小值点必在区间(a,6−a2)内，则a<1<6−【解答】解：∵f(x)=(x2−3)∴当x∈(−∞,−3)∪(1,+∞)时，f′(x)>0，函数当x∈(−3,1)时，f′(x)<0，函数∵当x∈(−∞,−3)时，x2−3>0，ex再由f(−3)=6e3如图，由图象可知，f(−3)为函数的极大值但不是最大值，故A错误；f(1)为函数的极小值，且为最小值，故B错误；若要使f(x)=b有3个实根，

则要使函数y=b的图象与函数f(x)的图象有3个交点，

则0<b<6e3，故C正确；

若要使f(x)=b恰有一个实根，

则要使函数y=b的图象与函数f(x)的图象仅有1个交点，

则b>6e4.【答案】D

解：f′x=x2−4，令f′x=0，则x=±2，

则当x<−2时，f′x>0，函数单调递增；

当−2<x<2时，f′x<0，函数单调递减；

当x>2时，f′x>0，函数单调递增．

所以x=−2时，函数f(x)取得极大值283，

且当x=4时，f(4)=283，

要使函数f(x)=13x3−4x+4在区间(2a−5,a2)上存在最大值，

则必有：2a−5<−2a2⩽4⇒−2⩽a<32．

5.【答案】D

【解答】

解：∵f′(x)=aex(x−1)x2，

令f′x>0得x>1，令f′x<0得x<0或0<x<1，

故f(x)在(−∞,0)，(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以A错；

f(x)有极小值f(1)=ae，无极大值，所以B错；

当a=2时，f(x)在[1,2]上单调递增，所以f(x)min=f(1)=2e，所以C错；

f(x)在(0,+∞)上最小值为f(1)=ae，∴ae≥1，∴a≥1e，∴D正确．

6.【答案】B

【解答】

解：因为f′x=1+lnx(x>0)，

当x∈0, 1e时，f′x<0；当x∈1e,+∞时，f′x>0，

所以函数f(x)在0, 1e上单调递减，在1【解答】解：f(x)=12x−sinx，x∈(0,π)，

由f′(x)=12−cosx=0，得x=π3，

当x∈(0,π3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(π3,π)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

则f(x)在【解答】解：∵f(x)=e∴f′=x−1∴x=1是函数f(x)的唯一极值点，

∴ex−kx=0在x∈0,+∞上无解，或有唯一解x=1，

①当x=1为其唯一解时，k=e，令ℎ(x)=ex−ex(x>0)，ℎ′(x)=ex−e，

当x∈0,1时，ℎ′x<0，即ℎ(x)的单调递减区间为0,1，

当x∈1,+∞时，ℎ′x>0，即ℎx的单调递增区间为1,+∞，

∴ℎx在x=1处，取得极小值，

∴k=e时，x=1是f(x)的唯一极值点；

②当k=exx在x∈0,+∞上无解，

设gx=exx

则g′x=exx−1x2，

当x∈0,1时，g′x<0，即g(x)的单调递减区间为0,1，

当x∈1,+∞时，g′x>0，即gx的单调递增区间为1,+∞，

∴gx在x=1处，取得极小值，也是其最小值，gxmin=g1=e，

又k=exx在x∈0,+∞上无解，

∴k<e，

综上k≤e．

9.【答案】B

【解答】

解：因为f′x=1+lnx(x>0)，

当x∈0, 1e时，f′x<0；当x∈1e,+∞时，f′x>0，

所以函数f(x)在0, 1e上单调递减，在1e,+∞上单调递增，

所以x=1e是函数的极小值点，也是唯一的最小值点，即最小值为f1e=−1e，

所以函数f(x)的值域为−1e, +∞，函数的图像如下：

故A错误，B正确，C错误；

设切点为x0,  x0lnx0，则k=f′x0=1+lnx0，

所以切线方程为：y−x0lnx0=1+lnx0x−x0，

又因为切线过点(1,0)，

所以0−x0lnx0=1+lnx01−x0，解得x0=1，

所以切点为(1,0)，即过(1,0)点的切线有一条，故D错误．

10.【答案】A

【解答】

解：f′(x)=2ax+b−1x，

由题意可知，f(x)在x=1处取得最小值，即x=1是f(x)的极值点；

∴f′(1)=0，

∴2a+b=1，即b=1−2a；

令g(x)=2−4x+lnx(x>0)，

则g′(x)=1−4xx；【解答】

解：∵f(x)=12ax2+xln x−x，其中x>0，

则f′x=ax+lnx，

因为函数f(x)=12ax2+xlnx−x存在单调递增区间，

则∃x>0，使得f′x>0，

即∃x>0，a>−lnxx，

构造函数gx=−lnxx，x>0，

则a>gxmin，

g′x=lnx−1x2，令g′x=0，得x=e；

当0<x<e时，g′x<0，gx单调递减；

当x>e时，g′x>0，gx单调递增；

所以，函数gx在x=e处取得极小值，亦即最小值，

则gxmin=ge=−1e，

所以，a>−1e，

故答案为：．

14.【答案】②

15.【答案】(0,1]

【解答】解：不等式(2x−y)⋅(lny−lnx+1)≤xa对x、y>0恒成立，

可得(2−yx)⋅(lnyx+1)≤1a，

可设t=yx(t>0)，可得f′(t)=(2−t)(lnt+1)，

f′(t)=−(lnt+1)+x(−∞,−−(−1(1,+∞)f′(x)+0−0+f(x)↑极大值↓极小值↑所以函数f(x)的递增区间是(−∞,−23)和(1,+∞)，递减区间是(−23,1)，

当x=−23时，f(x)=2227+c为极大值，而f(2)=2+c，

所以f(2)=2+c为最大值．

要使f(x)<c2对x∈[−1,2]恒成立，须且只需c2>f(2)=2+c．

【解析】解：由题意可得：f′(x)=cosx+cos2x=2cos2x+cosx−1=(2cosx−1)(cosx+1)，

∵cosx+1≥0，

∴当cosx>12时，f′(x)>0，

当−1<cosx<12时，f′(x)<0，

即当2kπ−π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z时，f(x)单调递增，

当2kπ+π3<x<2kπ+5π3,k∈Z时，f(x)单调递减，

故f(x)在x=2kπ+π3,k∈Z处取得极大值即最大值，

且f(x)max=sinπ3+12sin(2×π3)=32+12×32=334．

故答案为：334．

对函数求导，分类讨论确定函数的单调性，求得函数的极大值点即可得解．

本题主要考查了函数的导数与极值的关系，考查极值点，属于综合题．

18.【答案】2∴当商品售价为14元时，一天销售利润最大，最大值为975元．20.【答案】解：(1)因为f′(x)=3x2+2bx+1，且