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东北农业大学

数值分析

第八章第八章.矩阵特征值和特征向量计算应用背景

工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。

但高次多项式求根精度低,一般不作为求解方法.目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法.主要方法乘幂法与反幂法（迭代法）QR算法Jacobi方法（变换法）§1.乘幂法和反幂法.

一、乘幂法乘幂法：求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。

基本思想：通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。两种特殊情况乘幂法小结二、乘幂法的加速

因为乘幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值，当比值接近于1时，幂法收敛很慢。幂法加速有多种，介绍两种:原点移位法；外推法三、反幂法

反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。反幂法的基本思想原点平移法乘幂法主要用来求矩阵按模最大的特征值；反幂法主要用来求特征向量。

§2.QR方法

60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。实矩阵、非奇异。

理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是唯一的。一、化一般矩阵为准上三角阵§2.Jacobi方法一、矩阵的旋转变换二、Jacobi方法

可证，在一定条件下，基本QR方法产生的矩阵序列｛A(k)｝“基本”收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）。即主对角线（或主对角线子块）及其以下元素均收敛，主对角线（或主对角线子块）以上元素可以不收敛。特别的，如果A是实对称阵，则｛A(k)｝“基本”收敛于对角矩阵。因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中，主对角线子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当k充分大时，A(k)的主对角元（或主对角线子块的特征值）就可以作为A的特征值的近似。基本的QR方法的主要运算是对矩阵QR分解，分解的方法有多种。介绍一种Schmit正交化方法。

基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩阵乘法，计算量大，而且收敛速度慢。因此实际使用的QR方法是先用一系列相似变换将A化成拟上三角矩阵（称为上Hessenberg矩阵），然后对此矩阵用基本QR方法。因为拟上三角矩阵具有较多零元素，故可减少运算量。化A为相似的拟上三角阵的

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