大一各种试题-自动化院高数期末复习

一. yftdt，其中ft连续， f

1limsinxx1

102x

公式2lim1

e；lim1n

eu（2）y

1x

ftdt，其中1x，2x可导，f

1lim1vv12则dyfxxfx 4.用无穷小重要性质和等价无穷小代22 2

5.用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻（ff设limfx0，limgx0，且

数学二

ex1 x2

nxnn

x0

0x3 （1）l0，称fx是比gx高阶的无穷小，记 x 2n3 sin 2n1!0fx0gx，称gx是比fx低阶的无

x2x4 x2n2nl0fxgx

cos 2n!0

x2x3

n1xn

nl1，称fxgx是等价无穷小，记以

ln

0nfx~

arctanxx

x

2n当x0 1x1x1x21n1xn0xnsinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~ 1cosx~1x221x1~

ex1~x，ln1x~x

00法则1．（ 型）设（1）limfx0，limgx0（2）x变化过程中，fxgxxn1xn（n为正整数）xnm（n

f（3）limgxA（或fn，则n

A存在，且A 则limgxA（或若 x（n为正整数）又

M（n为 （注：如果limf

不存在且不是无穷大量情形，

g整数，则limxAAn

f 不能得出 准则2．（定理）设gxfxh g若limgxAlimhxA，则limfx

（x变化过程中，fxgxflimgxA（或f

值，如果对于区间ab上的任一x，总fxM则称M为函数fx在a,b上的最大值样可以定则

A（或

3．（介值定理）如果函数fx在闭区间abfxxfx

存在

0fx[

M之间的任何实数c，在ab上至少存在一个，使 f1 k 基本公式 f 0 [如果存在nnk

n 推论：如果函数fx在闭区间ab上连续，且f与fb异号，则在a,b内至少存在一个点，使x0是函yfx的间断点。如fx在间xxfx

f cc dcxx1（实常数）dxx1dx（实常数在闭区间ab上连续的函数fx，有以下几个基本1．（有界定理）如果函数fx在闭区间ab

sinxcoscosxsintanxsec2cotxcsc2secxsecxtancscxcscxcot

dsinxcosdcosxsinxdxdtanxsec2xdxdcotxcsc2xdxdsecxsecxtandcscxcscxcot连续，则fx必在a,b上有界 log

x xln

a0,a定理2．（最大值和最小值定理）如果函数fx在 dlogax

a0,a区间a,b上连续，则在这个区间上一定存在最大值M lnxx

dlnx1xfx0M是区间abx0

axaxlnaa0,adaxaxlnadxa0,aexexxdex t存在，且t0，arcsinx darcsinx t1x11x1x1xarccosx1x

darccosx

ddy

1xd1x d2y

ttt arctanx1x darctanx1x2

dx arccotx

darccotx lnx x

1xa ax2a

1x

5.yfx的反函数xgydlnx x2a2 x2alnx

fx则

f fx2adlnx xa

d 二阶导数gy x2a

dg

f fxgx

fxg

fx f

fxgxfxgxfxg f fg g2g g2gx 6. yyx是由方Fx,y0所确定，求yyfu，ux，如果xx处可导，f

Fx,y0两边的各项x求导，把y看作中在对应点uy

fxx处可

dydydufx du对应地dyfudufx 7.对数求导法由于公式dyfudu不管u是自变量或中间变 xt，yt确定函yyx，其中t3

指函yfxgx yegxlnfxfxx0处可微fxx0处可导。求n阶导数（n2，正整数

在闭区间a,b上连在开区间ab内可导；则存在a,b，使得 fbfab

或写成fbfafb a（1）y yn 有时也写成fx0xfx0fx0x在闭区间a,b上连在开区间a,b

殊情形gxx时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定fafb （则存在a,b，使得f0 二．拉格朗日中值定理设函数fx满足

fxx0nfx fx fnx fxfx 0xx 0xx 0xxR 4

（2）yaxa0,a 0ysin yn

sinx 2

ycos 2(5)yln vxvxCnn kk!nkn其 Ckk!nkn

设函数fxgx满足：（1）在闭区间[a,b]

fbfbf

xx0的一个极小值，称x0为函数x

x0x

n x

称为皮亚诺 x

n

00 0xx0

设函fxx0处可导，且x0为fx的一个极同情形取适当的n，所以对常用的初等函数如exsinxcosxln1x和1x（为实常数）定理2（拉格朗日余项的n阶泰勒公式fx在包x0的区间abn1阶导数abn阶连续导数，则对xab，有公

