《随机变量和数学期望》案例

《随机变量和数学期望》教学案例=1\*ROMANI：教案一．【教学目标】1.掌握随机变量的定义，会通过随机变量把随机事件转化成实数。2.掌握用随机变量表示所有的基本事件及其概率，并会求随机变量的数学期望，方差，标准差。3.了解数学期望的性质。二．【教学重点与难点】【教学重点】随机变量的数学期望，方差，标准差的运算。【教学难点】随机变量表示所有的基本事件，并求其概率。三．【教学准备】完成事件和的概率，独立事件积的概率教学，根据教学需要准备一颗骰子，一枚硬币，有利于形象说明随机实验中的可能结果。四．【教学过程】一．随机变量的引入1.“随机事件”的概念回顾:在高中数学课本第17章概率论初步中，我们把随机实验的一个可能结果叫做一个基本事件，基本事件的集合叫做基本空间，也称样本空间，记作.2.随机变量引入：抛掷一颗骰子可能出现“1，2,…，6”点（做实验）。我们把掷一颗骰子的样本空间为，其中基本事件表示“掷一颗骰子出现k点”，那么掷一颗骰子时出现的数值可以用基本空间上的函数：来描述。一般地，我们把定义在基本空间上的函数叫做随机变量。例如在旋转一枚均匀硬币的试验中，结果有两个，“出现正面”或“出现反面”，与数值无关。但我们可以用设定的方法定义出现正面的对应数“1”，出现反面的对应数“0”3.给出例1，例2，让学生清楚地了解随机事件，随机变量及其取值的概率，三者之间的对应关系。二．数学期望的运算…………1.说明：取离散值的随机变量叫做离散型随机变量，其取值概率如表所示…………其中叫做随机变量的概率分布律，它满足：（1）（2）随机变量的数学期望为：随机变量的方差为：方差的算术平方根叫做随机变量的标准差。2.求下列两表中数学期望和方差12334表2表1表2表1得：，结论：随机变量的数学期望并不能表示随机变量取值的全部特征，两个随机变量均值相等，但它们的方差可能相差很大。说明：1.平均数与数学期望的主要差异：平均数一般指个数的算术平均数，数学期望是以概率为权的加权平均数，其中是随机变量取的概率，.2.随机变量的方差和标准差刻画了随机变量取值的离散程度。三．数学期望的性质1．学生完成例5，通过练习继续巩固数学期望的运算。2．提问“如果把题目中一注改成2注彩票后的数学期望是多少？”购买一注彩票的期望收益是元，则2注彩票的期望收益是元。数学期望的性质：设是随机变量,是任一实数,那么设是随机变量,,都是存在数学期望的随机变量,那么.常数的数学期望是常数本身,即.03.书后练习：求的数学期望,设的数学期望.解:的数学期望,的数学期望.四．例题举隅例1.某实验室新购进10件精密仪器,因运输途中一次意外紧急刹车,导致其中3件仪器有不同程度的破损(变成废品)余下7件完好无损.现从包装箱中一件一件地抽取仪器,假设每件仪器抽到的可能性都相同.若每次抽出后都不放回,当拿到完好无损仪器时停止抽取,请写出抽取次数的概率分布律,求.分析：因为一共有三件次品,所以随机变量对应有四个值“1,2,3,4”为1时即第一次就抽到正品,即从10个里面抽一个正好抽到7个正品中的一个,概率为.为2时意味着第二次才抽到正品,则第一次应该为次品,所以第一次的概率为,第二次抽为正品,但是此时总数共9个,所以第二次的概率为,则当随机变量对应的值为2时,概率为为3时意味着第三次抽到正品,概率为为4时意味着第四次抽到正品,概率为解:抽取次数的概率分布律为：1234例2.袋中有8个颜色不同,其它都相同的球,其中1个为黑球,3个为白球,4个位红球.若从袋中一次摸出3个球,且所摸得的3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时得到红球的个数为,求随机变量的概率分布律,并求的数学期望和方差.分析:因为红球个数大于等于黑球与白球,所以随机变量对应有三个值“1,2,3”，此时研究概率时所有可能情况指的是抽取的3个球得保证红球的个数大于等于黑球与白球，所以我们考虑时可以排除黑球或白球的个数多于红球，即所有可能情况.当红球为1个时，意味着黑球和白球都是一个，所以概率为.当红球为2个时，意味着黑球一个或者白球一个，概率为.当红球为3个时，意味着没有黑球和白球，概率为.解：红球个数的概率分布律为：123说明：此两例复习随机变量的数学期望和方差，并且两例在求概率时都有所不同，例1中要注意抽取时是一件一件抽取而且不放回，而例2要注意这里研究概率时所有情况不能视为从8件里抽取3件，而是要注意满足红球的个数大于等于黑球和白球。Ⅱ：教案设计说明本教案由生活中可操作的试验入手，形象地展现了随机实验的几种可能情况，能让学生更加清晰地清楚随机事件，从而对于基本空间里的元素我们找到对应关系从而建立函数来引出随机变量，在引入数学期望的概念时和平均数想结合，这样对于后面引入的方差和标准差也不难理解了，可以和之前的统计里的内容相互结合。对于数学期望的性质通过一个生活中买彩票的实例来说明比较形象，而通过一个例题的练习能让学生更好地巩固这个知识点。在每一次求随机变量对应概率又是对概率知识的回顾，在学习完事件和的概率，独立事件积的概率后也能更好的帮助我们解决一些概率问题，再来学习随机变量和数学期望是一个很好的巩固过程。选取的两个例题都具有一定的典型性，例1中每个随机事件的概率都可以理解成是独立事件积的概率，而例2中对于随机事件“红球为2”的概率我们可以理解成两个互不相容事件和的概率。这两个例题在巩固新知识的同时也帮助学生更好地巩固之前的两个小节内容。Ⅲ：教学反思所谓“教学有法，但无定法”，教师要能随着教学内容的变化，教学对象的变化，教学设备的变化，灵活运用教学方法。对于新授课，我们这里采用的讲授法向学生传授新知识，本案例通过对于一些概念通过做实验的方法能让学生清楚的了解它答案的由来，而且从