几何画板二次函数案例

说明：本案例是苏科版九年级（下）数学第6章二次函数如何运用“几何画板”教学的案例，其他版本的教材也可参考使用。运用“几何画板”教学二次函数的案例江苏省泰兴市黄桥初级中学 马京城函数是研究现实世界数量关系及变化规律的重要数学模型，在研究二次函数y=ax2+bx+c（a中0）的图象与性质、平移、翻折变换等问题时，我用“几何画板”辅助教学活动，引导学生“操作、观察——比较、猜想、探需一抽象和概括”，和学生们共同探究二次函数的有关问题，感觉比采用传统的教学手段，效果要好得多。现按照教学顺序，将我在教学中的案例片段一一展示，供老师们参考。一、探究尸ax2（a丰0）图象、性质与系数a的关系学生会用描点法画二次函数y=x2的图象后，在多媒体教室进行以下教学。首先，教师将事先做好的“几何画板”文件（如图1）分发给学生，图中点A为x轴上的动点，y-ax2（a丰0）中系数a的值等于点A的横坐标。探究序列：（1）用鼠标拖动点A（在x轴上原点向右运动）时，改变了y=ax2（a丰0）中a的值，体会图象开口方向和开口大小变化；（2）拖动点A（在x轴上原点向左运动）时，改变了y=ax2（a丰0）中a的值，体会图象开口方向和开口大小变化；（3）归纳发现：系数a的作用是a>0时，抛物线开口向（填上或下）；a<0时，抛物线开口向（填上或下）；|a|越大，抛物线开口越（填大或小）；|a|越小，抛物线开口越（填大或小）。教师将事先做好的“几何画板”文件（如图2）分发给学生，图中点P为抛物线上的动点，探究序列：a>0时,拖动点P，当点P在抛物线上从左到右运动（即点P的横坐标逐渐增大），观察点P的纵坐标是逐渐增大还是逐渐减小a<0时，拖动点P,当点P在抛物线上从左到右运动（即点P的横坐标逐渐增大），观察点P的纵坐标是逐渐增大还是逐渐减小（3）归纳：当自变量变化时，函数值如何变化以及函数的最大（或小）值情况。（4）验证图象的对称性：如图2,标记y轴为镜面，作出点P关于y轴的对称点P’，有什么发现拖动点P时，它的对称点P’将怎样移动由此你得出什么结论设计意图：在学生会用描点法画二次函数y=ax2（a丰0）的图象后，使用图1这个课件，目的是让学生探究和体会a值的变化带来图象的开口方向和开口大小变化.使用图2这个课件，目的是让学生直观认识函数增减性和验证图象的对称性。运用规律，解决问题:(1)二次函数(a)y=_3x2；(b)y=2x2(c)y=3x2的图象的开口大小顺序应为()A.(a)>(b)>(c) B.(a)>(c)>(b)(b)>(c)>(a) D.(b)>(a)>(c)（2）下列说法错误的是（）B.二次函数A.二次函数y=_2x2中，当x=0时，y有最大值是0；B.二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大；C.在三条抛物线y=2x2，y=-0.5x2，y=一x2中，y=2x2的图象开口最大，y=-x2的图象开口最小；D.不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a丰0）的顶点一定是坐标原点(3)已知点(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)都在函数y=x2的图象上，则正确的是（A.B. 上，则正确的是（A.B. y1<y3<y2y2<y1<y3设计意图：及时训练，可以巩固所学，加深理解。二、探究y=ax2+c（a丰0）图象、性质以及上、下平移在学生会画y=x2+1、y=x2-2的图象后，进行以下活动。将事先做好的“几何画板”文件（如图3、图4）分发给学生，图中点C为图中点C为y轴上的动点，y=x2+C中c的值等于点C的纵坐标。