《金新学案》高三数学一轮复习 第3章 三角函数第8课时 三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例精品课件 文 北师大

第8课时三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线

的角叫仰角，在水平线

的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．上方下方【思考探究】1.仰角、俯角、方位角有什么区别？提示：

三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．3．方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)(1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．(2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．【思考探究】2.如何用方位角、方向角确定一点的位置？提示：

利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°解析：

根据仰角与俯角的含义，画图即可得知．答案：

B2．若点A在点B的北偏西30°，则B点在A点的()A．西偏北30°B．西偏北60°C．南偏东30° D．东偏南30°解析：

如图，可知B在点A的南偏东30°或东偏南60°.答案：

C答案：

A4．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h、15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是________nmile.答案：705．．如如图图，，为为了了测测量量河河的的宽宽度度，，在在一一岸岸边边选选定定两两点点A，B望对岸的的标记物物C，测得∠CAB＝30°°，∠CBA＝75°°，AB＝120m，，则这条条河的宽宽度为________m.解析：如图，在在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求宽宽度，在在△ABC中，∵∠CAB＝30°°，∠CBA＝75°°，∴∠ACB＝75°°，∴AC＝AB＝120m.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝120sin30°＝60(m)，因此这条条河宽为为60m.答案：60以平面几几何图形形为背景景，求解解有关长长度、角角度、面面积、最最值和优优化等问问题，通通常是转转化到三三角形中中，利用用正、余余弦定理理加以解解决．在在解决某某些具体体问题时时，常先先引入变变量(如边长、、角度等等)，然后把把要解的的三角形形的边或或角用所所设变量量表示出出来，再再利用正正、余弦弦定理列列出方程程，解之之．如右图，，D是直角△ABC斜边BC上一点，，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.(1)证明明：sinα＋cos2β＝0；；(2)若AC＝DC，求β的值．．解析：：(1)证明明：∵AB＝AD，则∠ADB＝β，∴∠C＝β－α.又∠B＋∠C＝90°，，即2β－α＝90°，，则2β＝90°＋＋α，cos2β＝－sinα，即cos2β＋sinα＝0.①【变式式训练练】1.如图图，在在四边边形ABCD中，已已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠∠BDA＝60°，，∠BCD＝135°°，则则BC的长为为________．解析：：在△ABD中，设设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2··10x·cos60°，，整理得得x2－10x－96＝0，求距离离问题题要注注意：：(1)选定定或确确定要要创建建的三三角形形，要要首先先确定定所求求量所所在的的三角角形，，若其其他量量已知知则直直接解解；若若有未未知量量，则则把未未知量量放在在另一一确定定三角角形中中求解解．(2)确定定用正弦定定理还是余余弦定理，，如果都可可用，就选选择更便于于计算的定定理．测量高度问问题一般是是利用地面面上的观测测点，通过过测量仰角角、俯角等等数据计算算物体的高高度，这类类问题一般般用到立体体几何知识识，先把立立体几何问问题转化为为平面几何何问题，再再通过解三三角形加以以解决．