2020年中考数学必考34个考点专题24：相似三角形判定与性质含答案

专题24相似三角形判定与性质专题知识回顾相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。三角形相似的判定方法：（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似,可简述为三边对应成比例，两三角形相似。直角三角形相似判定定理：以上各种判定方法均适用定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。专题典型题考法及解析【例题1】（2019・海南省）如图,在RtJABC中,nC=90°,AB=59BC=4.点P是边AC±一动点,过点P作POZ.1B交BC于点0Q为线段P0的中点，当血平分::曲C时，•"的长度为（）8B.匹C.竺D.霆pAA五131313【答案】B.【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.根据勾股定理求出2C,根据角平分线的定义、平行线的性质得到JOBD=rBDO,得到"=0Q,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.lZC=90°,.45=5,5C=4,ZJC=^ab2_bc2=3,ZPOZAB.匚2ABD=LBDO,又二1BDTQBD,rjOBD=ZBDO,匚OB=OD,二QP=2QB,匚POZAB,二二CPOHCAB,_CP=CQ=PQ叩CP_4FB_2QB一CACBAB‘、34594解得，CP=—,15匚AP=CA-CP=—13【例题2］（2019＞四川省凉山州）在二15CQ中，E是上一点，且点E将分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于&则S二aef：S-CBF是【答案】4：25或9：25.【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.分£2）=2：3、ED=3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可.二当PE：ED=2：3时，匚四边形■扮CD是平行四边形，ZADZBC.AEzBC=2：5,匚二AEFjrcBF,匚S-aef：s二CBF=（学）2=4：25；5二当PE：ED=3：2时，同理可得，S二AEF：S二CBF=（2）2=9:25。5【例题3】（2019•湖北省荆门市）如图，为了测屋一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上/处放一面镜子,向后退到万处，恰好在镜子中看到楼的顶部E:再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O.A,B,C,D在同一条直线上），测得2C=2"?,BD=2.1ni,如果小明眼睛距地面髙度府，QG为16小试确定楼的高度OE・DC2A0【答案】楼的高度OE为32米.【解析】设E关于O的对称点为M,由光的反射定律知，延长GC、相交于点连接GF并延长交OE于点H,匚GFZAC.匚二NL1C□匚MFG、

p卩.ACQE__OE、：而二MHFo+OH匸OE+BF二OE二—2■oe+TT=TT,二OE=32GDGD【例题4】(2019年广西梧州市)如图，在矩形脑CQ中,AB=49BC=3、平分ADAC.分别交DC,BC的延长线于点E，F；连接QF,过点2作AH//DF,分别交BD,BF于点G,H.(1)求DE的长：【答案】见解析。【解析】本题考查了矩形的相关证明与计算，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键.(1)由丄D〃CF,AF平分ADAC.可得ZE4C=ZAFC,得出AC=CF=5,可证出心DEsAFC£,则器,CrCE可求出长：:.ZDAF=ZACF.TJF平分ADAC.

:.ZDAF=ZCAF,:.ZE1C=ZAFC.:.AC=CF,\\£3=4,5C=3,AC=V1^B2+BC2=^32+42=5，CF=5,CF=5,•:AD〃CF、:.£\ADEs\FCE,•ADDE■,CFCE设DE=x,则甞f，54-x解得X=|-3•5(2)由'ADGs\HBG、可求出QG,则匹=^,可得EG〃方C,则Z1=ZAHC.根据DF//AH.可得ZDGDBAHC=ZDFC,结论得证.•:AD〃FH、AF〃DH、・•・四边形4DFH是平行四边形，:・AD=FH=3、:.CH=2,BH=5,:.AJDGs△旳G,DGADDG_3•©DG诂:・:・DG=151"3VD£=—2•DE二DC_4:.EG//BC,AZ1=ZAHC,

