《高考调研》高三数学第一轮复习 第十二章《概率和统计》课件125 选修2

1．期望的概念及性质(1)若离散型随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝xi)＝pi，i＝1,2，…，ξ的数学期望Eξ＝

(2)若η＝aξ＋b，其中a、b是常数E(aξ＋b)＝

.(3)若ξ～B(n，p)，则Eξ＝

.x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋….aEξ＋bnp2．方差的概念(1)方差：把Dξ＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做随机变量ξ的

；标准差是σξ＝.(2)若ξ～B(n，p)，那么Dξ＝ ．3．方差的性质(1)c为常数，D(c)＝

(2)a、b为常数，则D(aξ＋b)＝

.(3)Eξ2－(Eξ)2＝

.方差np(1－p)0.a2DξDξ1．(2010·新课标全国卷)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(

)A．100

B．200C．300 D．400答案

B解析记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000,0.1)，所以Eξ＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200，故选B.2．(2010·济南)已知5件产品中有3件正品、2件次品，从中随机抽取2件进行检验，设其中有ξ件正品，则随机变量ξ的期望为(

)A．1.2

B．2

C．1

D．1.4答案

A3．(2011·东北四市联考)在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：试问：选________(填甲或乙)参加某项重大比赛更合适．答案乙甲273830373531乙332938342836点评

均值、方差是统计学的两个基本概念，高考常以小题形式出现．牢记并熟练运用公式是解题的关键．

4．(2010··湖北卷，已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y的值为________．答案

