二倍角的三角函数【新教材】2022年苏教版高中数学必修同步教案（学生版教师版）

编号：014课题:§二倍角的三角函数目标要求1、理解并掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式以及倍角公式的变换．2、理解并掌握给角求值、条件求值问题．3、理解并掌握化简、证明问题．4、理解并掌握倍角公式与三角函数性质的综合问题.学科素养目标三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．重点难点重点：化简、证明问题；难点：倍角公式与三角函数性质的综合问题．教学过程基础知识点1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式:(2)本质:两角和的正弦、余弦、正切公式,当两角相等时的特殊形式.(3)应用:①化简;②求值;③证明.【思考】(1)所谓的“二倍角”公式,一定是角与之间的转化关系吗?为什么?(2)公式中的角是任意角吗?提2.倍角公式的变换(1)因式分解变换.(2)配方变换.(3)升幂缩角变换.(4)降幂扩角变换.【课前基础演练】题1.（多选）下列命题正确的是()A.倍角的正切公式的适用范围不是任意角.B.对于任意的角,都有成立.C.存在角,使成立.D.对任意的角都成立.题2.sin15°sin75°的值为 ()A.B.C.D.题3.已知,则sin2α=________,cos2α=________,tan2α=________.关键能力·合作学习类型一给角求值问题(数学运算)【题组训练】题4.()A.B. D.题5.() C. D.题6..【解题策略】利用二倍角公式解决给角求值问题的策略(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用二倍角公式.(2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造二倍角公式的形式.【补偿训练】题7.列各式的值:(1)；(2);(3).类型二条件求值问题(数学运算)【典例】题8.已知,求的值.【解题策略】解决条件求值问题的方法(1)将已知式或未知式化简,使关系明朗化;(2)寻找角之间的关系,特别是已知角与要求的角之间的二倍关系,如果二倍关系中含有已知角和某些特殊角,则利用诱导公式转化后整体代入.【跟踪训练】题9.已知,求和的值.【补偿训练】题10.已知,且，求.类型三化简、证明问题(数学运算、逻辑推理)角度1化简问题【典例】题11.化简:（1）；（2）.【变式探究】题12.化简.角度2证明问题【典例】题13.证明.【解题策略】1.化简三角函数式的常用方法(1)切化弦;(2)异名化同名;(3)异角化同角;(4)高次降低次.2.化简三角函数式的常用技巧(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化;(2)对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分;(3)对于二次根式,注意倍角公式的逆用;(4)利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等.3.证明问题的原则及一般步骤(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.(2)证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.【题组训练】题14.的化简结果为 ()A. B. C. D.题15.求证:.题16.化简:,其中.类型四倍角公式与三角函数性质的综合(逻辑推理、数学运算)【典例】题17.求函数的最小值,并求其单调减区间.【解题策略】倍角公式与三角函数性质的综合问题的解题策略运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asinωx+bcosωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.【跟踪训练】题18.求函数的最小正周期和最小值,并写出该函数在上的单调递减区间.课堂检测·素养达标题19.已知,则的值为 ()A.B.C.D.题20.计算的结果为 ()A.B.C.D.【补偿训练】题21.的值为 ()A.B.C.D.题22.已知,则等于________.题23.函数的最小正周期是________.题24.求证:.编号：014课题:§二倍角的三角函数目标要求1、理解并掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式以及倍角公式的变换．2、理解并掌握给角求值、条件求值问题．3、理解并掌握化简、证明问题．4、理解并掌握倍角公式与三角函数性质的综合问题.学科素养目标三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．重点难点重点：化简、证明问题；难点：倍角公式与三角函数性质的综合问题．