点fx00我们xfx00x0fx的驻点可导函 fnxfx0fx0 0n 设fx在x处连续，在0x fnxf f 1!x 2!x x Rn Rxfn1xxn1，（

fx0不存在fx00x n 间

1如果在x0x0x上面展开式称为以x0为中心的n阶泰勒公式。当

fx0，而在x0x0内的任x处fx0fx0为极大x0为极x2如果在x0x0x 0，那么泰勒公式就转化为泰勒fx0，而在x0x0内的任一x处

fx0f

为极小值，x0为极小值设函数fx在ab内有定义，x0是ab内的某一

x0xxx0fxfx0fx0为函f的一个极大值，称x0为函数fx的一个极大值点；x0xxx0fxfx0fx0为函f

3如果在x0x0内与x0x0内的任一点xfx的符号相同，那么fx0不是极x0不是fxx0fx00fx00，当fx00时，fx0为极小值x0为极 ww

yfxab求函数fx在a,b上的最大值和最小值的方 求曲线yfx的拐点的方法步骤是首先，求出fx在a,b内所有驻点和不可导 第一步：求出二阶导数f最后，比较fx1,,fxk,fa,fb，其中最大者就是fx在ab上的最M其中最小者就是fx在ab上的最小值m。

x1x2、…、xk；

fx

fx

xay

fx的一条垂直fx在区I上连任意不同的x

fxb

fx

xx xx

yby

fx的一条水平渐f 2 fxfxf 2 fxfx f2

a0，limfxaxf则称fx在I上是凸（凹）的 或 a0，limfxaxf 在几何上，曲线yfx上任意两点的割线在曲线 则yaxb是曲线yfx的一条斜渐近线

fx是凸（凹）fx

设曲线yfx，它在点Mxy处的曲率线之上（下）y

fx是凸（凹）

2k1y22

1k1设函数fx在ab内具有二阶导数f如果在ab内的每一x，恒有fx0，则

的曲率半径，在M点的法线上，凹向这一边取一点D，使MDRD为曲率中心D为圆心R为半yfx在ab内是凹如果在ab内的每一x，恒有fx0，则

1．xdx

1，实常数xdxlnx

axdx1axlnexdxex

a0,a

aaacosxdxsinx

（2）faxnbxn1dx

faxnbdaxnsinxdxcosx a0,nsec2xdx

cos2

dxtanx

flnxdx （3） csc2xdx（3）

dxcotx 1 11sin2 f f xx xxtanxsecxdxsecxcotxcscxdxcscx

fx

2fxdxx tanxdxlncosxC （6）faxaxdx1x

faxdaxcotxdxlnsinxsecxdxlnsecxtanxcscxdxlncscxcotx arcsinx aa2x

a0,afexexdxfexdexfsinxcosxdxfsinxdsinfcosxsinxdxfcosxdcos2

1arctanx

a

ftan

xdxftanxdtan

a2x 1lnaxCa2x2 ax

a

fcotxcsc2xdxfcotxdcotfsecxsecxtanxdxfsecxdsec

lnxx2a

x2a2 a （12）fcscxcscxcotxdxfcscxdcsc 1x（13）farcsinxdxfarcsinxd1x11x设fuduFuC，又x可导

farccosxdxfarccosxdarccos令u

farctanxdx

farctanxdarctan1x fxxdxf f farccotxdxfarccotxd1x 1x FuCFxffarctan1AAl2xx0

用a2xxasina2用a2xxasina2xxatanx2axasec x2aflnxx2a2 x2a fln dlnx2aa n t，解出xt已经不再有nxtAx2BxAx2Bx