又•:DF〃AH、:.ZAHC=ZDFC.Z1=ZDFC・【例题5】(2019年湖南省张家界市)如图，在平行四边形-炉CD中，连接对角线2C,延长-妨至点E,使BE=」B,连接DE,分别交BC,AC交于点F,G.求证：BF=CF；若BC=6.DG=4,求FG的长.E尸E尸【答案】见解析。【解析】根据平行四边形的性质得至iAD//CD,,1D=BC.得到△EBFs&AD,根据相似三角形的性质证明即可；根据相似三角形的性质列式计算即可.(1)证明：•・•四边形■妨CD是平行四边形，:.AD//CD,AD=BC,:.HEBFs厶EAD,.BF_EB_1ADEA2:ADEA2:.BF=—AD=丄〃C,2:・BF=CF；(2)•・•四边形-妨CD是平行四边形,:.ADHCD、:.\FGCs\DGA、・・・匹=匹，即匹=丄，DGAD42解得，FG=2.专题典型训练题一、选择题（2019年广西玉林市）如图,AB//EF//DC,.1D//BC,EF与AC交于点G,则是相似三角形共有（）ABA・3对*B・5对C・6D・寸【答案】c【解析】图中三角形有：△AEG,Z^WC,CFG,ACBJ,W4B//EF//DC,AD//BC:.HEGs£\ADCsCFGs△CBA共有6个组合分别为::・HAEGs/\adc,/\AEGsCFG,'AEGs\CBA、5ADCSCFG,l\ADCs\CBA,CFGs\CBA（2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是ZL15C边33,AC1.的点，ZADE=ZACB,若AD=2,AB=6,JC=4,则.IE的长是（）A・1B・2C・3D・4【答案】c【解析】证明HADESMCB,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即口I.VZ.1DE=ZACB,ZA=ZA,:.£\ADEs/\ACB,・_AD___AE_即2_AEAC_AB7一"'解得,AE=3（2019-r西贺州）如图，在匚曲C中，D,E分别是AB,AC边上的点，DE二BC,若.£D=2,.13=3,DE=4,则BC等于（）AA・5B・6C・7D・8【答案】B【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键.由平行线得岀二IDE二二ABC,得出对应边成比例坐=匹，即可得出结果・ABBCLDEZBC.二二ADEH二ABC,二辿=匹"AB_BC'即2=丄BC解得：BC=6（2019•广西贵港）如图，在/\ABC中，点DE分别在J5,AC边上，DE//BC,ZACD=ZB.若AD=2BD,BC=6,则线段CD的长为（）A・2^3B・3^2C・2a/6D・5【答案】c.【解析】设.£0=2乳，所以曲=3x,易证“ADEsNiBC,利用相似三角形的性质可求出DE的长度，以及学工，再证明△JDEs/ucd利用相似三角形的性质即可求出得出雲書=舉，从而可求出CDAC3ACADCD的长度.设3=2x,BD=x,：•AB—3x9^DE//BC,:.£\ADEs£\ABC,<DE^AD_AE…玩访AC.DE_2x63xAD£=4,AE=2AC•:zacd=zb9ZADE=ZB,\ZADE=ZACD,•*Z2=ZAf•-AJDEsAjcD,・AD_AE_DE•疋苛—而’殳JE=2y,AC=3y9・・坐=空，3yAD

••AD=\f^y$・.2y_4,*Veycd'••CD=2品5.（2019＜5.（2019＜龙江哈尔滨）如图，在旦15CQ中,点E在对角线BD上，EM〃AD、交AB于点M.EN//AB.交AD于点N,则下列式子一定正确的是（BC=BEME_BDBD=BCBEBC=BEME_BDBD=BCBE_EM'BMDE'ABAD【答案】D・【解析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质.T在^IBCD中，EM//AD•••易证四边形,3/EN为平行四边形:.易证\BEMsHBQs'ENDA项错误AW=NDAB_ADB项错误BC=AD=BDMEMEBEc项错误BD=AC=BCBE-ME_NED项正确。6.（2019・江苏苏州）如图，在WABC中，点£>为BC边上的一点，RAD=AB=2,A£>丄AB,过点D作DE丄A£>,DE交AC于点E,若DE=1,则VABC的面积为（）A.4忑A.4忑B.4C.2>/5D.8【答案】B【解析】考察相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，中等题型..AB丄AP,DE丄.•.ZBAD=ZADE=90":.AB//DE易证VCDE:VCBADCDE1"~BC=~BA=2即一=1BD+DC2由题得=.■-解得DC=2^2VABC的高易得：V2/.SVABC=-|xBCx^/2=-|x4>/2Xa/2=47.（2019山东枣庄）如图，将/\ABC沿_5C边上的中线-ID平移到B'C'的位置.已知△-妨C的面积为16,阴影部分三角形的面积9.若曲'=1,则』D等于（）AB'

