《走向清华北大》高考总复习 古典概型与几何概型课件

第五十讲古典概型与几何概型回归课本1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型(1)定义:我们将具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称为古典概型.①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.②每个基本事件出现的可能性相等.(2)计算公式:注意:应用古典概型计算概率时,要验证试验中基本事件的两个条件.3.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.(2)计算公式:注意:(1)几何概型具备以下两个特征①无限性,即每次试验的结果(基本事件)有无限多个,且全体结果可用一个有度量的几何区域表示;②等可能性,即每个基本事件发生的概率相等.(2)应用几何概型求概率需将试验和事件所包含的基本事件转化为点,然后看这些点构成的区域是线段还是平面还是几何体.也就是需要将试验和事件转化为相应的几何图形.考点陪练1.(2010·浙江宁波调考)在三棱锥的六条棱中任意选择两条,则这两条棱是一对异面直线的概率为()解析:在三棱锥的六条棱中任意选择两条共有15种情况,其中异面的情况有3种,则这两条棱异面的概率为所以选C.答案:C2.(2010·山东临沂质检检)甲、乙两人各各写一张贺年年卡,随意送给丙、、丁两人中的的一人,则甲、乙将贺贺年卡送给同同一人的概率率是()解析:(甲送给丙,乙送给丁),(甲送给丁,乙送给丙),(甲､乙都送给丙),(甲､乙都送给丁)共四种情况,其中甲､乙将贺年卡送送给同一人的的情况有两种种,所以选选A.答案:A3.(2010·江苏南京质检检)抛掷两颗骰子子出现的点数数分别为b、c,则方程x2+bx+c=0有两个实根的的概率为()解析:抛掷两颗骰子子,共有36个结果,方程有解,则Δ=b2-4c≥0,∴b2≥4c,满足条件的的数对记为为(b2,4c),共有(4,4),(9,4),(9,8),(16,4),(16,8),(16,12),(16,16),(25,4),(25,8),(25,12),(25,16),(25,20),(25,24),(36,4),(36,8),(36,12),(36,16),(36,20),(36,24)共19个结果,答案:C4.(2010·福建福州诊诊断)为了测算如如图阴影部部分的面积积,作一个边长长为6的正方形将将其包含在在内,并向正方形形内随机投投掷800个点,已知恰有200个点落在阴阴影部分内内,据此,可估计阴影影部分的面面积是()解析:正方形面积积为36,阴影部分面面积为×36=9.答案:B5.(2010·浙江温州调调研)一个袋子中中有5个大小相同同的球,其中有3个黑球与2个红球,如果从中任任取两个球球,则恰好取到到两个同色色球的概率率是()解析:(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑1,红1),(黑1,红2),(黑2,黑3),(黑2,红1),(黑2,红2),(黑3,红1),(黑3,红2),(红1,红2)共10个结果,同色球为(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),(红1,红2)共4个结果,∴答案:C类型一写写出基本事事件解题准备:随机试验满满足下列条条件:(1)试验可以在在相同的条条件下重复复做下去;(2)试验的所有有结果是明明确可知的的,并且不止一一个;(3)每次试验总总是恰好出出现这些结结果中的一一个,但在试验之之前却不能能肯定会出出现哪一个个结果.所以,随机试验的的每一个可可能出现的的结果是一一个随机事事件,这类随机事事件叫做基基本事件.【典例1】做抛掷两颗颗骰子的试试验:用(x,y)表示结果,其中x表示第一颗颗骰子出现现的点数,y表示第二颗颗骰子出现现的点数,写出下列事事件包含的的基本事件件:(1)试验的基本本事件;(2)事件“出现点数之之和大于8”;(3)事件“出现点数相相等”;(4)事件“出现点数之之和大于10”.[分析]抛掷两颗骰骰子的试验验,每次只有一一种结果;且每种结果果出现的可可能性是相相同的,所以该试验验是古典概概型,当试验结果果较少时可可用列举法法将所有结结果一一列列出.[解](1)这个试验的的基本事件件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).(2)“出现点数之之和大于8”包含以下10个基本事件件:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).(3)“出现点数相相等”包含以下6个基本事件件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).