（2）PnxlnxPnxarcsinxPnxarctanx情Pnxn次多项式Pnxvx，而lnxarcsinx，arctanx为ux，用分部积分法一次，被积函Ax2Bx t解出xAx2Bx

eaxsinbx，eaxcosbx0Axx2l2 A 时，先化08

x2axx2ax2ax2aaffff

dxlnfx 设xt 可导，且t ，则 令xtnaxaxnax

（1）Pe n

或x与n 或cx。aex由ex构成的aexxxab称为变上限积分的函 afxdxbf

定理（1若fx在ab上可积，则Fx在a,b

xftaafxdxa

（2）若fx在ab上连Fx

xftdta ab上可导Fxf bkfx

fxdxk

fxdxk

f

2x 1

a

a

Fx

x,

1x

ftdt 之外

xdxafxdxcfxdx（ca

（5）abfxgxaxb，bfxdxb

Fxf2x2xf1 设ab，mfxMaxb， 设fx在a,b上可积，Fx为fx在a,b上任mbabfxdxMba

fxdxF

FbF设abafxdx

f a定积分中值定 设fx在a,b上连续，则存ab

（注：若fx在ab上连续，可以很容易地用上面变上限积分的方法来证明；若fx在a,b上可积，牛顿bfxdxa

fb 定义：我们称1bfxdx为fx在a,b上的 ba

设fx在ab上连续，若变量xtaaaa

fxdx0（f奇函数fxdx2afxdx（f偶函数0

（1）t在,（或,）上连（2）abtfx以T为周期a为常数T

atb，则bfxdxftt aTfxdx

f

设ux,vx在a,b上连续

buxdvxuxvxbb定义：设fx在ab上可积Fx

ftdt a 定积的 课程

2by2

xy1y2xy1xxa

II

2dx2

yx1

2其中x2yx1y，yc,d 设光滑曲线yyx，axb[也即yx有2Sa

1yx而dS1yx2dx也称模型 S1r2

设光滑曲rrr在上 21

2 S

模型IIS22r2r1 3.参数方程所表曲线的弧xxt

设光滑曲线C,上有连续的导数曲线CS

t[xtytxt2yt2设曲线 的参数方

设空间一个立体由一个曲面和垂直于z轴两平面zczdzzczdtabt（,）上有连续导数，且t不变号，t0且连续，则曲边梯形面积（曲线Cxaxbx轴所围

z轴的立体截面的面积Sz为已知的连续函数，则立体体VdScSbydxtt 2. （1）yyx0xaxbx绕x轴旋转一精彩Vd精彩Vd 2

x x2

yxyyV2bya

t y f 则S2ytxt2yt2 x yux ）

d f

Qy

cln|x| uuydy

fux

设平面曲线CxxVy

dx2 AByyxax2bS2b

通解dy dx

M1xN1ydxM2xN2ydyS2．设AB的参数方程为xxtyyt

dxN dyC212121观d （2） faxbyca0,b 令axbycu abf

dyPxyQx令yCxePxdx dudxx 代入方程求出abf a1xb1y

yePxdxQxePxdxdx（3）

f a2xb2yc2

dyPxyQxya①当

1

情形，先求出

zaxbyc 把原方程化 1Pxz1 的解 a2xb2yc20 令ux，vy a

v

dxQy aubv

f

fa1ub1v

u

dyPyxv 2 a v1a1②当

b10

2u

令a2b2 PxydxQxydy0Q令a1xb1y通解ux,yC f

axbyc 2令ua1xb1y

其中ux,yduxyPx,ydxQx,求ux,y的常用 法 uc1dxa1b1

a1b1f uc2

Px,ydxQx,ydydux,

x2y2dyPxy

xdxydyd 它也是变量可分离方程，通解公式yCePxdx x2y2xdxydyd

观看精彩视频课程，观看精彩视频课程，（3）ydxxdydxy ydx dlnxyxdxydyd1lnx2y2x2y x,xdxydyd1lnx2y2 x, x2y ux,yux0,y0