如如图，，测量河对对岸的塔形形建筑AB，A为塔的顶端端，B为塔的底端端，河两岸岸的地面上上任意一点点与塔底端端B处在同一海海拔水平面面上，现给给你一架测测角仪(可可以测量仰仰角、俯角角和视角)，再给你你一把尺子子(可以测测量地面上上两点间距距离)，图图中给出的的是在一侧侧河岸地面面C点测得仰角角∠ACB＝α，请设计一一种测量塔塔建筑高度度AB的方法(其其中测角仪仪支架高度度忽略不计计，计算结结果可用测测量数据所所设字母表表示)．【变式训练练】3.A、B是海平面上上的两个点点，相距800m，在A点测得山顶顶C的仰角为45°，∠∠BAD＝120°°，又在B点测得∠ABD＝45°，，其中D是点C到水平面的的垂足，求求山高CD.测量角度问问题也就是是通过解三三角形求角角问题，求求角问题可可以转化为为求该角的的函数值．．如果是用用余弦定理理求得该角角的余弦，，该角容易易确定，如如果用正弦弦定理求得得该角的正正弦，就需需要讨论解解的情况了了．在海海岸岸A处，，发发现现北北偏偏东东45°°方方向向，，距距离离A处(－－1)nmile的的B处有有一一艘艘走走私私船船，，在在A处北北偏偏西西75°°的的方方向向，，距距离离A2nmile的的C处的的缉缉私私船船奉奉命命以以10nmile/h的的速速度度追追截截走走私私船船．．此此时时，，走走私私船船正正以以10nmile/h的的速速度度从从B处向向北北偏偏东东30°°方方向向逃逃窜窜，，问问缉缉私私船船沿沿什什么么方方向向能能最最快快追追上上走走私私船船？？1．．解解三三角角形形的的一一般般步步骤骤(1)分分析析题题意意，，准准确确理理解解题题意意分清清已已知知与与所所求求，，尤尤其其要要理理解解应应用用题题中中的的有有关关名名词词、、术术语语，，如如坡坡度度、、仰仰角角、、俯俯角角、、方方位位角角等等．．(2)根根据据题题意意画画出出示示意意图图．．(3)将将需需求求解解的的问问题题归归结结到到一一个个或或几几个个三三角角形形中中，，通通过过合合理理运运用用正正弦弦定定理理、、余余弦弦定定理理等等有有关关知知识识正正确确求求解解．．演演算算过过程程中中，，要要算算法法简简练练，，计计算算正正确确，，并并作作答答．．(4)检验验解解出出的的答答案案是是否否具具有有实实际际意意义义，，对对解解进进行行取取舍舍．．2．．解解斜斜三三角角形形实实际际应应用用举举例例(1)常常见见几几种种题题型型测量量距距离离问问题题、、测测量量高高度度问问题题、、测测量量角角度度问问题题、、计计算算面面积积问问题题、、航航海海问问题题、、物物理理问问题题等等．．(2)解解题题时时需需注注意意的的几几个个问问题题①要注注意意仰仰角角、、俯俯角角、、方方位位角角等等名名词词，，并并能能准准确确地地找找出出这这些些角角；；②要注意将平面面几何中的性性质、定理与与正、余弦定定理结合起来来，发现题目目中的隐含条条件，才能顺顺利解决．(3)解题的的基本思路运用正、余弦弦定理处理实实际测量中的的距离、高度度、角度等问问题，实质是是数学知识在在生活中的应应用，要解决决好，就要把把握如何把实实际问题数学学化，也就是是一个抽象、、概括的问题题，即建立数数学模型．从近两年的高高考试题来看看，利用正弦弦定理、余弦弦定理解决与与测量、几何何计算有关的的实际问题是是高考的热点点，一般以解解答题的形式式考查，主要要考查计算能能力和分析问问题、解决实实际问题的能能力，常与解解三角形的知知识及三角恒恒等变换综合合考查．(本小小题满满分12分分)(2009·海海南、、宁夏夏卷)为了了测量量两山山顶M、N间的距距离，，飞机机沿水水平方方向在在A、B两点进进行测测量．．A、B、M、N在同一一个铅铅垂平平面内内(如如示意意图)．飞飞机能能够测测量的的数据据有俯俯角和和A、B间的距距离．．请设设计一一个方方案，，包括括：①指出需需要测测量的的数据据(用用字母母表示示，并并在图图中标标出)；②用文字字和公公式写写出计计算M、N间的距距离的的步骤骤．【规范范解答答】方方案案一：：①需要测测量的的数据据有：：A点到M、N点的俯俯角α1、β1；B点到M、N的俯角角α2、β2；A、B间的距距离d(如图图所示示).3分分【阅后后报告告】本题要要求考考生设设计方方案解解决问问题，，方案案的第第一步步都应应该是是充分分的、、完整整的，，2009年考考生普普遍犯犯的错错误是是方案案一中中步骤骤不够够完整整，第第一步步、第第二步步没能能由正正弦定定理把把AM、AN应用所所测数数据表表示出出来，，造成成因解