立体几何复习专题(空间角)

实用文案专题:空间角一、基础梳理两条异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围： (0, ]。22）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线a,b垂直，记作ab。3）求异面直线所成的角的方法：1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线；2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。1：三棱柱OABO1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，O1OB60,AOB90，且OBOO12,O1B1OA3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦。A1O BA2．直线和平面所成的角（简称“线面角” ）（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为 0角。直线和平面所成角范围： 0， 。22）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。Pa（3）公式：已知平面的斜线a与内一直线b相交成θ角，且a与相交成1角，a在上的射影c与b相交成2角，则有cos1cos 2 cos 。 A由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。

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cOB b标准文档实用文案考点二：直线和平面所成的角例2.如图，在三棱柱ABCABC边形AABB是菱形，四边形BCCB

C中，四是矩形，CBAB,CB2,AB4,ABB600，AB求AC与平面BCCB所成角的正切。CA B3：（1）在1200的二面角PaQ的两个面P与Q内分别有两点A、B，已知点A和点B到棱的距离分别为2cm,4cm，且线段AB10cm。求：①直线AB和棱a所成角的正弦值；②直线AB和平面Q所成角的正弦值。（2）（08全国Ⅰ11）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．1B．2C．3D．23333（3）如图，在矩形ABCD中，AB33,BC3，沿对角线BD将BCD折起，使点C移到C点，且C点在平面ABD上的射影O恰在AB上。求直线AB与平面BCD所成角的大小。33C(C)BA3OABCDD标准文档实用文案（4）①AB为平面 的斜线，则平面 内过A点的直线l与AB所成的最小角为_____________，最大角为__________________。平面内过 A点的直线l与AB所成角 的范围为_______________。②AB与平面 内不过A点的直线所成的角的范围为_______________________。

BBl③直线l1与平面 所成的角为 300，直线l2与l1所成角为600，则l2与平面 所成角的取值范围是______________________。④设直线l平面，过平面外一点A与l,都成300角的直线有且只有()（Ａ）１条（Ｂ）２条（Ｃ）３条（Ｄ）４条⑤过正方体的顶点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等。试写出满足条件的一个截面 ________________________（注：只须任意写出一个） ，并证明。3．二面角1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为l，两个面分别为,的二面角记为l。（2）二面角的平面角：Ol过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内．．．．．．作棱的两条垂线 OA,OB，则 AOB叫做二面角的平面角。说明：①二面角的平面角范围是 0, ，因此二面

O ABO' A'B'角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直。3）二面角的求法：4）（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法）标准文档实用文案（二）间接法：面积射影定理的方法。（4）面积射影定理：面积射影定理：已知ABC的边BC在平面内，顶点A。设ABC的面积为S，它在平面内的射影面积为S1，且平面与ABC所在平面所成的二面角为(00900)，则cosS1。AS注：①面积射影定理反映了斜面面积、射影面积S和这两个平面所成二面角的平面角间的关系；ABC可以推广到任意的多边形。A1②在二面角的平面角不易作时，经常采用“面积射影定理法”。BDS1C例3．如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点。

S1）证明EF∥平面SAD；2）设SD2DC，求二面角AEFD的大小。FD

CA E B如图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， ACB 900,CB 1, C1CA3,AA16，M为侧棱CC1上一点，AMBA1。A1B1（1）求证：AM平面A1BC；M（2）求二面角BAMC的大小；（3）求点C到平面ABM的距离。CA B标准文档实用文案四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，ABC2，CD2，ABAC。①证明：ADCE；②设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小。B EC DS为直角梯形ABCD所在平面外一点,ABC900,SAS面ABCD,SAABBC1，AD1，求平面SCD与平面2SAB所成二面角的大小。BAD