x2

dyx

y y

ydxxdy xx22x22 dtyy

yxdy

y

x2y

d xydx xy x2y x xdy xy x2y x xdx

Qx2y2

2x2y2

xdx

x2y2

2x2y2

xdx

d x2y21x21x2y2

xdx 2

也即满足

22d

arctanx2

1

y

Rxy

Rx,yPx,ydxRx,yQx,ydydux,通解ux,yC．可降阶方程m12ynfy fxdxnCxn1Cynfy fxdxnCxn1C nyfx,ypyp，原方程pfxp——一阶方程，设其解为pgxC1，即ygxC1则原方程ygxC1dxC2yfy,yppyydpdpdyp dydx dydp1fy,p——一阶方程， 设其解pgyC1dygyC xCgy,C 11 2若y1x，y2x解，则y1xy2x为对应的二阶齐次线性方程的一个若yxyxyx为此二阶非齐次线性方程的一个C1y1xC2y2x为对应的二阶齐次线性方程的通解（

，

为独立的任意常数）yyxC1y1xC2y2x是此二阶非齐次线性方程

x与

xypxyqxyf1xypxyqxyf2x的特解y1xy2xypxyqxyf1xf2x的特解

ypyqyypxyqxy

特征方程2pqypxyqxyf

式若y1x，y2x

解，则它们的线性组合C1y1xC2y2x（C1，C2当p24q0，特征方程有两 不同的实根1，yCCyCC，www.kaoshidia课yyCyxCyx1当p24q01 yCC 当p24q0iyexC1cosxC2sin

其中C1y1xC2y2x为对应二阶常系数齐次线齐次线性方程的一个特解y如何求？我们根据fx的形式，先确定特解y的形式，其中解y，常见的fx的形式和相对应地y的形式如下：fxPnxPnxn次多（1）若 不是特征根，则 y

x

xnaxn1

x ynpyn1pyn2

ypny 其中aii0,1,2,,n为待定 其中pii1,2,,n为常数 （2）若0是特征方程的单根，则令yxRnnpn1pn2 p

（3）若0yx2Rn 则方程通解yCe1xCe2xCen

fxPxexPxn次多项式，为 若yRn x （2）若yxRnx若0k重实根k1则方程通解中含有1

x

若yx2Renxk10 en（3）i为特征方程的k重共轭复根2kexCCxCxk1cosxDDxDxk1sin

fxPnxexcosPnxn次多项式，,皆为实（1）若 不是特征根，则

yexRxcosxTnxsin

0Rnxaxnaxn1an1x01aii0,1,n为待Txbxnbxn1 x 方程：ypyqyf 是 yxexRxcosxT是

ababcosab a1b1a2b2

xnynpxn1yn1 xypy0 pii1,2,n为常数称为n阶欧拉方程。令xet代入方程，变为ty是未知函数的微

ab0表示向a在向量b上的投ab0Prjbd2

dydydtetdy1dy，xdydy x ababsina,b dtddy tdtdy 2td2 2t 2 dxdtdx dt dt 1d2ydy

ab x2dt dt d2xdx

d2dt

混合积：定义abcabc，坐标公式aa1ia2ja3ka1,a2,a3bb1ib2jb3kb1,b2,b3

a,b,c cc1ic2jc3kc1c2c3 几何意义abc表示abc为棱的平行大面体设aa1a2a3bb1b2b3加法aba1b1a2b2a3b3角cosaa 角cosaa 2a与b直aba1b1a2b2b3b3数乘。a1a2a3（是常数）a与b平

a1a2a3

A1xB1yC1zD10，则通L的所有 课程，请为ab 课程，请为ab 为kAxByCzDkAxByCzD

，其中k

0,0与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量 通常记成n。法向量m,n,p的坐标称为法（线）方向点法式方程已知平面Mx0y0z0 Axx0Byy0Czz0或nrr0其中r0x0y0z0rxyAxByCzDABCxyz前的系数表示的法线方向数，nA,BC是的法向量。AxByCz0

