北京市2022届高三高考(二模)数学【理】试题及答案

2022-2021学年(xuénián)高三年级第二次质量调研数学试卷（理）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案(dáàn)一律不予评分．一．填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果(jiēguǒ)，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合(jíhé)2．抛物线，，则________．的焦点到准线(zhǔnxiàn)的距离是______________．3．若，其中、，是虚数单位，则_________．4．已知函数，若，且，则的取值范围是_______．5．设等差数列=__________．满足，，（的前项和的最大值为，则6．若），且，则_______________．7.已知对任意，向量，若都是直线的方向向量，设数列的前项和为，则_____________．8．已知定义在上的单调函数的图像经过点、，若函数的反函数为，则不等式的解集为．9.已知方程在上有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是____________．10.随机变量的分布律如下表所示，其中，，成等差数列，若是___________．，则的值11．现有(xiànyǒu)张不同的卡片,其中(qízhōng)红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张.从中任取张,要求(yāoqiú)这张卡片不能是同一种(yīzhǒnɡ)颜色，且红色卡片(kǎpiàn)至多张．则不同取法的种数为__________．12.在平面直角坐标系中，点和点满足按此规则由点得到点，称为直角坐标平面的一个“点变换”．在此变换下，若，向量与的夹角为，其中为坐标原点，则的值为____________．13.设定义域为的函数若关于的函数有个不同的零点，则实数的取值范围是____________．14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．在△中，“”是“”的……（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．已知平面直角坐标系内的两个向量，，且平面内的任一向量都可以(kěyǐ)唯一的表示成为实数(shìshù)），则实数的取值范围(fànwéi)是（）A．B．C．D．17．极坐标方程(fāngchéng)（）表示(biǎoshì)的图形是…………（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线18．在四棱锥中，，分别为侧棱，的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为……………（）A．B．C．D．三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在△中，已知，外接圆半径．（1）求角的大小；（2）若角，求△面积的大小.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，四棱锥的底面；为菱形，平面，，，为的中点．（1）求证：（2）求平面平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值．21．（本题满分(mǎnfēn)14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．某市环保部门对市中心每天的环境污染(huánjìngwūrǎn)情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻(shíkè)（时）的关系(guānxì)为，，其中(qízhōng)是与气象有关的参数，且．若用每天的最大值为当天的综合污染指数，并记作．（1）令（2）求，，求的取值范围；时为综合污染指数不超标，求当在什么范围内时，该市的表达式，并规定当市中心的综合污染指数不超标．22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆（）的左、右焦点分别为．、，点，过点且与垂直的直线交轴负半轴于点，且（1）求证：△是等边三角形；（2）若过、、三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆的方程；（3）设过（2）中椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，是点关于轴的对称点．在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．23.（本题满分(mǎnfēn)18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列(shùliè)中，，，的前项和为，且满足(mǎnzú)（）．（1）试求数列(shùliè)（2）令的通项公式(gōngshì)；，是数列的前项和，证明：；（3）证明：对任意给定的，均存在，使得当时，（2）中的恒成立．数学试卷（理）参考答案与评分标准一．填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分）1．或2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．二．选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）15．B16．D17．C18．C三．解答题（本大题共有5题，满分74分）19.（本题满分12分）本题共