三角函数的积化和差与和差化积课时作业

（第二课时）三角函数的积化和差与和差化积(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题15°sin105°＝()A．eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),4)－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)＋1 D．eq\f(\r(3),2)－1A[cos15°sin105°＝eq\f(1,2)[sin(15°＋105°)－sin(15°－105°)]＝eq\f(1,2)[sin120°－sin(－90°)]＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×1＝eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,2).]20°＋sin40°－sin80°的值为()A．0B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,2)D．1A[原式＝2sin30°cos10°－sin80°＝cos10°－sin80°＝sin80°－sin80°＝0.]3.函数f(x)＝2sineq\f(x,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(x,2)))的最大值等于()A．2sin2eq\f(α,2) B．－2sin2eq\f(α,2)C．2cos2eq\f(α,2) D．－2cos2eq\f(α,2)A[f(x)＝2sineq\f(x,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(x,2)))＝－[cosα－cos(x－α)]＝cos(x－α)－cosα.当cos(x－α)＝1时，f(x)取得最大值1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).]4．将cos2x－sin2y化为积的形式，结果是()A．－sin(x＋y)sin(x－y) B．cos(x＋y)cos(x－y)C．sin(x＋y)cos(x－y) D．－cos(x＋y)sin(x－y)B[cos2x－sin2y＝eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(1－cos2y,2)＝eq\f(1,2)(cos2x＋cos2y)＝cos(x＋y)cos(x－y)．]5．若cosxcosy＋sinxsiny＝eq\f(1,2)，sin2x＋sin2y＝eq\f(2,3)，则sin(x＋y)＝()A．eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)A[∵cosxcosy＋sinxsiny＝eq\f(1,2)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－y))＝eq\f(1,2)，∵sin2x＋sin2y＝eq\f(2,3)，∴2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋y))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－y))＝eq\f(2,3)，∴2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋y))·eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)，∴sin(x＋y)＝eq\f(2,3)，故选A．]二、填空题6．cos2α－cos3α化为积的形式为________．2sineq\f(5α,2)sineq\f(α,2)[cos2α－cos3α＝－2sineq\f(2α＋3α,2)·sineq\f(2α－3α,2)＝－2sineq\f(5α,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(α,2)))＝2sineq\f(5α,2)sineq\f(α,2).]7．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))化为和差的结果是________．eq\f(1,2)cos(α＋β)＋eq\f(1,2)sin(α－β)[原式＝eq\f(1,2)sineq\f(π,2)＋α＋β＋sin(α－β)＝eq\f(1,2)cos(α＋β)＋eq\f(1,2)sin(α－β)．]\f(sin35°＋sin25°,cos35°＋cos25°)＝________.eq\f(\r(3),3)[原式＝eq\f(2sin\f(35°＋25°,2)cos\f(35°－25°,2),2cos\f(35°＋25°,2)cos\f(35°－25°,2))＝eq\f(cos5°,\r(3)cos5°)＝eq\f(\r(3),3).]三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin54°－sin18°；(2)cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°.[解](1)sin54°－sin18°＝2cos36°sin18°＝2·eq\f(2sin18°cos18°cos36°,2cos18°)＝eq\f(2sin36°cos36°,2cos18°)＝eq\f(sin72°,2cos18°)＝eq\f(cos18°,2cos18°)＝eq\f(1,2).(2)cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°＝2cos120°cos26°＋2×eq\f(1,2)(cos120°＋cos26°)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×cos26°＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋cos26°＝－cos26°＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋cos26°＝－eq\f(1,2).10．在△ABC中，若B＝30°，求cosAsinC的取值范围．[解]由题意，得cosAsinC＝eq\f(1,2)[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝eq\f(1,2)[sin(π－B)－sin(A－C)]＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin(A－C)．∵B＝30°，∴－150°＜A－C＜150°，∴－1≤sin(A－C)≤1，∴－eq\f(1,4)≤eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin(A－C)≤eq\f(3,4).∴cosAsinC的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(3,4))).[等级过关练]40°＋cos60°＋cos80°＋cos160°＝()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)A[cos60°＋cos80°＋cos40°＋cos160°＝eq\f(1,2)＋cos80°＋2cos100°cos60°＝eq\f(1,2)＋cos80°－cos80°＝eq\f(1,2).]2.已知α－β＝eq\f(2π,3)，且cosα＋cosβ＝eq\f(1,3)，则cos(α＋β)＝________.A．－eq\f(7,9) B．eq\f(7,9)C．eq\f(9,7) D．－eq\f(9,7)A[cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)＝2coseq\f(π,3)coseq\f(α＋β,2)＝coseq\f(α＋β,2)＝eq\f(1,3)，∴cos(α＋β)＝2cos2eq\f(α＋β,2)－1＝2×eq\f(1,9)－1＝－eq\f(7,9).]3.函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2π,3)))的最大值是________．eq\f(3,4)[由题意知，y＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos2x＋π＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))))＝eq\f(1,2)(－cos2x＋coseq\f(π,3))＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)cos2x，因为－1≤cos2x≤1，所以ymax＝eq\f(3,4).]\f(1,sin40°)＋eq\f(cos80°,sin80°)＝________.eq\r(3)[eq\f(1,sin40°)＋eq\f(cos80°,sin80°)＝eq\f(2cos40°,2sin40°cos40°)＋eq\f(cos80°,sin80°)＝eq\f(cos40°＋cos40°＋cos80°,sin80°)＝eq\f(cos40°＋2cos60°cos20°,sin80°)＝eq\f(cos40°＋cos20°,cos10°)＝eq\f(2cos30°cos10°,cos10°)＝2cos30°＝eq\r(3).]5．已知f(x)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(sin\f(5x,2),2sin\f(x,2))，x∈(0，π)．(1)将f(x)表示成cosx的多项式；(2)求f(x)的最小值．[解](1)f(x)＝eq\f(sin\f(5x,2)－sin\f(x,2),2sin\f(x,2))＝eq