函数与方程-简单-讲义

函数与方程知识讲解一、一元二次方程的根与对应囹象与％轴交点的关系关系：一元二次方程的实数根与对应二次函数图象和％轴交点的横坐标相同，方程实数根的个数与函数图像和％轴交点的个数相同.判别式A=b2-4acA>0A=0A<0方程ax2+bx+c=0（a丰0）的根有两个不相等实根x,x1 2有两相等实根xi=x2无实根函数y=ax2+bx+c=0（a丰0）与x轴交点有两个交点(x,0)、(x,0)1 2有一个交点(xi，0)无交点二、函数的零点.函数零点的概念概念：一般地，如果函数y=f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=°，则实数a叫做这个函数的零点..函数零点的意义意义：函数y=fx)的零点就是方程f(x)=°实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.即方程f(x)=0有实数根。函数y=f(x)的图象与x轴有交点。函数y=f(x)有零点..零点存在判定定理判定定理：如果函数y=f(x)在区间［ab］上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a).f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a乃)内至少有一个零点，即存在c。(a，b)，使得f(c)=0，这个c就是方程f(x)=0的根..变号零点：如果函数图象在通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点..不变号零点：如果函数图象在通过零点时不穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点..一次函数的零点定义：若一次函数f（x）=kx+b（k丰0）在区间（a，b）上恰有一零点of（a>f（b）<0.二次函数零点1）二次函数零点的判定二次函数》=a2+bx+c的零点个数，方程ax2+bx+c=0的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点A>0两个不相等的实根两个零点A=0两个相等的实根一个二重零点A<0无实根无零点2）二次函数零点的性质性质：①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.）二次函数的零点的应用应用：①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.“配凑法”因式分解三次多项式方法：若ax3+bx2+cx+d=0方程有一根为x0，则三次多项式ax3+bx2+cx+d可分解为x-x0）（x2+1bx+c1）然后再进一步分解.二次函数f（x）=ax2+bx+c零点的分布与区间端点的关系零点的分布k<x<xx<x<kx<k<x

yyyk)>0X.a<0yk1)>)k2Oyyk,)>01加2)<0yyyf(k)>0a>0a>0OOf(k)<0函数图象OOf(k)<0a<0fk)<0a<0需要满足的条af(k)<0件零点的分布个根yfk1>0fp2)<0fk2)>0O函数图象a<0OXf(k1<0f(k1yyyk)>0X.a<0yk1)>)k2Oyyk,)>01加2)<0yyyf(k)>0a>0a>0OOf(k)<0函数图象OOf(k)<0a<0fk)<0a<0需要满足的条af(k)<0件零点的分布个根yfk1>0fp2)<0fk2)>0O函数图象a<0OXf(k1<0f(k1)<0需要满足的条件X1-b-x=-2aaf(k)>0af(kI<02af(p)<01af(pJ>0或1-b-x=-2a或1X1k1X1X1kX1X2 k2f(k2)k X1-b-X=-2ak<x<x<kk<x<k<p<x<pf(kjf(k2)<0। a>0-b-X=-2aA=0ibk<——<k1 2a 2a>0:f(k2)>0在(k,k)内有且仅有11 2A>0b八一<k2aaf(k)>0A>0b、i- >k2aaf(k)>0f(k1)=0,bk+kk<--<r ?1 2a 2k1X1k1 X1O kX2Xfip1)<0fk,)<0 1X2 XX2 Xk1 X1p1 X2p2 XA>07一b八k<一<k1 2a 2af(k)>0af(k2)>0v—X2 kXf(k)>0X2kXO X2XJlyJx=-2a.ffVfP1)>0X2 k2 XOk2 p1X2 p2 XO k1 X2 k2 Xfk,)<0O k1 X2k2 X或-fk2)=0k+k b,」2<--<k[2 2a2四、二分法.二分法：求函数零点的近似值的一种方法..二分法求函数零点的一般步骤：步骤：已知函数y=f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x°的近似值x，使它满足给定的精确度.第一步在D内取一个闭区间L°,b°］^D，使f(a°)与f(b)异号，即f(a)-f(b)<0.零点位于区间［a0,b0］中.第二步取区间［a,b］的中点，则此中点对应的坐标为x=勾4.计算f(x)和f(a)，并00 0 2 ° °判断：(1)如果f(x°)=0，则x°就是f(x)的零点，计算终止；⑵如果f(a)-f(x)<0，则零点位于区间1a°,x0】中，令a=a,b=x；⑶如果f(a°)-f(x°)>0，则零点位于区间L0,b0］中，令a1=x°,b1=b°.第三步取区间L,b届中点，则此中点对应的坐标为x=X.计算f(x)和f(a)，并11 i2 ii判断：(1)如果f(xi)=0，则［就是f(x)的零点，计算终止；⑵如果f(ajf(xi)<0，则零点位于区间］,xj中，令a2=ai，b2=\；⑶如果f(ajf(xi)>0，则零点位于区间《bj中，令a2=\,b2=%.继续实施上述步骤，直到区间L/bJ，函数的零点总位于区间^an，bn］上，当a和b按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似零点，计算终止.典型例题厂〉一，选择题（共6小题）TOC\o"1-5"\h\z（2010•天津）函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为（ ）A.（-2,-1）B.（-1,0）C（0,1）D.（1,2）.（2018•甘肃一模）函数f（x）=log2x+x-4的零点所在的区间是（ ）A.-，B（1,2）C（2,3）D（3,4）3（2017秋•汪清县校级期末）函数（x）=x3-9的零点所在的大致区间是（ ）A（-1,0）B（0,1）C（1,2）D（2,3）4.（2017秋•延安期末）根据下表，用二分法求函数f（x）=x3-3x+1在区间（1,2）上的零点的近似值（精确度0.1）是（ ）f(1)=-1f(2)=3f(1.5)=-0.125f(1.75)=1.109375f(1.625)=0.41601562f(1.5625)=0.12719726TOC\o"1-5"\h\zA.1.75B.1.625C.0.12719726D.1.56255(2018•青岛二模)已知方程x2-3x+1=0的两个根为x1,x2,则2 •2 =( )A.3B.6C.8D.26.（2017秋•珠海期末）定义在［0,6］上的连续函数y=f（x）有下列的对应值表:x0123456y0-1.2-0.22.1-23.22.4TOC\o"1-5"\h\z则下列说法正确的是（ ）A.函数y=f（x）在［0,6］上有4个零点B.函数y=f（x）在［0,6］上只有3个零点C.函数y=f（x）在［0,6］上最多有4个零点D.函数y=f（x）在［0,6］上至少有4个零点二，填空题（共5小题）.（2018•杨浦区二模）函数y=lgx-1的零点是.42016•南通模拟）函数f（x）=， 的零点个数为.——,.（2012秋•如东县校级期末）已知函数f（x）的图象是连续不断的，观察下表:工70123-3-2函数f（x）在区间［-2,2］上