1:A1xB1yC1zD12:A2xB2yC2zD21与2cos A1A2B1B2 A2B2C2A2B2C 夹角A1A2B1B2C1C2A1 B2C1D1C2 D2A1B1 C1D1 的方程为AxByCzD0Mx1y1z1为平面外的一点，则M到平面dAxByD0zAxD0yOz

dAx1By1Cz1A2B2C

设Ax,y,z，Bx,y,z，Cx,y,z 2.直线的标准方程（对称式方程

xx0yy0z xx1x2x1x3

yy1y2y1y3

zz2z1z3

其中x0,y0,z0为直线l,m,n为直线的方xlxl0yy

AxByCzD 直线L的方程zz x

yy0zslmnt

LL间夹角（sin AlBmCn A2B2C2l2m2n2L与lmn L与AlBmCnL与AlBmCnL上有一点在AxyzBxyz为不同的两 xx1

yy1

zx2 y2 z2L1L2间夹cosl2m2n2l2m2 角l1l2m1m2n1n2l1m1 f gradfx0,y0 x0,gradfx0,y0coslgradfx0,y0,l平面

1zfuvuuxyvvxA1xB1yC1zD1AxByCz

，方向向量

L:x

yy1zn

zxy在平面上过点Pxy L:x

yy2zzn

f limfx0tcos,y0tcosfx0,x,

t zfxyP0x0y0处的梯度fx, fx, gradfx0,y0

第五章泰勒公式§2§3第28卷第4 桂林电子科技大学学 Vol.28,No.2008年8 JournalofGuilinUniversityofElectronic Aug.*李绍刚,徐安(桂林电子科学与计算科学学院广西桂林摘要:微分算子法是求解常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法,基于算子多项式的理论,针对二阶常系数:线性微分方程;常系数;微分算子;特号:O175. 文献标识码: 文章编号 XDifferentialoperatormethodforparticularsolutionforsecond-orderconstantcoefficientlineardifferentialequationLIShao2gang,XUA(SchoolofMathematicsandComputationalScience,GuilinUniversityofElectronicTechnology,Guilin541004,Ch:Differentialoperatormethodisaneffectiveapproachforsolvinginhomogeneouslineardifferentialequa2tionwithconstantcoefficients.Basedonthetheoryofoperatorpolynomialandaimingatsecondorderinhomoge2neouslineardifferentialequationwithconstantcoefficients,differentialoperatorparticularsolutionsformulaaregivenwherethenonlinearitemhasseveraltypesoffunctionsuchasexponential,trigonometry,power,mixture.Theexamplesprovedthattheparticularsolutionformulahadthepropertiesofapplication,validityandconcisenessinsolvingproblems.:lineardifferentialequation;constantcoefficient;differentialoperator;particularsolut技术领域有着广泛的应用常系数线性微分方程是工科数学中微分方程部分的重点内容,大多数教师和学到一定的,这是因为高数中采用待定系数法求其特解,不仅要根据函数的不同情况求其特解,而因此,微分算子法成为求解不同类型的常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法125,基于上述结果,文章针对f(x)的不同情况,给出了微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式,具有记忆方便,计算简单的特点。

y″+py′+q=f(x) 其中pq为常数。 d dx=D,dx2=Dd d 则有y′=dx=Dyy″=dx2=Dy于是式(1)(D2+pD+q)y=f(x F(D)=D2+pD+q,称为算子多项式,(2)即为F(Dy=f(xy f(x)F(D*收稿日期作者简介:李绍刚(1978-),男,漯河人,,讲师,目前主要研究方向为最优化理论与算法第4 李绍刚等:二阶常系数线性微分方程特解的微分算子 其中,称 ekxv(x)= v(x)F(D F(D F(D+k( F 2若F(k)≠0,则有()e=F(k)F (3)若F(k)=0,不妨设k为F(k)=0的m重(m=1,2引理1[6 设算子多项式F(D)如上定义,f(x) g(x)为可微函数,则 F(D

ekx=

F(m

(D

ekx=

F(m

(k)F(D)[Αf(x)+Βg(x)]=ΑF(D)f(x)ΒF(D)g(x)设F(D=F1(DF2(DF1(DF2(Df(x)]=F2(DF1(Df(x)设F(D=F1(D+F2(D

