空间几何体的表面积与体积

空间几何体的表面积与体积一、基础知识1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱

圆锥

圆台侧面展开图侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l①几何体的侧面积是 指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和②圆台、圆柱、圆锥的转化当圆台的上底面半径与下底面半径相等时， 得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，锥，由此可得：

.得到圆2．空间几何体的表面积与体积公式名称表面积体积几何体柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝1Sh3台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下1S上S下)hV＝(S上＋S下＋3球S＝4πR2V＝4πR33二、常用结论几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a；②若球为正方体的内切球，则 2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.考点一

空间几何体的表面积[典例]

(1)(2018

全·国卷Ⅰ

)已知圆柱的上、下底面的中心分别为

O1，O2，过直线

O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为

8的正方形，则该圆柱的表面积为

(

)A．12 2π

B．12πC．8 2π

D．10π(2)(2019

沈·阳质检

)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是

(

)A．4＋42B．42＋28C．8＋42D.3[解析](1)设圆柱的轴截面的边长为x，则x2＝8，得x＝22，S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(2)2＋2π×2×2212π故.选B.(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P-ABCD，如图所示，其中PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝2，AB＝2，PB＝22，所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和，1×2×2＋1×2×22＝4＋42，故选A.即S＝2×22[答案](1)B(2)A[题组训练]1．(2019武·汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为()A．28

B．24＋2 5C．20＋4 5

D．20＋2 5解析：选B

如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3

的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱

ABIE-DCMH

，则该几何体的1表面积 S＝(2×2)×5＋2×1×2×2＋2×1＋2× 5＝24＋2 5.故选B.2．(2018郑·州第二次质量预测 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A．20＋2πB．24＋(2－1)πC．24＋(2－2)πD．20＋(2＋1)π解析：选B由三视图知，该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥后所剩余的部分，所以该几何体的表面积S＝6×22－π×12＋π×1×2＝24＋(2－1)π，故选B.考点二 空间几何体的体积[典例] (1)(2019开·封高三定位考试 )某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为 ( )A．4πB．2π4πC.3D．π(2)(2018天·津高考)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1-BB1D1D的体积为________．[解析](1)直接法由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tanα＝3π1π22π＝3，得α＝，故底面面积为××2＝，则该132332π几何体的体积为 3×3＝2π.(2)法一：直接法连接A1C1交B1D1于点E，则A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，则A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E为四棱锥A1-BB1D1D的高，且A1E＝2，2矩形BB1D1D的长和宽分别为2，1，故VA-BBDD＝1×(1×2)×2＝1.111323法二：割补法连接BD1，则四棱锥A1-BB1D1D分成两个三棱锥B-A1DD1与B-A1B1D1，所以VA-BBDD＝VB-ADD1＋VB-ABD＝1×1×1×1×1＋1×1×1×1×1＝1.1111111323231[答案](1)B(2)3[题组训练]1.等体积法如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1-ABC1的体积为()33A.12B.466C.12D.4解析：选A三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积，三棱锥A-B1BC1的高为3，底面积为1，故其体积为1×1×3＝32232212.2.割补法某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是()A．13C．15

B．14D．16解析：选C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体， 如图中ABCD-A′B′C′D′所示，长方体的长、宽、高分别为 4,2,3，两个三棱柱的高为 2，底面是两直角边长分别为 3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积 V4×2×3－2×1×3×3×2＝15，故选C.2直接法一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.1＋2πB.1＋2π333312D．1＋2C.＋6π6π3解析：选C由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为2，从而该几何体的体积为4π23＝1＋2π.1×12×1＋1××2323236考点三与球有关的切、接问题考法(一)球与柱体的切、接问题[典例](2017江·苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1的值是V2________．[解析]设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以V1πR2·2R3＝4＝.V2323πR[答案]

32考法(二)球与锥体的切、接问题[典例](2018全·国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543[解析]由等边△ABC的面积为93，可得32＝93，所以AB＝6，所以等边△ABC4AB3的外接圆的半径为r＝3AB＝23.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱1锥D-ABC体积的最大值为3×93×6＝183.[答案]B[题组训练]1．(2018