(4)“出现点数之之和大于10”包含以下3个基本事件件:(5,6),(6,5),(6,6).类型二简简单的古典典概型问题题解题准备:计算古典概概型事件的的概率可分分三步:①算出基本事事件的总个个数n;②求出事件A所包含的基基本事件个个数m;③代入公式求求出概率P.【典例2】从含有两件件正品a1､a2和一件次品品b1的3件产品中每每次任取1件,每次取出后后不放回,连续取两次次,求取出的两两件产品中中恰有一件件次品的概概率.[分析]先用坐标法法求出基本本事件数m和n,再利用公式式求求出出P.[解]每次取一件件,取后不放回回地连续取取两次,其一切可能能的结果为为(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),其中小括号号内左边的的字母表示示第1次取出的产产品,右边的字母母表示第2次取出的产产品,由6个基本事件件组成,而且可以认认为这些基基本事件的的出现是等等可能的.用A表示“取出的两件件产品中,恰好有一件件次品”这一事件,则A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.事件A由4个基本事件件组成,因而类型三复复杂事件的的古典概型型问题解题准备:求复杂事件件的概率问问题,关键是理解解题目的实实际含义,必要时将所所求事件转转化为彼此此互斥事件件的和,或者是先去去求对立事事件的概率率,进而再用互互斥事件的的概率加法法公式或对对立事件的的概率公式式求出所求求事件的概概率.【典例3】某种饮料每每箱装6听,如果其中有有2听不合格,质检人员从从中随机抽抽出2听,求下列事件件的概率:(1)A:经检测两听听都是合格格品;(2)B:经检测两听听一听合格格,一听不合格格;(3)C:检测出不合合格产品.[分析]显然属于古古典概型,所以先求出出任取2听的基本事事件总数,再分别求出出事件A､B､C所包含的基基本事件的的个数,套用公式求求解即可.[解]设合格的4听分别记作作1,2,3,4,不合格的两两听分别记记作a,b.解法一:如果看作是是一次性抽抽取2听,没有顺序,那么所有基基本事件为为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b),共15个.(1)事件A:两听都是合合格品包含含6个基本事件件,∴P(A)=(2)事件B:一听合格,一听不合格格,包含8个基本事件件,∴P(B)=(3)事件C:检测出不合合格产品包包含9个基本事件件,∴P(C)=解法二:如果看作是是依次不放放回抽取两两听,有顺序,那么所有基基本事件为为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,1),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,4),(3,a),(3,b),(4,1),(4,2),(4,3),(4,a),(4,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,a).共30个.(1)事件A:两听都是合合格品包含含12个基本事件件,∴P(A)=(2)事件B:一听合格,一听不合格格包含16个基本事件件,∴P(B)=(3)事件C:检测出不合合格产品包包含18个基本条件件,∴P(C)=类型四与与长度有关关的几何概概型解题准备:1.如果试验的的结果构成成的区域的的几何度量量可用长度度表示,则其概率的的计算公式式为2.将每个基本本事件理解解为从某个个特定的几几何区域内内随机地取取一点,该区域中每每一点被取取到的机会会都一样,而一个随机机事件的发发生则理解解为恰好取取到上述区区域内的某某个指定区区域中的点点,这样的概率率模型就可可以用几何何概型来求求解.【典例4】公交车站点点每隔15分钟有一辆辆汽车通过过,乘客到达站站点的任一一时刻是等等可能的,求乘客候车车不超过3分钟的概率率.[分析]在任一时刻刻到达站点点都是一个个基本事件件,基本事件有有无限个.又在任一时时刻到达站站点是等可可能的,故是几何概概型.[解]这里的区域域长度理解解为“时间长度”,总长度为15分钟,设事件A={候车时间不不超过3分钟},则A的长度为3分钟,由几何概型型得类型五与与面积(或体积)有关的几何何概型解题准备:1.如果试验的的结果所构构成的区域域的几何度度量可用面面积表示,则其概率的的计算公式式为:2.如果试验的的结果所构构成的区域域的几何度度量可用体体积表示,则其概率的的计算公式式为:【典例5】已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y).(1)求当x,y∈R时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率;(2)求当x,y∈Z时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率;[分析]本题第(1)问为几何概概型,可采用数形形结合的思思想画出图图形,然后利用几几何概型的的概率公式式求解,第(2)问为古典概概型只需分分别求出|x|≤2,|y|≤2内的点以及及(x-2)2+(y-2)2≤4的点的个数数即可.