第3章恒定电流的场

第3章恒定电流的场黄丘林电子工程学院西安电子科技大学1本章提纲1恒定电流的电场2磁场与磁感应强度3磁通连续性原理4真空中的安培环路定律5磁介质的磁化与安培环路定律的一般形式6恒定磁场的基本方程和边界条件7磁标位8电感9磁场能量2电流就是电荷运动形成的电荷流，不随时间变化的电流称为恒定电流。要在导体中维持恒定电流，其内部必须有恒定的电场，同时恒定电流又要在其周围空间激发磁场。恒定电流的电场和磁场都不随时间变化，它们彼此独立，互不影响。31恒定电流的电场电流密度在导体中取一截面S，若在时间

内流过该截面的总电荷为

，则通过该截面的电流强度定义为：在电路分析中总认为电流沿着一根横向尺寸可忽略的导线流动，这种电流称为线电流。但当导体的横向尺寸不能忽略时，应该认为电流分布在整个导体的截面上，这种电流称为体电流。如果电流在一个厚度可忽略的导体曲面上流动，则称之为面电流。（安培）（A）41恒定电流的电场对于体电流和面电流，电流强度不能确切地描述电流在导体中的分布情况，故引入电流密度。设

表示导体中

处正电荷运动的方向，取垂直于

的小面积元，通过

的电流为

，则定义处的体电流密度：流过截面S的电流就是

对S的通量，即：（A/m²）51恒定电流的电场对于面电流，以

表示曲面上

处正电荷的运动方向，取一与

垂直的线元，通过的电流为

，则定义处的面电流密度：（A/m）61恒定电流的电场欧姆定律与焦耳定律的微分形式欧姆定律的微分形式

其中

称为导体的电导率，是与导体材料有关的常数，其单位是西门子/米（S/m）。欧姆定律的微分形式与欧姆定律是等价的，而且它描述逐点处的规律，而不是整体规律。71恒定电流的电场对任意

成立，故81恒定电流的电场焦耳定律的微分形式焦耳定律描述导体的损耗功率与恒定电流及恒定电场的关系。如图所示，沿

方向取圆柱形体积元，其两端电压为dU：而通过dS的电流为dI=JdS，则此体积元的损耗功率为：则单位体积内的损耗功率为:∵（W/m³）∴91恒定电流的电场恒定电场的基本方程电流连续性方程即因积分对空间坐标进行，求导对时间进行，可交换顺序：由奥氏公式得：即——积分形式的电流连续性方程101恒定电流的电场因为V是任意的，所以：对于恒定电流，导体中任何地方均不能有随时间变化的电荷分布，即故，电流连续性方程变为：其微分形式为：以上公式表明，恒定电流场是无源场。——微分形式的电流连续性方程或111恒定电流的电场由于载有恒定电流的导体上电荷不随时间变化，因而恒定电场必与静电场具有相同的特性，是保守场，所以：综合得到，恒定电场的基本方程：积分形式微分形式121恒定电流的电场电位满足的方程在均匀各向同性媒质中，由

可得电位

的方程为：131恒定电流的电场恒定电场的边界条件用完全与静电场边界条件类似的方法，可得出恒定电场的边界条件：而电位的边界条件是：141恒定电流的电场分析一下交界面两侧电流的关系。得即由此可看出：1º若

，除

外，在其它情况下，均有

。2º若

（介质），

（导体），则

，

。由于

，所以，在导体与介质的分界面上，电场强度与导体表面不垂直。∴151恒定电流的电场例1

同轴电缆内导体半径为a，外半径为b，填充非理想介质，介电常数

，电导率

，求单位长漏电导。解：设单位长漏电流为I，则半径为r的圆柱面上任一点处：则∴∴单位长漏电导为：161恒定电流的电场例2半球形接地器的接地电阻。解：为便于计算假设电流是均匀的，在大地中距球心r处的电流密度为：故则∴接地电阻：故a越大，接地效果越好。17Tobecontinued……作业：P99：3.3,3.6,3.7.182磁场与磁感应强度恒定电流产生的磁场是不随时间变化的磁场，称恒定磁场。下面介绍恒定磁场的基本概念和基本定律。安培定律安培定律是描述真空中两个截流细导线回路间相互作用力的实验定律。设l、l′分别表示两个闭合回路，其上电流分别为I、I′。则l中

电流I受到的l′中的电流I′的作

用力为：192磁场与磁感应强度——真空的磁导率（H/m）。

R

——电流元

与

间的距离。

——由电流元

指向

的单位矢量。以上公式又可写为：可以证明，两回路的相互作用力大小相等、方向相反，即：如果有多个回路同时作用于l，则l所受的力等于各回路单独作用时的力的矢量和。202磁场与磁感应强度磁感应强度从场的角度来讲，