AB'A・2B・3C・42A・2B・3C・42【答案】B【解析】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点.TOC\o"1-5"\h\z101由S.sc=16.Suef=9且为占C边的中线知Sade=±Smef=W，S,urd=¥s.ubc=8,根据Z\D护222EsHDAB知（W）2=f皿,据此求解可得.血SAABD•••S・MC=16.Suef=9,且为BC边的中线，191:・SmDE=—S^EF=~fS/ABD=~S/ABC=8,222•・•将£\ABC沿BC边上的中线*Q平移得到ZU0U,:.AfE//AB.2=弘"盹2=弘"盹,即（型卫,^AABDAD+l22_T=9解得』Z>=3或/D=-y（舍）。8.（2019四川巴中）如图gL£5CD,F为BC中点，延长,9至E,使DE：,3=1：3,连结EF交DC于点G,则S^DEG则S^DEG：S\CFG=（）【答案】D・【解析】先设出DE=x,进而得出AD=3x,再用平行四边形的性质得岀BC=3x,进而求出CF,最后用相似三角形的性质即可得出结论.设DE=x,•:DE：-W=l：3,•'•JZ）=3x,V四边形23CD是平行四边形,••AD//BC、BC=AD=3x9•••点F是3C的中点，13:.CF=—BC=—x,22•:ADHBC、:.\DEGs'CFG、二SqEG_（DE）2=（亠）2=1'△CFGCF—x929.（2019年四川省遂宁市）如图，四边形是边长为1的正方形，HBPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点刃，连接BD交PC于点0,下列结论：©Z5PD=135°；②'BDPs'HDB；@DO：BO=1：2：®S...^z）p=V3.A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D.【解析】由等边三角形及正方形的性质求出ZCPD=ZCDP=75°、ZPCB=ZCPB=6Q<,,从而判断①；证ZDBP=ZDPB=1350可判断②：作少丄CQ,设"=DE=x,则0Z>=竝v,CQ=2QE=2x,CE=\[^x,由CE+DE=CZ）求出x,从而求得DO.30的长，据此可判断③，证nP=DQ="W2,根据Smqp=£—BD*PDsmZBDP求解町判断④.2VAP5C是等边三角形，四边形ABCD是正方形，AZPCB=ZCPB=6O0,ZPCD=30°,BC=PC=CD、:.ZCPD=ZCDP=750,则ZBPD=ZBPC+ZCPD=135<>,故①正确：•:乙CBD=ZCDB=45°,AZDBP=ZDPB=135<>,又TZPDB=ZBDH.:.'BDPs'HDB、故②正确；如图，过点0作少丄CD于民D设QE=DE=x,贝ljOD=\[^c.CO=2OE=2x9：•CE=\（~^x,FhCE+DE=CD知A+Vsx=1,解得:.QD=d^^,2•:BD=昭、:.BQ=BD-DO=\[2.-亜22则陀陀=件2洱迢工1：2,故③错误；VZCDP=75°,ZCDO=450,AZPDO=30",又VZCPD=75°,AZDPO=ZDOP=15<>,:.DP=DO』W,・2・•・s凹DP=LbD•PDsmZBDP=—X近X宀'丁乙X—=工士丄，故④正确。22t224二、填空题10.（2019*浙江宁波）如图所示，RtZABC中，匚C=90。，2C=12,点Q在边BC上，CD=5、BD=13•点P是线段上一动点，当半径为6的HP与匸4BC的一边相切时,AP的长为・CD【答案】6.5或3届.【解析】匚在RtJABC中，lC=90°,JC=12,BD+CD=1S,-AB=7122+182=&'在RtZ.lDC中，lC=90°,JC=12,CD=5.-AD=7x\C2+CD2=13'当rp于万C相切时，点P到BC的距离=6,过P作PHZBC于H,则PH=6、lZC=90°,匸AC二BC,匚PH二AC,匚二DPH二二DAC,_PD_PH~DA^AC，-ED=_6_"I?IT二PD=6.5,ZJP=6.5：当匚P于曲相切时，点P到血的距离=6,过P作PGZAB于G,则PG=6、匚3=30=13,匚二PAG=ZB.匚二JGP=0C=90°,匚二AGPJLBCA,_AP_PG~AB^AC，二AP_6V1312frjp=3A/13，二CD=5V6,匚半径为6的二P不与匸ABC的AC边相切，综上所述，-妒的长为6.5或3伍，故答案为：6.5或3届.AB