0.4ξ78910Px0.10.3y5．(09·广东)已知离散型型随机变量量X的分布列如如下表．若若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.题型一一期望、、方差差例1(2010·重庆卷卷，理理)在甲、、乙等等6个单位位参加加的一一次““唱读读讲传传”演演出活活动中中，每每个单单位的的节目目集中中安排排在一一起，，若采采用抽抽签的的方式式随机机确定定各单单位的的演出出顺序序(序号为(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．探究1求离散散型随随机变变量的的期望望，一一般分分为两两个步步骤：(1)列出离散型随机变量的分布列；(2)利用公式Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…，求出期望．思考题题1(2011·郑州)从某批批产品品中，，有放放回地地抽取取产品品2次，每每次随随机抽抽取1件，假假设事事件A：“取取出的的2件产品品中至至多有有1件是二二等品品”的的概率率P(A)＝0.96.①求从该该批产产品中中任取取1件是二二等品品的概概率p；②若该批批产品品共100件，从从中一一次性性任意意抽取取2件，用用ξ表示取取出的的2件产品品中的的二等等品的的件数数，求求ξ的分布布列及及期望望．【解析】①记A0表示事事件““取出出的2件产品品中无无二等等品””，A1表示事事件““取出出的2件产品品中恰恰有1件是二二等品品”，则A0、A1互斥，，且A＝A0＋A1.故P(A)＝P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝(1－p)2＋C21p·(1－p)＝1－p2.由题意意，知知1－p2＝0.96，又p>0，故p＝0.2.例2每人在在一轮轮投篮篮练习习中最最多可可投篮篮4次，现现规定定一旦旦命中中即停停止该该轮练练习，，否则则一直直试投投到4次为止止．已已知一一选手手的投投篮命命中率率为0.7，求一一轮练练习中中该选选手的的实际际投篮篮次数数ξ的分布布列，，并求求出ξ的期望望Eξ与方差差Dξ(保留3位有效效数字字)．【解析】ξ的取值值为1,2,3,4.若ξ＝1，表示示第一一次即即投中中，故故P(ξ＝1)＝0.7；若ξ＝2，表示示第一一次未未投中中，第第二次次投中中，故故P(ξ＝2)＝(1－0.7)××0.7＝0.21；若ξ＝3，表示示第一一、二二次未未投中中，第第三次次投中中，故故P(ξ＝3)＝(1－0.7)2×0.7；若ξ＝4，表示示前三三次未未投中中，故故P(ξ＝4)＝(1－0.7)3＝0.027.因此ξ的分布布列为为：Eξ＝1×0.7＋2×0.21＋3×0.063＋4×0.027＝1.417,Dξ＝(1－1.417)2×0.7＋(2－1.417)2×0.21＋(3－1.417)2×0.063＋(4－1.417)2×0.027＝0.513ξ1234P0.70.210.0630.027探究2理解题题意的的关键键是：：投篮篮规则则的确确定，，重点点突出出“一旦命命中即即停止止该轮轮练习习”只要前前三次次未中中必投投第4次，第第4次中与与不中中即停停止思考题题2一次数数学测测验由由25道选择题题构成，，每一个个选择题题有4个选项，，其中有有且仅有有一个选选项正确确，每个个选择正正确答案案得4分，不作作出选择择或选错错的不得得分，满满分100分，某学学生选对对任一题题的概率率为0.8，求此学学生在这这一次测测验中的的成绩的的期望与与方差．．【解析】选项的题题数ξ满足二项项分布即即ξ～B(25,0.8)∴Eξ＝25×0.8＝20Dξ＝25·0.8··0.2＝4.此学生的的成绩为为随机变变量设为为η，则η＝4ξ∴Eη＝4Eξ＝80Dη＝16Dξ＝64.∴此学生成绩的的期望为80，方差为64.题型二期望、方差的的性质探究3ξ是随机变量，，则η＝f(ξ)一般仍是随机机变量，在求求η的期望和方差差时，熟练应应用期望和方方差的性质，，可以避免再再求η的分布列带来来的繁琐运算算．(3)设X为该生选对试试题个数，Y为成绩．则X～B(50,0.7)，Y＝3X.∴EX＝50×0.7＝35，DX＝50×0.7×0.3＝10.5.故EY＝E(3X)＝3EX＝105，DY＝D(3X)＝9DX＝94.5.题型三期望、方差的的应用例4因冰雪灾害，，某柑橘基地地果林严重受受损，为此有有关专家提出出两种拯救果果树的方案，，每种方案都都需分两年实实施．若实施施方案一，预预计第一年可可以使柑橘产产量恢复到灾灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别别是0.3、0.3、0.4；第二年可以以使柑橘产量量为第一年产产量的1.25倍、1.0倍的概率分别别是0.5、0.5.若实施方案二二，预计第一一年可以使柑柑橘产量达到到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别别是0.2、0.3、0.5；第二年可以以使柑橘产量量为第一年产产量的1.2倍、1.0倍的概率分别别是0.4、0.6.实施每种方案案第一年与第第二年相互独独立，令ξi(i＝1,2)表示方案i实施两年后柑柑橘产量达到到灾前产量的的倍数．(1)写出ξ1、ξ2的分布列；(2)实施哪种方案案，两年后柑柑橘产量超过过灾前产量的的概率更大？？(3)不管哪种方案案，如果实施施两年后柑橘橘产量达不到到、恰好达到到、超过灾前前产量，预计计利润分别为为10万元、15万元、20万元．问实施施哪种方案的的平均利润更更大？【解析】(1)ξ1的所有取值为为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，ξ2的所有取值为为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44，ξ1，ξ2的分布列分别别为ξ10.80.91.01.1251.25P0.20.150.350.150.15ξ20.80.961.01.21.44P0.30.20.180.240.08(2)令A、B分别表示实施施方案一、方方案二两年后后柑橘产量超超过灾前产量量这一事件．．P(A)＝0.15＋0.15＝0.3，P(B)＝0.24＋0.08＝0.32.可见，实施施方案二两两年后柑橘橘产量超过过灾前产量量的概率更更大．(3)令ηi表示方案i的预计利润润，则η1101520P0.350.350.3η2101520P0.50.180.32所以Eη1＝14.75，Eη2＝14.1可见，方案案一的预计计利润更大大．探究4从近年来全全国各地有有关概率的的高考试题题来看，命命题的背景景通常与实实际生活密密切相关，，因此考生生在复习过过程中应适适当关心身身边所发生生的一些事事件，这些些事件极有有可能成为为高考概率率问题的命命题背景．．思考题4某鲜花店每每天以每束束2.5元的价格购购入新鲜玫玫瑰花，并并以每束5元的价格销销售，店主主根据以往往的销售统统计得到每每天能以此此价格售出出的玫瑰花花数ξ的分分布布列列如如下下表表所所示示．．若若某某天天所所购购入入的的玫玫瑰瑰花花未未售售完完，，则则当当天天未未售售出出的的玫玫瑰瑰花花将将以以每每束束1.5元的的价价格格降降价价处处理理完完毕毕.(1)若某某天天店店主主购购入入玫玫瑰瑰花花40束，，试试求求该该天天从从玫玫瑰瑰花花销销售售中中所所获获利利润润的的期期望望；；(2)每天天玫玫瑰瑰花花的的进进货货量量x(30≤≤x≤50，单单位位：：束束)为多多少少时时，，店店主主有有望望从从玫玫瑰瑰花花销销售售中中获获取取最最大大利利润润？？则当30≤x≤50时，Eη递增，所以当当x＝50时，Eη的最大值为90，即店主有望望从玫瑰花销销售中获取最最大利润90元．1．离散型随机变变量的数学期期望与方差是是对随机变量量的简明的描描写．期望表表示在随机试试验中随机变变量取得的平平均值；方差差表示随机变变量所取的值值相对于它的的期望值的集集中与离散程程度，即取值值的稳定性．．把握离散型型随机变量的的数学期望与与方差的含义义，是处理有有关应用题的的重要环节．．2．期望与方方差的常用性性质，掌握下下述有关性质质，会给解题题带来方便：：(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；(2)若ξ～B(n，p)，则则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－－p).答案A2．某人从家家乘车到单单位，途中中有3个交通岗亭亭．假设在在各交通岗岗遇到红灯灯的事件是是相互独立立的，且概概率都是0.4，则此人上上班途中遇遇红灯的次次数的期望望为()A．0.4B．1.2C．0.43D．0.6答案B解析∵途中遇红灯灯的次数X服从二项分分布，即X～B(3,0.4)，∴EX＝3×0.4＝1.2.答案C4．(09·浙江)在1,2,3，…，9这9个自然数中中，任取3个数．(1)求这3个数中恰有有1个是偶数的的概率；(2)记ξ