C等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为3，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于3。标准文档实用文案例4．如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCDC1是矩形，且侧面ABB1A1底面D1ABCD，AB1BB1,AN3NB,M、E分别是B1C、AB的中点，A1B1F是EC的中点，AB4,MNM2，侧棱与底面ABCD成450的角。DC（1）求证：MF底面ABCD；（2）求二面角MABC的大小；F（3）求MN与平面B1CE所成角的大小。AENBC11．（1）已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB，则ABA1B与AC1所成的角为（）（A）450（B）600C1（C）900（D）1200A1B1（2）（08全国Ⅱ10）已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为（）A．1B．2C．3D．23333（3）RtABC的斜边在平面内，顶点A在外，BAC在平面内的射影是BAC，则BAC的范围是________________。（4）从平面外一点P向平面引垂线和斜线，A为垂足，B为斜足，射线BC，这时PBC为钝角，设PBCx,ABCy，则（）A.xyB.xyC.xyD.x,y的大小关系不确定（5）相交成60°的两条直线与一个平面所成的角都是45°，那么这两条直线在平面内的射影所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°（6）一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，这条线标准文档实用文案段与平面所成的角是；若一条线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2，3，则线段所在直线与平面所成的角是。cmcm（7）PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）A．1B．2C．6D．3223D13C1（8）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M,N分别是A1A,AB上的点，若NMC1900，AB1那么NMB1的大小是（）A.大于900B.小于900MDCC.900D.不能确定（9）已知SOANABC所在平面于O点，且S到A,B,C三点等距离，若cosAcosBsinAsinB，则O点（）A.必在ABC的某一边上B.必在ABC外部（不含边界）C.必在ABC内部（不含边界）D.以上都不对（10）如果直角三角形的斜边与平面平行，两条直角边所在直线与平面

BABC中，有所成的角分别为1和2，则（A．sin21sin22C．sin21sin22（11）如图，，A，B到l的距离分别是是 和 ，AB在 ，

）122B．sin1sin21D．sin21sin22l，A，B，a和b，AB与，所成的角分别内的射影分别是m和n，若ab，

11A则（ ）A． ，m nC． ，m n

B．，mnD．，mn

l

a b B（12）与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是 ________。2.已知直三棱柱ABCA1B1C1,ABAC,F为BB1上一点，BFBC2a,FB1a。（1）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明：EFFC1；（2）若A1B13a，求FC1与平面AA1B1B所成角的正弦值。DBCEAFB1 C1A1标准文档实用文案3.已知直角三角形ABC的两直角边AC2,BC3，P为斜边AB上的一点，现沿CP将ACP折起，使A点到A点，且A在面BCP内的射影在CP上。当AB7时，求二面角PACB的大小。A(A)APP2C3BCBC1DA14．如图正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为a，侧棱FB1长为2a，若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平2面交上底面于 DB1。（1）试确定D点的位置，并证明你

EGC的结论；（2）求平面AB1D与侧面AB1所成的角及平面AB1D与底面所成的角；（3）求A1到平面AB1D的距离。

A B5．如图,在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝23，AA1＝3，AD⊥DC，AC⊥BD,垂足为E。（I）求证：BD⊥A1C；（II11）求二面角A－BD－C的大小；（III）求异面直线AD与BC1所成角的大小。标准文档实用文案6.如图，平面ABEF平面ABCDABEF与ABCD都是直角梯形，，四边形BADFAB90，BC∥1AD，BE∥1AF。22（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；（Ⅱ）设ABBCBE，求二面角AEDB的大小。FEADBC7．（08江西20）如图，正三棱锥OABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且长度均为2。E，F分别是AB，AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA，OB，OC或其延长线分别相交于A1，B1，C1，已知OA13。21）证明：B1C1平面OAH；2）求二面角OA1B1C1的大小。OA1 F CA C1HEBB1标准文档实用文案8．如图，已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1的底面为正方形， O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O。（1）求证：平面O1DC平面ABCD；（2）若点E,F分别在棱AA1,BC上，且AE2EA1，问点F在何处时，EFAD？（3）若A1AB600，求二面角CAA1B的大小（用反三角函数表示）。D1A1O1C1EB1DCAOFB9．如图，正四棱柱 ABCD A1B1C1D1，侧棱长为 3，底面边