东北农业大学《数值分析》课件-第六章

东北农业大学

数值分析

第六章第六章.线性代数方程组的数值解Gauss消去法矩阵三角分解法对称矩阵的平方根法三对角方程组的追赶法向量与矩阵范数及方程组的性态解线性方程组的迭代法分快迭代法§1.引言n阶线性方程组：可以表示成矩阵形式：解线性方程组的两类方法：直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!）迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解)§2.Gauss消去法简单消去法Gauss顺序消去法的可行性及计算量矩阵的三角分解法主元素消去法Gauss-Jordan列主元消去法一、简单消去法将n阶线性方程组转化为等价（或同解）的三角形方程组的过程称为消元过程，逐次求出的步骤称为回代过程。Gauss消去法计算过程:统一记号原方程为相当于第i个方程-第一个方程×数→新的第i方程—同解！第一方程不动！Step1

假设上述消元过程除第一个方程不变以外,第2—第n个方程全消去了变量1，而系数和常数项全得到新值：得到同解方程组为其中Step2.若，保留方程组中第一及第二个方程，消去其余方程中变量x3,得同解方程组记作，其中系数矩阵与常数项：计算出的过程为消元过程。消去过程算法回代过程算法对于例1.用消去法解方程组解：用增广矩阵表示求解过程二、Gauss顺序消去法的可行性及计算量Gauss消去和回代过程都要求元素称之为主元素。若，则计算无法进行。但在系数矩阵保持一定条件时，则可保证主元素非零，使Gauss顺序消去法在计算机上顺利执行。定理1若矩阵A的各阶顺序主子式均不为零，即，则定理2若矩阵A对称正定，则定理3若矩阵A严格对角占优，则矩阵严格对角占优，若消去第一列的n-1

个系数要计算(n-1)+n*(n-1）

次乘法。Gauss消去法乘法计算量消去第二列的n-2

个系数要计算(n-2)+(n-1）*(n-2）

次乘法。……乘法计算量回代过程总计算量Gauss消去法乘除法总运算量为三、矩阵三角分解法其中每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk

，记依此类推，得矩阵的LU分解形式其中方程组可写成若令则上式变成则求解原方程组Ax=b便转化为上述矩阵分解法称为Doolittle分解,计算公式为其中得其余全为0。例2：对于例1，由增广矩阵表示消元过程，有故有

高斯主元素消去法例1在只取小数点后四位数字的条件下，用Gauss顺序消去法解方程组解：由第二个方程可求出代入第一个方程可求出而方程组的准确解为设由第一个方程知因此而于是，有小主元素是算法不稳定的主要原因。

在LU分解法中，若时，计算无法进行，或者绝对值很小时，按分解公式计算时可能会引起舍入误差的增大，因此，与Gauss消去法一样，为了保证运算能顺利进行以及方法的稳定性，三角分解一般采用选列主元的技术，并称之为Crout分解。Gauss-Jordan消去法Crammer法则Gauss顺序消去法Gauss-JordanLU分解法运算量比较§3矩阵的LU分解矩阵的LU分解对称矩阵的平方根法改进的平方根法解三对角方程组的追赶法二、平方根法证明1

；证明2。定理证明（1）定理证明（2）平方根(Cholesky分解法）法改进平方根法三、追赶法定理证明（1）定理证明（2）定理证明（3）追赶法的计算公式矩阵的LU分解平方根法改进的平方根法§4.向量和矩阵的范数及方程组的性态向量范数矩阵的范数方程组的性态及矩阵条件数一、向量范数向量范数二、矩阵的范数矩阵范数例与前述三种向量范数相容的三种矩阵范数：矩阵A的谱半径三、方程组的性态与矩阵条件数矩阵的条件数右端项b的扰动对解的影响系数矩阵A的扰动对解的影响条件数的定义和性质“病态”方程的经验判断误差分析1、矩阵的条件数为了定量刻画方程组的“病态”程度，下面对方程组Ax＝b就系数矩阵的扰动或右端项有扰动的两种情况进行讨论。右端项b的扰动对解的影响系数矩阵A的扰动对解的影响条件数的定义常用的条件数，有条件数的性质“病态”方程的经验判断2、误差分析§4

、解线性方程组的迭代法迭代法概述雅可比(Jacobi)迭代法高斯—塞德尔（Gauss-Seidel)迭代法松弛法迭代法的收敛条件误差估计

一.迭代法概述

迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则。由不同的计算规则得到不同的迭代法，本章介绍单步定常线性迭代法。

直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足.

迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。二.雅可比(Jacobi)迭代法矩阵简化记法收敛与解故如果序列收敛,则收敛到解.B称迭代矩阵.Jacobi迭代法的