其中F(m(D表示对D求m证明(1)(2)由引理1易证,下面只证(3),依题意可令F(x(x-kmΗ(x,其中Η(k≠0则有F(m)(k)=m!Η(k),故可得 ekx ekx1则F(D)f(x)=F(D)f(x)+F2(D)f(x F(D (D-k)mΗ(D1(由逆算子移位原理:v(x)= kx [7 ( Η DΗ([7 ( Η DΗ(k引理 设算子多项式FD如上定义,k,aekx

=x 任意实数v(x为二阶可导函数F(D)ekx=ekxF(k)

m!Η(k

F(m)(k设F(D2)sinax=sinaxF(-a2F(D2)cosax=cosaxF(-a2)F(D)ekxv(x)=ekxF(D+k)v(x)F(D)xv(x)=xF(D)v(x)+F′(D)v(x. 引理3[7 设算子多项式F(D)如上定义,Α,R,f(x,g(x为可微函数,

例 y+2y-3y=解法 r2+2r-3=0,r1=1,r2= 由于2不是特征方程的根故可设特解为y=be2x代5be2x=e2x所以b=151

F(D)f(x)=f(x)

故特解为y

5F(DF(D [Αf(x)+Βg(F(D

解法 因F(D)=D2+2D-3,F(2)= ()+ (); 所以y= e2x= 1e2x=1e2x.F(D)fx ΒF(D)gx F(D) F(2) 设F(D)=F1(D)F2(D) 例 y-2y+y=则 f(x) 1 f(x)] 解法 F(D F1(D)F2(D r2-2r+1=0,r1=r2=1F2(D

F1(D

f(x)

由于1为特征方程的二重根,故可设特解为y=bx2ex因为y=2bxex+bx2ex,y=2bex+4bxex+bx2ex,首先考虑f(x)是指数函数的情形,

所以b=1,2

2bex=ex1定理 设算子多项式F(D)如上定义,k为任

y 2

解法 因为F(D)=D2-2D+1,1为F(1)=的二重根此时m=2,332y=x ex=1x 2008年8(D-2D+1) 其次考虑f(x)是三角函数的情形, 定理2 设算子多项式F(D)如上定义,a为任意实数,则有下述结论成立

a= 65,b=y= 1(8cos2x sin2x当F(-a2≠0 sinax

解法 因为F(D)=D2+4D+5,F(-a2)=≠0,F(D1

F(-

y sin2xF(D

sin2xD2+4D+F(D2)cosax=F sin2x sin2x2当F(-a2)=0时 -2+4D+ 4D+ sinax= sinax (4D-1)sin2x= 1(4Dsin2x sin2x)F(D 16D2- cosax= cosax 1(8cos2x sin2xF(D 其中F(m(D表示对D求m阶导数 F(Dsinax=ImFia)

例 y+y=co解因为F(D=D2+1,F(-a2=-1+1= ( ′F(D)cosax=Re[F(ia)],其中Fia y=x(D2+1)cosx=′

2Dcosx 2x证明(1由引理2易证,2因为F(-a2)=0,不妨设F(D2=D+a2,

定理 设算子多项式F(D)如上定义,k为任 sinax=Im[ 1

eiax 实数v(x为二阶可导函数F(D++

F(D

Pm(x)=Qm(D)Pm(x)ImD

2eiax]=Im[D-aiD+aieiax]

F(DIm

F]=ImF

11]

xv(x)=[x-()

D-ai2a

2ai x F′(D)]()v(xaIm[2ai]=Im[2xsinax 2aixcosax]a

FPm(x=Qm(x表示x的m 1xcosax 又 12sinax=x1sinax= 1xcosax (1)因为1=F(D)Qm(D+Rm(D,其中Rm(D表示余式,两端同乘以Pm(x sinax= Pm(x)=F(D)Qm(D)Pm(x)+Rm(D)Pm(x)F(D F(D)Qm(D)Pm(x)类似可证第2利用(12