（1）如图3,用鼠标上下移动点C,体会c的值变化时函数y-x2+c图象的变化，与函数y二x2的图象有什么关系你能归纳y=ax2+c（a丰0）的图象和性质吗c的值变化时，图象如何移动你能用简洁的语言归纳出抛物线上、下平移的规律吗发现：c值在变化，图像在左右平移。c值增大，图像移(填上或下)；c值减小，图像移(填上或下)。设计意图：图3、图4主要是让学生体会上下移动点C时函数y=％2+0图象的变化以及与y二X2的关系，解决上下平移问题。运用规律，解决问题：(1)函数y=X2-4的图象与y轴的交点坐标是 ( )A.(2,0)B.(-2,0)C.(0,4)D.(0,-4)(2)抛物线y=-2x2的开口方向，顶点坐标是，对称轴是;(3)函数的y=-2x2-1图象可以由函数y=-2x2+3的图象沿y轴向平移个单位而得到。三、探究y=a(x-h)2(a丰0)图象、性质以及左、右平移在学生会画y=a(x-h)2(a手0)的图象后，进行以下活动。将事先做好的“几何画板”文件（如图5）分发给学生，图中点H为x轴上的动点，y=a（x-h）2（a丰0）中h的值等于点H的横坐标。探究序列：（1）用鼠标左右移动H点，看函数y=（x-h）2图象的变化，与y=X2的图象有什么关系你能归纳y=a（x-h）2（a中0）的图象和性质吗（2）h的值变化时，图象如何移动你能用简洁的语言归纳出抛物线左、右平移的规律吗发现：h值在变化，图像在左右平移。h值增大，图像___移；（填左或右）h值减小，图像移（填左或右）。（3）验证图象的对称性：如图5,在抛物线上任取一点P，过顶点H作x轴的垂线，标记该垂线为镜面，作出点P关于该垂线的对称点P’，有什么发现拖动点P时，它的对称点P’将怎样移动由此你得出什么结论设计意图：图5主要是让学生体会左右移动点H时函数尸（x.h”图象的变化以及与y=X2的关系，解决左右平移问题,及再次验证图象的对称性。运用规律，解决问题：（1）函数y=.（x.2）2的开口方向，顶点坐标是，对称轴是；（2）函数的y=_2（X+4）2图象可以由函数y=-2x2的图象沿X轴向平移个单位而得到。四、探究y=ax2+bx+c（a中0）的图象与系数的关系在学生会画y=ax2+bx+c（a丰0）的图象后，进行以下活动。将事先做好的“几何画板”文件（如图6）分发给学生，图中点A、B、C分为坐标轴轴上的动点，点A、B的横坐标和点C的纵坐标分别对应y=ax2+bx+c（a丰0）中的系数a、b、c。拖动点A、B、C就可改变a、b、c三个参数，从而引起二次函数的形状改变，这样就可以研究变化某一个参数所引起的二次函数图像变化的特点了。=-0.92C==-0.92C=0T4S'X2+b-x+c=27,87探究序列:（1）拖动点A,观察函数y=ax2+bx+c（a中0）图象的变化，体会影响图象开口方向和开口大小的因素是什么归纳a的作用；（2）用鼠标拖动点B，观察图象的变化，发现b的作用是：由对称轴的位置和a的符号决定，对称轴在y轴的左侧时，a和b符号；对称轴在y轴的右侧时，a和b符号。（3）用鼠标拖动点C，观察图象沿怎样的路径运动发现c的作用是：确定抛物线与y轴的交点的位置，交与正半轴则c为（填正或负），交与负半轴，则c为（填正或负）。（4）缺项探究：拖动点A、B、C通过改变a、b、c参数，观察a、b、c中有一个或若干个为0的情况下函数图象形状的改变。探究后完成下表:

10*0，'0=q，o=e'0=0，'0* q'0二elo手。‘’o手q'0二e'0二。‘’0二q'0中 e'0=0，'0手q'0手elo手。‘’0二q'o^e’0手。“0手q'0手e单卦髯图联火髯图猱麦a=0,b=0,,c=0,设计意图：图6中改变a、b、c三个参数，从而引起二次函数y=ax2+bx+c（a中0）的形状改变。分别体会a、b、c的变化带来图像的变化，归纳a、b、c的作用。五、探究y=a（x-h）2+k（a中0）以及图象平移规律可在学生会将一般式y=ax2+bx+c（a丰0）转化为顶点式y=a（x-h）2+k（a丰0）后，进行以下活动。将事先做好的“几何画板”文件（如图7）分发给学生，图中点A、H、K分为x轴上的动点，点A、H、K的横坐标分别对应y=a（x-h）2+k（a中0）中的a、h、k。拖动点A、H、K就可改变a、h、k三个参数，从而引起二次函数的形状改变，这样就可以研究变化某一个参数所引起的二次函数图像变化的特点了。探究序列：（1）拖动点K,观察k的变化和图象移动情况，你有什么发现（2）拖动点H,观察h的变化和图象移动情况，你又有什么发现（3）绘制出顶点（h，k），追踪顶点，慢慢拖动点K、H，观察顶点的运动路径，有什么发现（4）你认为是什么因素决定了图象的上下移动又是什么因素决定了图象的左右移动你能用简洁的语言归纳出抛物线平移的规律吗设计意图：图7中改变k、h两个参数，从而引起二次函数y=a（x-h）2+k（a中0）的形状改变。分别体会k、h的变化带来图像的变化，归纳k、h的作用。运用规律，解决问题：（1）将抛物线丫=1X2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，2所得的抛物线表达式是；（2）将抛物线丫=2x2-4x+3向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得的抛物线表达式是；（3）将抛物线y=2x2-4x+3向平移个单位，再向平移个单位后得抛物线y=2x2-6x+5。六、验证y=ax2+bx+c（a丰0）与X轴的交点情况在学生理解了判断图象与X轴交点情况就是判断方程ax2+bx+c=0（a中0）有无实数根的前提条件即b2-4ac的符号的前提下进行。将事先做好的“几何画板”文件（如图8）分发给学生，图中点A、B、C分为坐标轴轴上的动点，点A、B的横坐标和点C的纵坐标分别对应y=ax2+bx+c（a中0）中的系数a、b、c。通过拖动点C上下移动图象，观察代数式b2-4ac的值改变，同时观察图象与x轴交点情况进行验证。3——3——1.01--b2-4ac=8.69设计意图：验证b2-4ac的符号和图象与X轴交点情况之间关系问题：在平面直角坐标系中，抛物线旷=2x2-4x+3与x轴的交点的个数是（）A.3B.2C.1D.0七、以抛物线为载体的动点问题问题：(2011年山东威海改编)如图9,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-3,0),点B(1,0)，交y轴于点E(0,-3).点C是点A关于点B的对称点，直线y=-x+m过点C,交y轴于点D.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值；对问题(2)用“几何画板”探究如下：(1)如图10,度量出点K的横坐标和线段HG的长；(2)以点K的横坐标和线段HG的长分别作为点M的横坐标和纵坐标，绘制出点M；（3）追踪点M,用鼠标拖动点K,当点K在线段AB上运动时，点M的轨迹图是抛物线的一部分，发现线段HG的长与点K的横坐标存在二次函数关系，且线段HG的长度的最大值就是二次函数图象的顶点的纵坐标的值；（4）由学生讨论完成线段HG长度的最大值的求法（提醒学生注意自变量取值范围）。设计意图：凡动点问题，都可以运用“几何画板”辅助教学活动，引导学生直观感知，再进行探究，感觉学生学得有兴趣，效果也不错。八、拓展探究问题：如图11,点A是抛物线yX2上的动点，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得到点B，在点A运动的过程中，点B是否在某一个函数的图象上运动写出这个函数的解析式如图12,追踪点B，慢慢拖动A点，观察点B移动的路径是一条以x轴为对称轴