·建第一学期高三期末考试福

)已知圆柱的高为

2，底面半径为

3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于

(

)A．4π

16B.3π32C.3π

D．16π解析：选D如图，由题意知圆柱的中心O为这个球的球心，于是，球的半径r＝OB＝OA2＋AB2＝12＋32＝2.故这个球的表面积S＝4πr2＝16π故.选D.2．三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝15，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球表面积为________．解析：由题可知，△ABC中AC边上的高为15－32＝6，球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，所以x2＝32＋(6－x)2，解得x＝56，所以422PC275＋1＝83(其中R为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积2R＝x＋2＝88S＝4πR832π.答案：83π2[课时跟踪检测 ]1．(2019深·圳摸底)过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比值为()9B.9A.321633C.8D.16解析：选A由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为r，则22＝12＋r2，所以r2＝3，所以所得截面的面积与球的体积的比值为π×3＝9，故选A.43323π×22．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为()A．4B．8C．16D．20解析：选B由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为6，高为2的三角形，三棱锥的高为 4，所以体积为 V＝13×12×6×2×4＝8.故选B.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解析：选B设米堆的底面半径为π16，所以米堆的体积为V＝r尺，则r＝8，所以r＝2π112π1623203204×3π×r×5＝12×π×5≈9(立方尺)．故堆放的米约有9÷1.62≈22(斛)．4．(2018贵·阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1cm的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．35cm3B．40cm3C．70cm3D．75cm3解析：选A结合题中三视图可得，该几何体是个组合体，该组合体从下到上依次为长、宽、高分别为5cm,5cm,1cm的长方体，长、宽、高分别为3cm,3cm,1cm的长方体，棱长为1cm的正方体，故该组合体的体积V＝5×5×1＋3×3×1＋1×1×1＝35(cm3)．故选A.5．(2019安·徽知名示范高中联考 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )1A．1B.211C.3D.4解析：选C法一：该几何体的直观图为四棱锥S-ABCD，如图，SD⊥平面ABCD，且SD＝1，四边形ABCD是平行四边形，且AB＝DC＝1，连接BD，由题意1知BD⊥DC，BD⊥AB，且BD＝1，所以S四边形ABCD＝1，所以VS-ABCD＝3S1四边形ABCD·SD＝3，故选 C.法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以1V＝Sh，其中S指的是锥体的底面积，即3俯视图中四边形的面积，易知S＝1，h指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h＝1，所11，故选C.以V＝Sh＝336．(2019·庆调研重)某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为 ( )83π8343π83A.＋3B.＋33343π4383π43C.3＋3D.3＋3解析：选B由三视图知，该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的，其中圆锥的底面半径为2、高为42－22＝23，三棱锥的底面是斜边为4、高为2的等腰直角三角11211形，三棱锥的高为23，所以该组合体的体积V＝2×3π×2×23＋3×2×4×2×23＝43π83，故选B.＋337．(2019湖·北八校联考 )已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为 ( )A．16＋12πB．32＋12πC．24＋12πD．32＋20π解析：选A由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为2，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为22，该几何体的表面积S＝1×4π×22＋π×22＋22×2×4＝12π＋16，故选A.28．(2019福·州质检)已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面积为33，一个侧面的周长为63，4则正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为()A．4πB．8πC．16πD．32π解析：选C如图所示，设底面边长为a，则底面面积为3233，4a＝4所以a＝3.又一个侧面的周长为63，所以AA1＝23.设E，D分别为上、下底面的中心，连接DE，设DE的中点为O，则点O即为正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心，连接OA1，A1E，则OE＝3，A1E＝3× 3×2＝1.在直角三角形2 3

OEA1中，OA1＝

12＋

32＝2，即外接球的半径

R＝2，所以外接球的表面积

S＝4πR2＝16π，故选

C.9．(2017天·津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．解析：由正方体的表面积为 18，得正方体的棱长为 3.设该正方体外接球的半径为 R，则2R＝3，R＝32，所以这个球的体积为43＝4π27＝9π3πR3×2.8答案：9π210．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ________．解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V＝1＋2×132×1＝.23答案：211．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为2π的扇形，则该圆锥的高为3________．解析：设圆锥底面半径是r，母线长为l，所以πr2＋πrl＝π，即r2＋rl＝1，根据圆心角公式2π2πr13223＝，即l＝3r，所以解得r＝，l＝，那么高h＝l－r＝2.l22答案：212．(2017全·国卷Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．解析：如图，连接 AO，OB，SC为球O的直径，∴点O为SC的中点，SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，AO⊥平面SCB，设球O的半径为R，则OA＝OB＝R，SC＝2R.VS-ABC＝VA-SBC＝1×S△SBC×AO31×1×SC×OB×AO，32即9＝1×1×2R×R×R，解得R＝3，322 2∴球O的表面积 S＝4πR＝4π×3＝36π.13.如图是一个以 A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：(1)该几何体的体积；(2)截面ABC的面积．解：(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.由直三棱柱性质及∠ A1B1C1＝90°可知 B2C⊥平面 ABB2