对

的作用力

应理解为

中的电流

在空间产生的磁场对

的作用。把安培定律改写为：积分号

内可看作电流

受到的

的磁场的作用力。故：

——代表

磁场的一个物理量将其定义为

的磁场在

所在处的磁感应强度。212磁场与磁感应强度毕奥-沙伐定律表示闭合回路

上的电流

在处产生的磁感应强度，单位是特斯拉（T）或韦伯/米²（Wb/m²）。222磁场与磁感应强度23

科学超人：尼古拉·特斯拉“只要我愿意，我可以把地球劈成两半”2磁场与磁感应强度l上的电流元受的力，可见和，且当时，；当时，最大。上式中的被积函数可看作

处电流元

在处产生的磁场的磁感应强度，即：据此，可将毕奥-沙伐定律推广到体电流和面电流。242磁场与磁感应强度对体电流，在导体中处取长为

，截面为

的小柱体，则其中电流：等效电流元为：该电流元在

处产生的磁感应强度为：则：252磁场与磁感应强度类似地可得到面电流的磁感应强度为：例3

一无限长直导线通过电流I，求空间任意一点的磁感应强度

。解：如图，导线沿z轴放置，则磁场与z无关，即任意点

处的磁场与

处相同。所以262磁场与磁感应强度272磁场与磁感应强度例4

一通过电流I的环，半径为a，求其轴线上任意一点的磁感应强度

。282磁场与磁感应强度292磁场与磁感应强度例5

宽度为2a的无限薄导体通过总电流I，电流在导体中沿纵向流动并在宽度方向均匀分布，求导体所在平面内距其中线d(d>a)处的磁感应强度。解：处宽为的无限长导体带可看作无限长线电流，电流为由例3的结果，它在处产生的磁感应强度为302磁场与磁感应强度例6

一无限长螺线管半径为a，每单位长度绕n匝线圈，导线中电流为I，求其轴线上任一点的磁感应强度。解：根据例4的结果，在

处取长度为

的螺线管，它可看作半径为a，总电流为

的圆环电流，它在z处产生的磁感应强度为：312磁场与磁感应强度323磁通连续性原理下面从磁感应强度表达式出发讨论它穿过任意封闭曲面的磁通量。以线电流的磁场为例，因为则由矢量恒等式则有333磁通连续性原理考虑到矢量恒等式所以类似地，面电流和体电流的磁感应强度也满足上式，这说明任意磁场的磁感应强度穿过任意封闭曲面的磁通量恒等于0，这一性质称为磁通连续性原理。根据散度定理，有由于区域V是任意的，所以在空间任意点都有这是磁通连续性原理的微分形式。说明恒定磁场是无源场。344真空中的安培环路定律安培环路定律磁力线必与电流相交链，无电流即无磁场。电流与磁场的关系究竟如何？这就是安培环路定律所要研究的内容。安培环路定律的表达式如下：其中l是任一闭合有向路径，I是与路径l相交链的总电流（穿过以l为边界的任意曲面的电流）。当I的方向与l的方向成右手螺旋关系时，I为正，反之为负。354真空中的安培环路定律可通过一简单特例加以验证：无限长线电流的磁场，取l为以电流线上一点为中心，在垂直于导线的平面内作一圆周：由安培环路定律，对右图情况，

应有：364真空中的安培环路定律安培环路定律的应用与静电场中的高斯定理类似，对于某些特殊分布的电流，可用安培环路定律求磁感应强度。1º在闭合路径l上

的数值处处相等，

的方向处处与

平行2º在l的一部分

上满足1º，在另一部分

上处处与

垂直或

则：或37Tobecontinued……作业：P100:3.12,3.13,3.17.385磁介质的磁化与安培环路定律的一般形式磁矢位由

可知，

是管形场，而根据管形场的充要条件，

必可表示为某矢量函数

的旋度，即：其中

称为矢量磁位或简称磁矢位。从线电流、面电流以及体电流磁感应强度

的表达式，可以推出，它们相应的磁矢位表达式：395磁介质的磁化与安培环路定律的一般形式因为

只与源点坐标有关，上式第二项为0，故类似地，面电流和体电流的磁感应强度可表示为405磁介质的磁化与安培环路定律的一般形式相应的磁矢位分别为：有时先根据电流分布计算出磁矢位

，再由

求

是方便的。线电流：面电流：体电流：415磁介质的磁化与安培环路定律的一般形式磁偶极子尺寸很小的小电流环称为磁偶极子。因小电流环在远区产生的磁场酷似电偶极子在远区产生的电场而得名。位于坐标原点处的磁偶极子在远处产生的磁场在磁矢位和磁感应强度分别为：其中

