《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第4章 时变电磁场

第4章时变电磁场在时变的情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播。电磁场的波动方程描述了电磁场的波动性，本章首先对电磁场的波动方程进行讨论。在时变电磁场的情况下，也可以引入辅助位函数来描述电磁场，使一些复杂问题的分析求解过程得以简化。本章对时变电磁场的位函数及其微分方程进行了讨论。电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理，本章将讨论电磁场的能流和表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理。本章在最后讨论了随时间按正弦函数变化的时变电磁场，这种时变电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。4.1波动方程由麦克斯韦方程可以建立电磁场的波动方程，揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。下面建立无源空间中电磁场的波动方程。在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零，即和满足的麦克斯韦方程为、。在线性、各向同性的均匀媒质中，（4.1.1）（4.1.2）（4.1.3）（4.1.4）对式（4.1.2）两边取旋度，有将式（4.1.1）代入上式，得到利用矢量恒等式和式（4.1.4），可得到（4.1.5）此式即为无源区域中电场强度矢量满足的波动方程。同理可得到无源区域中磁场强度矢量满足的波动方程为（4.1.6）无源区域中的或可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波动方程得到。在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含有一个场分量。例如，式（4.1.5）可以分解为（4.1.7）（4.1.8）（4.1.9）在其它坐标系中分解得到的三个标量方程都具有复杂的形式。波动方程的解是在空间中沿一个特定方向传播的电磁波。研究电磁波的传播问题都可归结为在给定的边界条件和初始条件下求波动方程的解。当然，除最简单的情况外，求解波动方程常常是很复杂的。4.2电磁场的位函数在静态场中引入了标量电位来描述电场，引入了矢量磁位和标量磁位来描述磁场，使对电场和磁场的分析得到很大程度的简化。对于时变电磁场，也可以引入位函数来描述，使一些问题的分析得到简化。4.2.1矢量位和标量位由于磁场的散度恒定于零，即（4.2.1）式中的矢量函数称为电磁场的矢量位，单位是将式（4.2.1）代入方程，因此可以将磁场表示为一个矢量函数的旋度，即。，有即这表明是无旋的，可以用一个标量函数的梯度来表示，即（4.2.2）式中的标量函数称为电磁场的标量位，单位是。由式（4.2.2）可将电场强度矢量用矢量位和标量位表示为（4.2.3）由式（4.2.1）和式（4.2.3）定义的矢量位和标量位并不是惟一的，也就是说，对于同样的和，除了可用一组和来表示外，还存在另外的和，使得为任意标量函数，令和。实际上，设（4.2.4）则有由于为任意标量函数，所以由式（4.2.4）定义的和有无穷多组。出现这种现象的原因在于确定一个矢量场需要同时规定该矢量场的散度和旋度，而式（4.2.1）只规定了矢量位的旋度，没有规定矢量位的散度。因此，通过适当地规定矢量位的散度，不仅可以得到惟一的和，而且还可以使问题的求解得以简化。在电磁场工程中，通常规定矢量位的散度为（4.2.5）此式称为洛仑兹条件。4.2.2达朗贝尔方程在线性、各向同性的均匀媒质中，将利用矢量恒等式和代入方程，则有，可得到（4.2.6）同样，将代入，可得到（4.2.7）和得一组耦合微分方程，可通过适当地规定矢量位的散度来加以式（4.2.6）和式（4.2.7）是关于简化。利用洛仑兹条件（4.2.5），由式（4.2.6）和式（4.2.7）可得到（4.2.8）（4.2.9）式（4.2.8）和式（4.2.9）就是在洛仑兹条件下，矢量位和标量位所满足的微分方程，称为达朗贝尔方程。由式（4.2.8）和式（4.2.9）可知，采用洛仑兹条件使矢量位和标量位分离在两个独立的方程中，且矢量位仅与电流密度有关，而标量位仅与电荷密度有关，这对方程的求解是有利的。如果不采用洛仑兹条件，而选择另外的，得到的和的方程将不同于式（4.2.8）和式（4.2.9），其解也不相同，但最终由和求出的和是相同的。4.3电磁能量守恒定律电场和磁场都具有能量，在线性、各向同性的媒质中，电场能量密度分别为与磁场能量密度能量密度(4.3.1)(4.3.2)在时变电磁场中，电磁场能量密度等于电场能量密度(4.3.3)与磁场能量密度之和，即当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随时间改变，从而引起电磁