Rm(D=cm+1Dm+1+cm+2Dm+2+⋯,最低次幂为Dm1,对Pm(x)的运算为零,所以例 y+4y+5y=解法 因为特征方程为r2+4r+5=0,而2i

F(D

(x)=

(D)

(x,

xv(x)=F(D)[ v(x)y=acos2x+bsin2x F(D F(D 1F′(D 1v(x)F(D F(Dvvy′=-2asin2x+2bcos2xvvy″=-4acos2x-4bsin2x x

( DF(DD

(x)

F

F(D

(x) 第4 李绍刚等:二阶常系数线性微分方程特解的微分算子 ( ( ( y3=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2xFDF(DF′DF(Dvx xv(x)=[x 1F′(D 1v(x (-3ax-3b+4c)cos2xF(D例 y-5y+6y=x

F(D

(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x解因为F(D=D2-5D+6,y xe2x

a= 1,b=0,c=0,d 4D2-5D+ x (D+1)-5(D+1)+ x=e2x1(-1-D)x = 3xcos2x 9D(D- e2x1(-x-1)= 1(x2+2x) 例 y+y=xco解法 因为F(D)=D2+1,所

通过上例,不难看出,端函数为f(x=xsinax或f(x=xcosax时,可以用三种解法求出其特解,利用微分算子法的两种解法,y= xcos2x= 解计算量比较小求解过程简单D2+(x- ) cos2x

D2+ D2+

(x

2D)(- 1cos2x)=D+ 1xcos2x- 4 sin2x 3D

从以上三个定理和例子可以看出相对于待定系数法,该方法具有计算简单,方 1xcos2x+4 , 解法 用算子移位原理来转而求解y+y因为F(D)=D2+1,1

法,开阔了学生的视野,提高了学生的学习,,1]葛正洪.算子法求非齐次常系数线性微分方程组的特解[J].y=R

D2+

xe2ix]

方工业大学学报,1998,10(3:Re[e2ix x]=(D+2i)2+1

2]徐安农,段复建.全微分方程与积分因子法[J].桂林电子工业学院学报,2002,22(2:10212.Ree2ix x]= 3]周展宏.求常系数线性非齐次微分方程特解的微分算子级数D2+4iD-

[J].高等数学研究,2004,7(3:Re[e2ix(-

4iD)x]=

4]陈新明.二阶常系数线性微分方程的通解公式[J].高等数学研究,2007,10(3):15218.Re[(cos2x+isin2x) 1x 4i)] [5]赵士银,二阶常系数线性微分方程的特解公式[J] 联合 1xcos2x+

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学学报,2008,22(1:[6]叶彦谦.常微分方程讲义[M].:人民教育,解法3该方程对应的齐次方程为:y+y=0, 征方程为r2+1=0,由于Κ+iΞ=2i不是特征方程的根 [7]MR施皮格尔.高等数学的理论与习题[M]. 术,1978.责任编辑英文编辑导数公式：(tgx)sec2

(arcsinx)

csc 11(secx)secx111

(arcctgx) (ax)axln (arctgx)

11tgxdxlncosx

dxcos2

sec2xdxtgxsecxdxlnsecxtgx

dxcsc2xdxctgxsin2 1arctgxCaaa2 aa

1

xax2 x 1lnax a a arcsinxC

x2a2)a2a2

x2a Isinnxdxcosnxdxn x2ax2axx2a2x22

)x2a2dx2a2a22

x2x22a2a22

Cx2x2a三角函数的有理式积分： 1u2 sinx，cosx u 1u 1u

dx1一些初等函数 两个重要极限exe双曲正弦shx

limsinx x 双曲余弦:chxexe lim(11)xe2

x exe双曲正切thxchxexearshxln(xarchxln(x

x2x2arthx1ln1 1三角函数公式：角角-------------------·和差角公式 ·和差化积公式sin()sincoscossin sinsin2sincoscos()coscos∓sinsin tg sinsin2cossintg()1∓tg coscos2