称为磁偶极子的磁矩。425磁介质的磁化与安培环路定律的一般形式对比电偶极子当磁偶极子放入外磁场中，要受到外磁场对它的作用：在均匀外磁场中，

。外磁场对它的力矩为：可见，外磁场的作用将使

最终沿

方向取向。435磁介质的磁化与安培环路定律的一般形式磁介质的磁化物质分子内部由于电子的自旋和轨道运动形成电流，这种电流称为分子电流。由于不同物质分子内部电子的排列不同，有的物质分子内所有电子运动形式的电流不能相互抵消，每个分子都是一个小电流环，即磁偶极子，分子具有固有磁矩。在无外加磁场时，由于固有磁矩的任意排列，分子电流互相抵消，物质对外不显示磁性。在外磁场作用下，分子固有磁矩都顺磁场方向排列，分子电流产生的磁场与外磁场相迭加，使物质内部的磁场加强，这种物质称顺磁性物质。445磁介质的磁化与安培环路定律的一般形式另一种物质分子内各电子运动所形成的电流互相抵消，分子无固有磁矩，对外不显磁性。在外磁场作用在，电子的运动状态将发生变化，形成的电流不再相互抵消，形成分子电流，于是产生分子磁矩。这种分子磁矩与外磁场方向相反，产生的磁场与外磁场相互抵消，使物质内部磁场减弱，这种物质称反磁物质（或抗磁性物质）。物质内部分子在外磁场作用下形成按一定规律排列的等效磁偶极子，这种现象称为磁介质的磁化。为描述物质的磁化程度，引入磁化强度：455磁介质的磁化与安培环路定律的一般形式在体积元

内的等效磁矩

产生的磁矢位为：其中

表示对带“´”的坐标的运算。总的磁矢位：465磁介质的磁化与安培环路定律的一般形式利用：以及得：比较上式与体、面电流矢位公式，上式等效于一个体电流：和一个面电流：475磁介质的磁化与安培环路定律的一般形式可见，物质磁化的效果可以用介质内的束缚体电流和介质表面的束缚面电流来等效。若材料和外磁场是均匀的，则物质内部分子电流处处相互抵消，不存在

，只在表面上有

，否则，其内部也有体电流

。485磁介质的磁化与安培环路定律的一般形式安培环路定律的一般形式物质的磁化效应用束缚电流等效代替之后，应用真空中的安培环路定律，应有：即：令：——磁场强度则：——介质中的安培环路定律（微分形式）495磁介质的磁化与安培环路定律的一般形式相应的积分形式：即：——积分形式对各向同性磁介质：——磁化率则：——物质的磁导率——相对磁导率对于大多数的非铁磁性物质，都有

。对于真空

，

，则上述安培环路定律即变为真空中的安培环路定律。505磁介质的磁化与安培环路定律的一般形式例

一导体圆柱半径为a，均匀分布电流I，柱外填充均匀磁介质，磁导率为

，求柱外的

。解：无磁介质时磁场为柱对称，放入均匀磁介质，其磁化情况也必为柱对称，所以总磁场仍为柱对称。且磁场与z无关。做如图所示闭合路径l，则：516恒定磁场的基本方程和边界条件基本方程描述恒定磁场通量特性和环量特性基本性质的方程即为磁通连续性原理和安培环路定律。它们就是表达恒定磁场的基本方程。另外，基本方程通常还包含描述物质特性的结构方程：或或526恒定磁场的基本方程和边界条件边界条件由于在不同磁介质的交界面上，磁化后出现束缚面电流，因此在界面两侧

和

都将发生突变。的边界条件在边界上取一小圆柱，底面积

，高度

。∵∴∵很小，上、下底面上

、

均可认为在

上为常矢，则：536恒定磁场的基本方程和边界条件∴或即：

的法向分量连续。的边界条件在边界上紧贴边界取矩形回路，长边为

，短边

，由安培环路定律：很小，可认为、在近似为常矢，则：546恒定磁场的基本方程和边界条件∴或由矢量公式写成矢量形式：∴∴∴在无自由面电流的分界面上：或557磁标位因为

，故在没有电流的区域（）：即在无电流区域内，

可表示为某标量函数的梯度：∵即∴与静电场中电位的讨论类似，磁标位所满足的边界条件如下：——标量磁位或简称磁标位——磁标位满足的微分方程56基本方程和边界条件比较基本方程比较静电场恒定电流场恒定磁场57基本方程和边界条件比较边界条件比较静电场恒定电流场恒定磁场588电感设均匀各向同性的线性媒质中有两个邻近的闭合回路

、

，它们所围面积分别为

和

。若回路

中通过电流

，则它在空间任一点的磁感应强度

与

成正比，故穿过

和

的磁通量也与

成正比，即：如果回路由N匝导线绕成，且忽

略每匝之间的漏磁通，则穿过回

路C1的总磁通（或磁链）为：显然：598电感可表示为：其中

是与电流无关的，而与线圈的尺寸、形状、媒质以及线圈匝数的函数。称为线圈的电感。同时，

的磁场穿过

的磁链也与

成正比：是两线圈尺寸、形状、媒质、匝数以及两线圈距离的函数，称为两线圈的互感。（亨利）（亨利）608电感若回路

中也同时通有电流

，同样有