教学过程基础知识点1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式:(2)本质:两角和的正弦、余弦、正切公式,当两角相等时的特殊形式.(3)应用:①化简;②求值;③证明.【思考】(1)所谓的“二倍角”公式,一定是角与之间的转化关系吗?为什么?提示:不一定.对于“二倍角”应该广义的理解,如:是的二倍角,是的二倍角,是的二倍角,是的二倍角,…,这里蕴含着换元思想.这就是说“倍”是相对而言的,是描述两个数量之间关系的.(2)公式中的角是任意角吗?提示:对于公式中的角是任意角,但是中的角要保证有意义且分母.2.倍角公式的变换(1)因式分解变换.(2)配方变换.(3)升幂缩角变换.(4)降幂扩角变换.【课前基础演练】题1.（多选）下列命题正确的是()A.倍角的正切公式的适用范围不是任意角.B.对于任意的角,都有成立.C.存在角,使成立.D.对任意的角都成立.【答案】选ACD提示:A√.倍角的正切公式,要求且,故此说法正确.B×.当时,,而.C√.由,得时,成立.D√.由倍角的正弦公式可得.题2.sin15°sin75°的值为 ()A.B.C.D.【解析】选B.原式.题3.已知,则sin2α=________,cos2α=________,tan2α=________.【解析】因为,所以,所以.答案:关键能力·合作学习类型一给角求值问题(数学运算)【题组训练】题4.()A.B. D.【解析】选A.原式.题5.() C. D.【解析】选B..题6..【解析】原式.答案:【解题策略】利用二倍角公式解决给角求值问题的策略(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用二倍角公式.(2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造二倍角公式的形式.【补偿训练】题7.列各式的值:(1)；(2);(3).【解析】(1)原式.(2)原式.(3)原式.类型二条件求值问题(数学运算)【典例】题8.已知,求的值.【解题策略】解决条件求值问题的方法(1)将已知式或未知式化简,使关系明朗化;(2)寻找角之间的关系,特别是已知角与要求的角之间的二倍关系,如果二倍关系中含有已知角和某些特殊角,则利用诱导公式转化后整体代入.【跟踪训练】题9.已知,求和的值.【解析】由，得，则，即.因为，所以，所以，.【补偿训练】题10.已知,且，求.【解析】因为，，所以原式可化为，解得或.因为,所以,故或,即或.类型三化简、证明问题(数学运算、逻辑推理)角度1化简问题【典例】题11.化简:（1）；（2）.【思路导引】结合题目特点,利用二倍角的正弦、余弦公式化简.【解析】(1)原式.(2)原式.【变式探究】题12.化简.【解析】原式.角度2证明问题【典例】题13.证明.【思路导引】利用二倍角公式化简左边式子求解.【解析】.【解题策略】1.化简三角函数式的常用方法(1)切化弦;(2)异名化同名;(3)异角化同角;(4)高次降低次.2.化简三角函数式的常用技巧(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化;(2)对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分;(3)对于二次根式,注意倍角公式的逆用;(4)利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等.3.证明问题的原则及一般步骤(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.(2)证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.【题组训练】题14.的化简结果为 ()A. B. C. D.【解析】选B..题15.求证:.【证明】方法一:左边右边,得证.方法二:右边左边,得证.题16.化简:,其中.【解析】原式.①当时,,此时原式.②当时,,此时原式.类型四倍角公式与三角函数性质的综合(逻辑推理、数学运算)【典例】题17.求函数的最小值,并求其单调减区间.【思路导引】化简f(x)的解析式→f(x)=Asin(ωx+φ)+B→ωx+φ的范围→求最小值,单调减区间.【解析】,因为,所以,所以,所以当,即时,f(x)取最小值为.因为在上单调递增,所以f(x)在上单调递减.【解题策略】倍角公式与三角函数性质的综合问题的解题策略运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asinωx+bcosωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.【跟踪训练】题18.求函数的最小正周期和最小值,并写出该函数在上的单调递减区间.【解析】,所以.由,得,又,所以令k=0,得函数的单调递减区间为.课堂检测·素养达标题19.已知,则的值为 ()A.B.C.D.【解析】选A.因为,所以.题20.计算的结果为 ()A.