任意角同步练习（含答案）

任意角和弧度制任意角1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)角的始边、终边确定的角的大小是确定的．(×)(2)第一象限的角一定是锐角．(×)(3)终边相同的角是相等的角．(×)题型1任意角和象限角的概念2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(D)A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：①－90°<－75°<0°，②180°<225°<270°，③360°＋90°<475°<360°＋180°，④－360°＋0°<－315°<－360°＋90°，所以这四个命题都是正确的．3．关于60°与－60°的说法正确的是(C)A．旋转的角度都是60°，且旋转方向相同B．旋转的角度都是60°，60°角是沿顺时针方向旋转，－60°角是沿逆时针方向旋转C．旋转的角度都是60°，60°角是沿逆时针方向旋转，－60°角是沿顺时针方向旋转D．以上都不对4．在－330°，－885°，1351°，2012°这四个角中，其中第四象限角的个数为(B)A．0 B．1C．2 D．3解析：－330°为第一象限角；－885°＝－165°－720°，是第三象限角；1351°＝271°＋3×360°，是第四象限角；2012°＝212°＋5×360°，是第三象限角．所以第四象限角的个数为1.5．若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在(A)A．第一或第三象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限解析：α＝45°＋k·180°(k∈Z)表示终边落在一、三象限的角平分线上的角，是第一或第三象限角．题型2终边相同的角6．与－457°角终边相同的角的集合是(C)A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}解析：因为－457°＝－2×360°＋263°，所以与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}．7．已知－990°＜α＜－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝__－960°__.解析：因为α与120°角终边相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.又－990°＜α＜－630°，所以－990°＜k·360°＋120°＜－630°，即－1110°＜k·360°＜－750°.所以－3eq\f(1,12)<k<－2eq\f(1,12).所以k＝－3，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°.8．2021°是第__三__象限角．解析：因为2021°＝5×360°＋221°，221°在第三象限，故2021°是第三象限角．题型3象限角及其应用9．角α与β的终边关于y轴对称，则有(D)A．α＋β＝90°B．α＋β＝90°＋k·360°(k∈Z)C．α＋β＝2k·180°(k∈Z)D．α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)解析：因为α，β关于y轴对称，所以α＝360°·k＋180°－β，所以α＋β＝360°·k＋180°(k∈Z)．10．如果α是第三象限的角，那么eq\f(α,3)必然不是下列哪个象限的角(B)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：α是第三象限的角，则α∈(180°＋k·360°，270°＋k·360°)，k∈Z，所以eq\f(α,3)∈(60°＋k·120°，90°＋k·120°)，k∈Z，所以eq\f(α,3)可以是第一、第三、或第四象限角．11．如图，终边在阴影部分内的角的集合为{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}.解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．12．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}.解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°＜α＜150°和210°＜α＜330°.所以α∈{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．易错点1忽视终边相同的角之间的关系13．若α与β终边相同，则α－β的终边落在(A)A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上 D．y轴的非正半轴上解析：因为α＝β＋k·360°，k∈Z，所以α－β＝k·360°，k∈Z，所以其终边在x轴的非负半轴上．[误区警示]终边相同的角的差为k·360°，k∈Z.易错点2忽视区域边界是否取到14．终边落在如图所示阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}.解析：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}．[误区警示]本题易忽略区域边界线是实线还是虚线，边界线是虚线时不等式的“≥”或“≤”应变为“>”或“<”．(限时30分钟)一、选择题1．如果角α的终边上有一个点P(0，－1)，那么α(D)A．是第三象限角 B．是第四象限角C．是第三或第四象限角 D．不是任何象限角解析：因为点P落在y轴的非正半轴上，即α的终边落在y轴的非正半轴上，因此α不是任何象限角．2．在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是(D)A．120° B．60°C．180° D．240°解析：因为与－120°终边相同的角的集合为{α|α＝－120°＋k·360°，k∈Z}．取k＝1，可得在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是240°.3．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是(B)A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°解析：－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°.4．(多选题)若α＝－30°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在(BD)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：α＝－30°＋k·180°(k∈Z)表示终边落在第二、四象限上的角，是第二或第四象限．5．如果α是第三象限角，则－eq\f(α,2)是(C)A．第一象限角 B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角解析：因为α是第三象限角，所以k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°(k∈Z)，所以k·180°＋90°＜eq\f(α,2)＜k·180°＋135°(k∈Z)，所以当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°＜eq\f(α,2)＜n·360°＋135°；当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋270°＜eq\f(α,2)＜n·360°＋315°.所以eq\f(α,2)为第二或第四象限角，所以－eq\f(α,2)是第一或第三象限角．6．已知集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于(C)A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}解析：根据集合B确定集合A中的k的值．当k＝－1,0,1,2时，求得相应α的值为－126°，－36°，54°，144°.故A∩B等于{－126°，－36°，54°，144°}．二、填空题7．已知角α＝－3000°，则与α终边相同的最小的正角是__240°__.解析：与α角终边相同的角为β＝k·360°－3000°(k∈Z)．由题意，令k·360°－3000°>0°，则k>eq\f(25,3)，故取k＝9，得与α终边相同的最小正角为240°.8．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝__270°__.解析：由于角5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.9．角α，β的终边关于y＝x对称，若α＝30°，则β＝60°＋k·360°，k∈Z.解析：因为30°与60°的终边关于y＝x对称，所以β的终边与60°角的终边相同．所以β＝60°＋k·360°，k∈Z.10．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是__－5__度，分针所转成的角度是__－60__度．解析：由题意结合任意角的定义可知，钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是－eq\f(10,60)×eq\f(360°,12)＝－5°，分针所转成的角度是－eq\f(10,60)×360°＝－60°.三、解答题11．已知角β的终边在直线eq\r(3)x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．解：(1)如题图，直线eq\r(3)x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n·180°<720°，n∈Z.解得－eq\f(7,3)<n<eq\f(11,3)，n∈Z，所以n＝－2，－1,0,1,2,3.所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素为60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.12．已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解：(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集