2017高等数学辅导讲义练习题答案-第七章解答

练习题精选答案与解析【解 如果(|an||bn||an||an||bn |bn||an||bn| an和bn都收敛 【解】只有命题（4）正确，故应选 由anbn 知,0bnancnan,又an与cn都收敛,则(bnan n 收敛,又bnbnanan而an收敛,则bn n【解】应选|an

1n1

f(x)dx

n(n

|f(c Mn(n1)MM

M则anln(enp)

ln(en

lnen(1

1nln(1p

1~nln(enln(enp)则级数

发散.级数ln(enp是一个交错级数，且unln(enp 0,则级数ln(enp【解】应选（D）.由limanbn1liman0和limbn0 则级数an和bn 【解】应选（C）.如an )(aa)(aa)(11)(11)

1111 【解】应选（C）.由于(1)n(ntanλ

λ(n n

，

λ(ntann

λ 则级数(ntann)a2n与a2n同敛散，而由于正项级数an收敛，则级数a2n

n λ

敛，故级数(1)ntanna2nn 【解】应选（D），由级数un收敛可知级数un1（比原级数少第一项）n 级数un和级数un1逐项相加所得级数(unun1n an 【解】应选（D），由上题可知级数(anan1)收敛，该级数 na则级数 n

M而当

nlimb0,则当nb1a2b2M2b，则级数a2b2收敛n n

n【解】应选（D）(a2n1a2na1a2a3a4(1)n1

a4显然级数n

2n

a2n就是由收敛级数(1n1an加括号得来的，则级数n(a2n1a2nn 12解】应选（A），显然级数(u2n1u2nu1u2u3u4是由收敛级数 加括号得来的，则级数(u2n1u2n)收敛n Dn

nsinann

nsinna sinα α则级数

nsina与级数nn

nann

α

同敛散，则α 2α .由α .由级数 条件收敛可知，02α1,即1α2, α D， n

即lim 存在,而级数np收敛，则级数an收敛n

n 区间(3,1)内绝对收敛，从而幂级数ax1)nx0处绝对收敛，即级数a

n

n(x (xn【解 （A，n

1.由nn

x2(x收敛知，a3或a1,但a3与

n2(xa)n

(x

0，则n(x

x

【解】应选（C）.由数列{an}单调减少，liman0,Sna(n nkk k 正项级数a发散而交错级数(1)na收敛，即幂级数a(x1)nx n

nx0处收敛，则幂级数an(x1)n的收敛域为nnp2由limnp(e11)a1limnp1a1,即limann n级数an与p1同敛散，若anp11,即pn 【解】应填(2,4由于幂级数nax1)n1可看做幂级数axn nn

n

(x1)n1的中心为1,则其收敛区间为n

(x2)nx0处收敛，则幂级数an(x3)nxn处收敛，若幂级数n

(x2)nx4发散，则幂级数an(x3)nx1n由阿贝尔定理知，幂级数an(x3)n的收敛域为n【解】应填(2,0).由a

lnnliman1知，lima0,又正项数列{an

n0 则级数(1)nan条件收敛，即幂级数(1)nanxnx1 (1)n 故幂级数 n(x1)的收敛半径也为1，则其收敛区间为 a

(x1)nxnn

nx0为幂级数(1)nan(x1)n(1)n

1.而幂级数 n(x1)与幂级数(1)an(x1)的收敛半径相同，则幂级(1)n

n

nx1)的收敛区间为 【解】应填[ 2].由幂级 axn在x2时条件收敛可知，该幂级数收敛半nn2,n

2收敛.则当x2时幂级数ax收敛，从而可知幂级数 x2n

22nx22时收敛，即当 x 时幂级数22n

x2n收敛，由an2n n数ax2n在x2处收敛，则幂级数anx2n的收敛域为[ 2n 【解】应填[3,3).因

2n1 [(3)n(2)n 3 lim

n

2n1

(n3 则

(1)n x3(3)n

2n

(3)n

2n

nx3(1)n x3时，由于(3)n2n

3n(2)n

n3n(2)nnna(nnna(nn

1a1时原级数收敛,当a1

n散,当a1时,原级数为α,则当α1时原级数发散,当α1n4141x4

nnn0

n1nn3n3[2

2,nnn3[n3[2(1)n(n1)

