全称量词与存在量词同步练习（含答案）

全称量词命题和存在量词命题的否定1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)命题￢p的否定是p.(√)(2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，￢p(x)的真假性相反．(√)(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(×)题型1全称量词命题的否定2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(C)A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥03．命题“∀x>0，x2>0”的否定是(B)A．∀x>0，x2≤0 B．∃x>0，x2≤0C．∀x≤0，x2≤0 D．∃x≤0，x2≤04．针对我校某次考试有关的命题p：所有理科学生都会做第1题，那么命题p的否定是(B)A．所有理科学生都不会做第1题B．存在一个理科学生不会做第1题C．存在一个理科学生会做第1题D．至少有一个理科学生会做第1题5．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是__{m|3≤m<8}__．解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，故实数m的取值范围是3≤m<8.6．命题p是“对任意实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数．(1)写出命题p的否定；(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？解：(1)命题p的否定：存在实数x，有x－a≤0且x－b>0.(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－a≤0，,x－b>0))的解集不为空集，通过画数轴(数轴略)可看出，a，b应满足的条件是b<a.题型2存在量词命题的否定7．命题“∃x>0，x2－x－2>0”的否定是(C)A．∀x≤0，x2－x－2≤0 B．∃x≤0，x2－x－2≤0C．∀x>0，x2－x－2≤0 D．∃x>0，x2－x－2≤08．命题“∃x∈N，x3<x2”的否定是(B)A．∀x∈N，x3<x2 B．∀x∈N，x3≥x2C．∃x∈N，x3≥x2 D．∃x∉N，x3<x29．命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定为(B)A．存在一个三角形，内角和等于180°B．任意三角形，内角和都等于180°C．任意三角形，内角和都不等于180°D．很多三角形，内角和不等于180°10．设命题p：有些三角形是直角三角形，则￢p为__任意三角形不是直角三角形__．11．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假．(1)p：某些梯形的对角线互相平分；(2)q：存在一个x∈R，使eq\f(1,x－1)＝0；(3)r：在同圆中，有的等弧所对的圆周角不相等；(4)s：存在k∈R，函数y＝kx＋b随x的值增大而减小．解：(1)￢p：任意一个梯形的对角线都不互相平分，由p是真命题可知￢p是假命题．(2)￢q：任意x∈R，使eq\f(1,x－1)≠0，由q是假命题可知￢q是真命题．(3)￢r：在同圆中，任意等弧所对的圆周角相等．由r是假命题可知￢r为真命题．(4)￢s：任意k∈R，函数y＝kx＋b随x的值增大而增大或不变．当k<0时，函数y＝kx＋b随x的值增大而减小，所以s是真命题，￢s是假命题．易错点1忽视否定的范围致错12．若命题p：∀x∈R，eq\f(1,x－2)<0，则￢p：∃x∈R，eq\f(1,x－2)>0或x－2＝0__.[误区警示]本题最容易出现的错误答案是∃x∈R，eq\f(1,x－2)≥0.对含有量词的命题进行否定时，需牢记：(1)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，注意不能只否定结论，而忘记改变量词；也不能只改变量词，而忘记对结论的否定．(2)命题的否定与原命题的真假性相反，可以以此来检验命题的否定是否正确．易错点2写命题的否定时忽略隐含的量词致错13．写出下列命题的否定：(1)可以被5整除的数，末位上是0；(2)能被3整除的数，也能被4整数．解：(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位上不是0.(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．[误区警示]由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“∀x∈M，p(x)”的形式，再把它的否定写成“∃x∈M，￢p(x)”的形式．要学会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．(限时30分钟)一、选择题1．命题“∀x，y<0，x＋y≤－2eq\r(xy)”的否定为(A)A．∃x，y<0，x＋y>－2eq\r(xy)B．∃x，y<0，x＋y≤－2eq\r(xy)C．∃x，y≥0，x＋y>－2eq\r(xy)D．∃x，y≥0，x＋y≤－2eq\r(xy)2．“∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2020”的否定是(C)A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋2020B．∃m，n∈Z，使得m2≠n2＋2020C．∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2020D．以上都不对3．设命题p：∀x∈{x|－1<x<1}，|x|<1，则￢p为(B)A．∃x∈{x|－1<x<1}，|x|<1B．∃x∈{x|－1<x<1}，|x|≥1C．∀x∈{x|－1<x<1}，|x|≥1D．∀x∉{x|－1<x<1}，|x|≥14．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则(D)A．￢p：∀x∈A,2x∉B B．￢p：∀x∉A,2x∉BC．￢p：∃x∉A,2x∈B D．￢p：∃x∈A,2x∉B5．命题“负数的平方是正数”的否定是(D)A．负数的平方不是正数B．有些负数的平方是正数C．所有负数的平方不是正数D．有些负数的平方不是正数6．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(C)A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤07．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(D)A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x28．设命题p：∀x∈Q，x2∈Q，则(D)A．￢p为真命题 B．￢p：∀x∈Q，x2∉QC．￢p：∃x∉Q，x2∈Q D．￢p：∃x∈Q，x2∉Q解析：因为命题p为真命题，所以命题p的否定为假命题，￢p：∃x∈Q，x2∉Q.9．(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是(BD)A．p：所有四边形的内角和都是360°B．q：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0C．r：∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数D．s：对所有实数a，都有|a|>0解析：A项，￢p：有的四边形的内角和不是360°，是假命题．B项，￢q：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立．C项，￢r：∀x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，假命题．D项，￢s：存在实数a，使|a|≤0，真命题．10．已知非空集合M，P，则下列条件中，能得到命题“M⊆P”是假命题的是(D)A．∀x∈M，x∉PB．∀x∈P，x∈MC．∃x1∈M，x1∈P且x2∈M，x2∉PD．∃x∈M，x∉P解析：M⊆P等价于∀x∈M，x∈P.因为“M⊆P”是假命题，所以其否定为∃x∈M，x∉P，它是真命题，故能得到“M⊆P”是假命题的条件是∃x∈M，x∉P.故选D.二、填空题11．命题“∃x>－1，x2＋x－2020>0”的否定是__∀x>－1，x2＋x－2_020≤0__.12．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为∃x，y∈R，x＋y>1，此命题的否定是∀x，y∈R，x＋y≤1，是__假__命题(填“真”或“假”)．13．已知命题q：“三角形有且只有一个外接圆”，则￢q为__存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆__．14．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是__{a|a≥1}__．解析：因为p为假命题，所以命题p的否定：∀x>0，x＋a－1≠0是真命题，所以x≠1－a，所以1－a≤0，所以a≥1.三、解答题15．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假．(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；(3)被8整除的数能被4整除．解：(1)这一命题可以表述为p：对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0都有实数根，其否定是￢p：存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．因为当Δ＝1＋4m<0，即m<－eq\f(1,4)时，一元二次方程没有实数根，因此￢p是真命题．(2)命题的否定：任意正整数都有1和它本身以外的约数，是假命题．(3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．16．已知命题p：∀x∈R，x2－4x＋a≥0，命题q：∃x∈R，ax2－2ax－3>0，若p假q真，求实数a的