11.2019黑龙江省龙东地区）一张直角三角形纸片-妨C,ZACB=9Q°tAB=10,AC=6,点Q为3C边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边血上的点E处，当是直角三角形时，则CD的长为.【答案】3或兰.7【解析】在ABDE中，ZB是锐角，.••有两种可能，ZDEB或ZEDB是直角，由此画出示意图，逐步求解即可.如图1,ZDEB是直角时，VZJCB=90°,AB=10,AC=6,匚BC=_6,=8,设CD=x,贝ljBD=8-x,由折叠ArDE6v知CD=ED=x,VZJC5=lDEB=90°,DABED-aBCA,a—=——,即一=,解得x=3;ABDB108-x如图2,ZEDB是直角时，ED/7AC,AABED-ABAC,—=—卩？=_、_,解得X=—,综上，CD的CBDB88-x7长为3或兰.7图1图212.（2019*山东泰安）如图，矩形ABCD中，-妨=3麻，BC=12,E为2D中点，F为AB±一点，将二遊沿EF折叠后，点2恰好落到CF上的点G处，则折痕防的长是・【答案】2^15.【答案】2^15.【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE,构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果.连接EC,利用矩形的性质，求出EGQE的长度，证明EC平分二DC&再证JF£C=9O°,最后证匚FECHEDC,利用相似的性质即可求出EF的长度.如图，连接EC,匚四边形.扮CD为矩形，LZJ=rp=90°,方C=JZ）=12,DC=AB=3屆匚E为.10中点，匚AE=DE=—.1D=62由翻折知，匸AEF二二GEF,匚且E=GE=6,二AEF=DGEF,匚EGF=匚EAF=90°=uD9匸GE=DE,匚EC平分二DCG、匚二DCEYGCE,二二GEC=90。-匸GCE,匸DEC=90。-二DCE,匚二GEC=LDEC,匚二FEC=LFEG^ZGEC=—x180°=90°,2匚二FEC=lD=90°,又二二DCEYGCE,匚二FECHEDC,FEEC=£C=7dE2+DC2=（62+（琳）2=3负’-FEJ3VI5=W,匚皿=2宀!^13.（2019江苏常州）如图，在矩形曲CQ中,.4D=3AB=3•点P是的中点，点E在BC上，CE=2方£\点M、N在线段血上・若△PMN是等腰三角形且底角与ZDEC相等，则MN=【答案】6.【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点・首先由勾股定理，求得BD=10，然后由“,0=3.45=3価•点P是的中点，点E在BC±,CE=2BEJ±,CE=2BEJ込2皿这样由论应=｝第四步过点P作啓丄妙于点H在血上依次取点M、M使A刃于是因此△PMN是所求符合条件的图形；第五步由厶DPHs沁,得巴=巴DPHs沁,得巴=巴BABD得叱于是MN=4PH=6、本题答案为6・14.（2019*山东省滨州市）如图，吐15CQ的对角线JC,BD交于点、O,CE平分ZBCD交于点E,交ED于点F,且ZABC=6O0,AB=2BC,连接OE.V列结论：①EO丄2C：②SuoD=4SgCF;@AC：BD=\f?A：（填写所有正确结论的序号）【答案】①③®）（填写所有正确结论的序号）【答案】①③®）・【解析】本题考查，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于填空题中的压轴题.正确・只要证明EC=EA=BC,推出ZACB=9O0,再利用三角形中位线定理即可判断.错误・想办法证明2OF,推出S^oc=3S.OCF即可判断.正确.设BC=BE=EC=a,求出2C,BD即可判断.正确.求出万F,OF、QF（用a表示），通过计算证明即可.•・•四边形"CQ是平行四边形，:.CD//AB.OD=OB、OA=OC.:.ZDCB+ZABC=1SO°,VZ.4BC=6O0,AZDCB=12O0,TEC平分ZQCBAZECB=丄ZDCB=60^,2:•ZEBC=ZBCE=ZCEB=6L,/.aecb是等边三角形，:・EB=BC、•:AB=2BC,：•EA=EB=EC$:.ZACB=90",VOA=OC,EA=EB.：.OE//BC,:.ZAOE=ZACB=9O0,:.EOLAC,故①正确，•：OEHBC、:・\OEFs\BCF.•坐=匹=丄**BC_FB__2*：.OF=—OB,3：•smod=S/J30C=3Sa（9CF»故②错误>设BC=BE=EC=a,贝'JJB=2n,AC=\[3a,02）=03=（缶（寻韵二目⑴:・BD=5a、^AC：BD=^i：V7rz=V21：7,故③正确，•••0尸=丄0〃=土4,36：・BF2=OF・DF,故④正确,故答案为①③④.15.（2019四川泸州）如图，在等腰RtAJBC中，ZC=90°,AC=15，点E在边CB上，CE=2EB,【答案】9^2【解析】过D作M丄于H.T在等腰中，ZC=90：＞,AC=159••AC—BC=15,AZGW=45°,:・AH=DH,:.CH=\5-DH.•••CF丄丑；AADHA=ZDFA=9^,:.ZHAF=ZHDF,:.MCEs^DHC,DHCH•=tACCE•:CE=2EB,AC£=10,DH15-DW••♦1510:・dh=9、:・AD=9屈三、解答题16.（2019>四川省凉山州）如图，二⑹）=C5CQ=90。，D5平分二1DC,过点〃作BMZCD交dZ）于连接CM交DB于N.（1）求证：BD?=AD・CD；（2）若CD=6.-W=8>求的长.【答案】见解析。【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求A化的长度是本题的关键.证明：（1）通过证明ZABDUUBCD.可得単票，可得结论：BDCD匸DB平分二1DC.匸二ADBTCDB,且二ABD=JBCD=90Q.匚二ABDJLBCD_AD__gD_而方匚B0=AD・CD（2）由平行线的性质可证二MBD=uBDC,即可证AM=MD=MB=4,由血2=JZ>・CZ）和勾股定理可求MC的长，通过证明匚血VBDDCND,可得—即可求的长.匚CDCN3二二MBD=：BDC