,

211,则原级n3[n3[2n(4）由于(1)nn1n

(1)n

【解】由yxy,y(0)1可知，y(0) y(0) y1111o(1y11

1

1 n1 【解】f(x) (x1)(x

15

x

1x (1x251x

251x5(1)n(

1)(x4)n (1x 【解】

1

ln[1(x1)2

22x(1)n(x (2xn (xf(x) x (x16 2

(x2

2

1)(

(nx4n1)1)(

(xf(x)4

n

xx4n1(0( x4nnf(x)424n2(2n

2n【解】易求得收敛域为[1,1].令Sx)x24n21

(1)n1x2nS(x)1

2n

1n1 2n

12xarctanS(x) x(12xarctanx)dx(1x2)arctan0

【解】易求得R,收敛域为(,).设y(x)(4n)!，则 (x)y(x),y(0)1,y(0)y(0)y(00y(4)(xy(x的特征方程为r41特征根为 i.则该方程的通解为yCexCexCcosxCsinx,利 y(01,y(0)y(0)y(00y1(exex2cos4x2n3n(2nn(n1)(2x2n3n(2nn(n1)(2nn x11x1x1时，级数为n(2n1)，(1)n1

(1)n1

(1)n1x2nnnn

n(2n1)

n(2n1)，设

n(2n f(x)

(1)n12nx2n1

(1)n1x2n1 n(2n n 2nf(x)

(1)n1x2n2 1f(0)0,f(0)0f(x)xf(t)dtf(0)0

x2dt2arctanx 01 f(x) xf(t)dtf(0)2x 2trtat2trtat01 dtt 2xarctanxln(1x2), 从而s(x)2x2arctanxxln(1x2), x[1,1]. 【解 令S(x)(2n1)(2n1) ，S(x)

(1)n1 (1)n12n1

xarctann12n1 01S(1)1xarctanxdxπ π (2n1)(2n1) 【解 因 1

n

arctanx (arctanx)dx

,x n02n 2n n n(1)n1于是f(x)12n1 2n1 12n1 2n11

n(1)x2n,x(1)

nn11 n因 14n22[f(1)1]42nA为用于第n年提取(109nA1r)n(109nA

A

10

. 200.n

n1(1 n1(1 n1(1 n1(1S(xnxnx1,1).xS(x)x

xn

1x

(1

(1,1) 所以 1S1420（万元1 1 （1）yaxnynaxn1,yn(n1)axn nn

n y2xy4y0并整理，得(n1)(n2)axn2naxn4axn 于是2a24a0

n

n

n(n1)(n2)an22(n2)an0,n从而an

n

an,n（2）y(0)a00,y(0)a11a2n0,n a2n12na2n12n(2n2)42a1 n 22从而yaxn x2n1 x(x xex x2n

n02n n 【解】(1)由题设得

3,

所以幂级数

axnn n

(2n

因为S(x)

xn

S(x)nanxn1 nS(x)an(n1)xn2,由于 n

n(n

0n2nn S(x)axn2axnS n

即S(xS(x)(2)齐次方程S(xS(x)0的特征根为1和1,S(x)CexC 由S(0)

3,S(0)

11知，C11,C22.所以S(x) 2e(1【解 由于

n

1x1 S(x)anxn，则S(x)

naxn1a

n

n

n

(n

n n n11[axna]n

na 1S(x)1111

S(x)S(

,S(0)1得S(x) n 故幂级数n

a

11 【解】S(xaxnSxnaxn1axn111 nn

n

n nS(x)

(n1)xn1S(x) (1xSxS(x(1x)2，且S(0)a02解方程S(x)Cex 1

，由S(0)2得C1,S(x)ex 11【证 由

fx)2知f(0)0,f(0)2x内f(x0，f(x单调增，fn

f(0)0知，f

)0n由limfx)2知limf10,则交错级数(1)nf1x

f(n 而|(1)f()|f( lim 2.故(1)f()条件收敛 n【证】a f(nx)dx,令nxt,则an1

nf(t)dt a21(

f(t)dt)2

n

nf

n2 n2(01 1f2(t)dtn0 令

f2x)dxA，则

， n(α0)收敛n1【证】由an1bn1可知，bnbn1，则b1bn1bn， b

a1a由a)anbn可知，若bn收敛,则an

a由 )anbn可知，若an发散,则bn发散a 【证】由题设知un单调增，则unun1un22un2则u2n

22u

2n1u25u2n12u2n322u2n52n1u13 故级数

32n1

5 n1n【解】