cos

ctgctg ()ctg coscos2sinsin ·倍角公式：sin22sincos22cos2112sin2cos2sin2ctg2

sin33sin4sin3ctg2

tg3

3tgtg21tgi

cos

112tg2

1cos1cos 1 1

ctg2

1cos1cos 1 aAbBcC ·c2a2b22abcosaAbBcCarccos2

arctgx2(uv)(n)Cku(nk)v(ku(n)vnu(n1)vn(n1)u(n2)v⋯n(n1)⋯(nk1)u(nk)v(k)⋯uv( 拉格朗日中值定理：f(bf(a)f()(bf(b)f

f(当F(xx曲率弧微分公式：ds1y2dx,其中y平均曲率K.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长M点的曲率：Klims0

d (1(1y2直线：K半径为a的圆：K1aba

(y0y1⋯yn1ba ba ：f(x)3n[(y0yn)2(y2y4⋯yn2)4(y1y3⋯yn1b功：WF水压力：Fp引力：Fkm1m2k为引力系数r2 fba均方根：

f2(tba(xx)2(y(xx)2(yy)2(zz

cos,是AB与u a cosababab,是一个数量a x y zaxbxaybyazca ay

axb

c ay c

bzab

cos,为锐角时1、点法式：A(xx)B(yy)C(zz)0，其中{A,B,C},M(x,y,z 2、一般方程：AxByCzD A2B2C平面外任意一点到该平面的距离：dAx0ByA2B2Cxx0 yy0

z

xx0空间直线的方程 2 z2

zz1a

b

c2x y、抛物面：2

,pq同号x2xx

yy

z

多元函数微分法及应用全微分：dzzdxz duudxudyu 全微分的近似计算：zdzfx(xy)xfy(xzf[u(t),v(t dzzuz u vzf[u(x,y),v(x, zzuz当uu(x,y)，vv(xy)

u vduudxu dvvdxv 隐函数Fx,y)

dy

Fx

d2y

(Fx)＋

(

x)

隐函数F(x,y,z)0，zFx z

v

J

u1(F,G v1(F,G (u,u1(F,G v1(F ( (u,微分法在几何上的应用：x

x

y z空间曲线y(t)在点M

yz)

(t z(t (t0 (t0 在点M处的法平面方程：(t0xx0(t0yy0(t0zz0F(x,y,z)

,则切向量TG

Gz

, G)M

{F(x,y,z),F(x,y,z),F(x,y,z 2、过此点的切平面方程：Fxx0y0z0)(xx0Fyx0y0z0yy0Fzx0y0z0zz03、过此点的法线方程：x y z Fx(x0,y0,z0 Fy(x0,y0,z0 Fz(x0,y0,z0方向导数与梯度： 函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向 ffcos 其中为x轴到方向l的转角函数zf(xy)在一点pxy)的梯度：gradf(x

f

f

x�

y

gradf(xye，其中ecosisinj，为lgr0 fxy(x0,y0) fyy(x0,y0) A0xy) A0,(x0y0)ACB20时

z z 曲面zf(xy)的面积A1x 平面薄片的重心：xMx M

yMyM平面薄片的转动惯量：对于x轴Iy(x,y)d 对于y轴Ix(x, Ff Ff FD(x2y2a2)柱面坐标和球面坐标：

D(x2y2a2) D(x2y2a2)xr

f(x,y,z)dxdydz

F(r,, z 其中：F(r,z)f(rcos,rsinxrsin dvrdrsinddrr2sin zr 重心：xM

yM

zM

其中Mx转动惯量：Ix(yz) I(xz) I(xy第一类曲线积分（对弧长的曲线积分x(t (t),y(tf(x,y)dsf[(t),(t)]

(t)2

(

y(t第二类曲线积分（对坐标的曲线积分yP(x,y)dxQ(x,y)dy{P[