[解](1)如图,点P所在的区域域为正方形形ABCD的内部(含边界),满足(x-2)2+(y-2)2≤4的点的区域域为以(2,2)为圆心,2为半径的圆圆面(含边界).(2)满足x,y∈Z,且|x|≤2,|y|≤2的点(x,y)有25个,满足x,y∈Z,且(x-2)2+(y-2)2≤4的点(x,y)有6个,∴所求的概率率P2=类型六生生活中的几几何概型解题准备:生活中的几几何概型常常见的有人人约会､船停码头､等车等问题题,解决时要注注意:(1)要注意实际际问题中的的可能性的的判断;(2)将实际问题题转化为几几何概型中中的长度､角度､面积､体积等常见见几何概型型的求解问问题,构造出随机机事件A对应的几何何图形,利用几何图图形的度量量来求随机机事件的概概率,根据实际问问题的具体体情况,合理设置参参数,建立适当的的坐标系,在此基础上上将试验的的每一个结结果一一对对应于该坐坐标系的点点,便可构造出出度量区域域.【典例6】两人约定在在20∶00到21∶00之间相见,并且先到者者必须等迟迟到者40分钟方可离离去,如果两人出出发是各自自独立的,在20∶00至21∶00各时刻相见见的可能性性是相等的的,求两人在约约定时间内内相见的概概率.[分析]两人不论谁谁先到都要要等迟到者者40分钟,即小小时,设两人分别别于x时和y时到达约见见地点,要使两人在在约定的时时间范围内内相见,当且仅当≤≤x-y≤,因此转化成成面积问题题,利用几何概概型求解.[解]设两人分别别于x时和y时到达约见见地点,要使两人能能在约定时时间范围内内相见,当且仅当≤≤x-y≤两人到达约约见地点所所有时刻(x,y)的各种可能能结果可用用图中的单单位正方形形内(包括边界)的点来表示示,两人能在约约定的时间间范围内相相见的所有有时刻(x,y)的各种可能能结果可用用图中的阴阴影部分(包括边界)来表示.因此阴影部部分与单位位正方形的的面积比就就反映了两两人在约定定时间范围围内相遇的的可能性的的大小,也就是所求求的概率为为[反思感悟]此题易误算算为原原因在在于把面积积问题误认认为是(时间)长度问题,两人能够会会面用图中中阴影部分分表示更准准确,此处容易表表示错.错源一对对事件的几几何元素分分析不清致致误【典例1】在等腰Rt△ABC中,过直角顶点点C在∠ACB内作一条射射线CD与线段AB交于点D,求AD<AC的概率.[错解]在线段AB上取一点E,使AE=AC,在线段AE上取一点D,过C､D作射线CD,此时AD<AC,求得概率为为[剖析]上面是常见见的错误解解法,原因是不能能准确找出出事件的几几何度量.[正解]射线CD在∠ACB内是均匀分分布的,故∠ACB=90°可看成试验验的所有结结果构成的的区域,在线段AB上取一点E,使AE=AC,则∠ACE=67.5°°可看成所求求事件构成成的区域,所以满足条条件的概率率为[评析]古典概型与与几何概型型的判断方方法古典概型､几何概型以以及前面复复习的概率率加法公式式都是求解解概率题目目的方法,一个概率问问题具体用用什么方法法求解需要要去分析这这一问题所所描述的试试验和事件件.因此,碰到概率问问题时,先确定该问问题的试验验会有哪些些事件.若试验包含含的基本事事件有有限限个,则考虑古典典概型;如果试验包包含的基本本事件有无无限个,则考虑几何何概型.概率加法公公式的选择择,则需要分析析题目中所所描述的事事件之间的的关系.错源二构构造随机事事件对应的的几何图形形出错【典例2】向面积为S的正方形ABCD内投一点P,试求三角形形PBC的面积小于于的的概率.[错解]如图所示,设三角形PBC的边BC上的高为PF,线段PF所在的直线线交AD于点E,则当点P到底边BC的距离小于于EF的一半时,有即0<S△PBC<记事件A为“三角形PBC的面积小于于”,由几何概型型可得[剖析]错解构造的的图形有误误,如图所示,设G为AB的中点,H为CD的中点,则点P可以是矩形形GBCH内的任意一一点.[正解]如图所示,设G为AB的中点,H为CD的中点,当点P是矩形GBCH内的任意一一点时,P到底边BC的距离小于于AB的一半,所以0<S△PBC<,记事件A为“三角形PBC的面积小于于”,由几何概型型可得技法一“有放回的”､“与顺序有关关的”古典概型【典例1】一袋中装有有大小相同同,编号分别为为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回回地每次取取一个球,共取2次,则取得两个个球的编号号和不小于于15的概率为()[剖析]本题是一个个“有放回的”､“与顺序有关关的”古典概型问问题,故可由图表表法求解.[解析]设“取得两个球球的编号和和不小于15”为事件A,如图所示.由图易知:整个基本事事件空间包