与球有关的高考试题

2016年高考数学微专题：与球体有关的问题一、高考趋势分析：立体几何章节在传统的高考中分值占22分左右，以两小一大的形式出现较多。与球相关的问题也时有考题出现，现针对近年高考考题形式总结如下，也是每年高考热点，每年高考中主要考查选择、填空题目、解答题。二、基础知识点拨：1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径．2．正方体的内切球其棱长为球的直径．3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线．4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1.方法主要是“补体”和“找球心”考试核心：性质的应用d2—OO2—R2—r2，构造直角三角形建立三者之间的1关系。三、高考试题精练（2015高考新课标2,理9）已知A,B是球。的球面上两点，NAOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球。的表面积为（）A.36nB.64nC.144nD.256n【答案】C【解析】如图所示，当点二位于垂直于面后口片的直径端点时，三棱雄的体积最大，设球。的半径为五，此时匚n.二厂厂二二工/1在：工五二二五二二36,故况=6,则球。的表面积为m*■'afi'ta,-二I-।-y 65二工江】二口」下，故选匚【考点定位】外接球表面积和椎体的体积.（2015•辽宁高考）已知直三棱柱ABC”尸£的6个顶点都在球O的

球面上，若人8=3,AC=4,AB±AC,AA1=12,则球O的半径为（ ）A.等B.2,；W13C球面上，若人8=3,AC=4,AB±AC,AA1=12,则球O的半径为（ ）A.等B.2,；W13C.2D.3产解析：选C如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为8。的中点凶.15 1又AM=-BC=-,OM=kAA=6,所以球。的半径R=OA=2 2 21「5112J一13

2+62--2.3.（2016•长春模拟）若一个正四面体的表面积为S1其内切球的表面S积为S,则s1=2解析：设正四面体棱长为a,则正四面体表面积为S1=4•乎・a2=q31122,其内切球半径为正四面体高的4，即r=[・*a,因此内切球表na2面积为S2=4nr2=-6—则gonn2 ——a?6答案：空n4.四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2y2则该球的表面积为（ ）A.9nB.3nD.12nC.2\/2nD.12n解析：选D该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为2、；2可知正方形ABCD对角线AC的长为2%：2可得2=2,在APAC中PC=、⑵+?2\；,2?2=2\/3,球的半径区=、.二.S表=4nR2=4nX四、典型例题精析类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（两题互换条件形成不同的题）1.15.如图球。的半径为2,圆o是一小圆，OO-2，A、B是圆o上两1 1 1点，若A,B两点间的球面距离为生，则/AOB= .（2015年理3 1 科）如图球。的半径为2,圆o是一小圆，OO=«2，A、B是圆o上两1 1 1点，若/AOB=上，则A,B两点间的球面距离为 （2014年文1 2 科）类型二：球内接多面体,利用圆内接多边形的性质求出小圆半径,通常用到余弦定理求余弦值,通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径二=2丫，从而解决问题。sinC3.15.直三棱柱ABC-ABC的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,/BAC=120。，则此球的表面积等于。（2014年理科）析：欲求球的表面积，归根结底求球半径R，与R相关的是重要性质R2=r2+d2。,AA=2, ••d=OO=OO=—AA=1。1 1 221现将问题转化到。O2的半径之上。因为4ABC是。02的内接三角形，又知AB=AC=2,NBAC=120°,三角形可解。由余弦定理有BC=ABB2+AC2-2AB-AC-cosZBAC=<4+4+4=2、；3，由正弦定理有一BC一=2rnr=_BC一=2sinZBAC 2sinZBAC••R2=r2+d2=4+1=5.••S=4兀R2=20K。4.14.正三棱柱ABC-A1B1cl内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为兀，则正三棱柱的体积为」_.(2013年理科)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点，AB="3,zASC=zBSC=30。，则棱锥S—ABC的体积为—J(2014年理科)A.3<3 B.2<3 C.无 D.16.(11)已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA1平面ABC，AB±BC，SA=AB=1，BC=v2，则球O表面积等于A(2015年文科)(A)4K (B)3K (C)2K (D)K类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。7.15.设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于生，则球O的表面积等4于.(2015年文科)析：问题的解决根本一一求球半径R=OB。TOC\o"1-5"\h\z与R相关的重要性质R2=r2+d2中，r2可求(:，『2.江:•3)r—4 r—4问题转化到求d=OC上充分运用题目中未用的条件，OM=R，/OMC=45°，.,・d=旦2 222于是R2=7+期求得R2=2，•7S=4兀R2=8兀4 8

.（11）已知平面。截一球面得圆M,过圆心M且与。成二面角的平面8截该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4兀，则圆N的面积为“（2014年理科）（A）7兀（B）9兀 （C）11兀 （D）13冗.（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬600纬线长和赤道长的比值为C（2015文科）（A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。.13.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是4cm.（2010年理科）.16．长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点均在同一个球面上， AB=AA1=1，BC五，则a，b两点间的球面距离为 2 .（2015年文科）312.14.体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于4丁务_.（2009年文科）13.16.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的』，则这两个圆锥中，体积较小者的16高与体积较大者的高的比值为___1/3 .（2015年文科）14.15.如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是—2兀R2.类型五：平面几何性质在球中的综合应用。15.(16)已知球O的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4.若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=.(2015年理科)析：由OM=ON知，。M与。No为等圆，根据球中的重要性质，r2=R2-d2=16-9=7又MHLAB得H为AB中点，・・・BH=AH=2，mh=NH=J2-BH2=吞VZOMH=ZONH=90°AZMON=n-ZMHN由余弦定理有MN2=OM2+ON2-2OM•ON•cosZMON /，一一声、MN2=MH2+NH2—2MH・NH・cos(n—ZMON)/；•二O：-T，~~/解得cosZMON=1,即ZMON二上 / "M^D^/2 3 g -・•・三角形OMN为等边三角形， ・・・MN=3.类型六：性质的简单应用。.(15)已知oa为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3兀，则球O的表面积等于16n.(2009年文科).(15)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6,BC=2<3,则棱锥O-ABCD的体积为24。(2011年理科).(9)高为巨的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、4B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为C(2011年理科)(A)三 (B)三 (C)1 (D)①五、模拟4试题精练 2

1.（2015高考新课标2,理9）已知A,B是球O的球面上两点，NAOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为（ ）A.36nB.64nC.144nD.256n【答案】C2.（2015•辽宁高考）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球。的球面上，若AB=3,AC=4,AB±AC,AA1=12,则球。的半径为（ ）A.宇13C.~2~2答案：选C3.（2016•长春模拟）若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则答案：6?n4.四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E,F分别是棱AB,CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2、j2,则该球的表面积为（）A.9n B.3nC.2\/2n D.12n答案：选D.TOC\o"1-5"\h\z.如图所示，已知E,F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1口 /的棱A1A,CC1的中点，则四棱锥C1-B1EDF的体积为. ;汗/二：答案⑴落 卜二'“J一二二二D A.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，4ABC是