匚JADB=LMBD9且二⑹）=90。匸二胚43=匚MBA匚BM=MD=.1M=4匚B0=AD・CD、且CD=6,.10=8,匚BD2=4S,ZBC1=BD1-CD2=12匚=2S匸MC=2帖型型二2二BMZCD二二MNB二二CND且MC=2^7型型二2（2019・山东泰安）在矩形曲CQ中,AE二BD于点E,点P是边AD上一点.（1）若平分二3D，交-花于点G,PF二BD于点F,如图：j,证明四边形AGFP是菱形;（2）若PE3EC.如图1求证:AETB=DETP；【答案】见解析。【解析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型・（1）想办法证明AG=PF,AG匸PF,推出四边形AGFP是平行四边形，再证明PA=PF即可解决问题.证明：如图二中，二四边形脑CQ是矩形，2JBAD=90Q,二AE二ED,22AED=90%2JBAE+ZEAD=90Q.匚E9+二1DE=9O。，XBAE==ADE,JJAGP=SPD=1ADE+匸PBD,ZABG=LPBD.2JAGP=ZAPG,ZAP=AG.二曲二AB,PF匸BD,BP平分DABD,ZPA=PF.二PF=AG,二AE二ED,PF二BD,二PF二AG,二四边形AGFP是平行四边形，ZPA=PF.二四边形AGFP是菱形.（2）证明二AEP3UDEC.可得举=器，由此即可解决问题.DEDC

二4E二BD,PE二EC,ZJ£D=lP£C=90°,3ZAEP=LDEC,ZKW+Z.W£=90%Z.1DE+2CDE=9OQ,二二EAPYEDC,3ZAEP3UDEC._AE=AP"DE_DC'二AB=CD.二AE・4B=DE・AP；利用(2)中结论.求出DE,2E即可.解：二四边形-15CD是矩形，匚BC=AD=2,匚BAD=92,二BD=q壮2十血2=屆,二AE二BD,匚Szabd=—^D^1E=—-AB^-1D>■2i2二_AE・4B=DE・二_AE・4B=DE・AP；(2019安徽)如图，RtZABC中，ZACB=90°.AC=BC,P为二ABC内部一点，且二诚=匚BPC=135°.求证：ZRlBJuPBC；求证：R4=2PC；（3）若点P到三角形的边曲,BC,Cd的距离分别为Imhyh3,求证加2=加•居.【答案】见解析。【解析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出匚EAPYPCD是解本题的关键.nrjCB=90°,AB=BC,匚JABC=45