不等式讲义知识点详解+例题+习题含详细答案

不等式讲义最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)1a+bKIal+lb1(a,b£R).(2)1a—bKIa—cl+lc—b1(a,b£R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：Iax+bKc,Iax+bI三c,Ix—cl+lx—bINa.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明4通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.基础知识回顾 梳理识记自测JICHUZHISHIHUIGU知於梳理L.含有绝对值的不等式的解法(1)fx)l>a(a>0)o.f(x)>a或f(x)<一a；(2)fx)l<a(a>0)o—a<f(x)<a；(3)对形如Ix—al+lx—bKc,Ix—al+lx—bI三c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解..含有绝对值的不等式的性质Ial—IblKIa±bKIal+lbI.问题探究:不等式IaI—IbIKIa±bKIal+lbI中，“=”成立的条件分别是什么？提示：不等式IaI—IbKIa+bKIal+lbI,右侧“="成立的条件是ab三0,左侧“=”成立的条件是abK0XIIaINIbI;不等式Ial—lbKIa—bKIal+lbl,右侧”=”成立的条件是abK0,左侧“=”成立的条件是abN0且lalNIbI..基本不等式定理1：设a,b£R，则a2+b2N2ab.当且仅当a=b时，等号成立.定理2：如果a、b为正数，则孚N、：a，当且仅当a^L时，等号成立.定理3：如果a、b、c为正数，则“+3+'N3Jabc,当且仅当a=b=c时，等号成立.

定理4：(一般形式的算术一几何平均值不等式)如果〃1、〃2、…、an为n个正数，则% -土巴三naa…a，当且仅当a=a=•一=a时，等号成立.n 112n 1-2 n.柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a,b，c,d为实数，则(a2+b2)-(c2+d2)三公+bd)2，当且仅当ad=bc时等号成立.⑵若a.,bi(i£N*)为实数，顺Ea2)(£坪)三(Eaibi)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…，i=1 i=1 i=1n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1,2，…，n)时，等号成立.(3)柯西不等式的向量形式：设a，,为平面上的两个向量，则lal・lpINI。阴，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立..判断正误(在括号内打“J”或“X”)TOC\o"1-5"\h\z(1)对Ia+bINIal—Ibl当且仅当a>b>0时等号成立.( )(2)对Ia—bKIal+lbl当且仅当ab<0时等号成立.( )(3)lax+bIKc(c>0)的解等价于一cKax+bKc.( )⑷不等式Ix—1I+Ix+2I<2的解集为0.()⑸若实数x、y适合不等式xy>1，x+y>—2，则x>0，y>0.( )［答案］(1)X(2)J(3)J(4)J(5)J.不等式I2x—1I—x<1的解集是()A.{xI0<x<2} B.{xI1<x<2}C.{xI0<x<1} D.{xI1<x<3}［解析］解法一：x=1时，满足不等关系，排除C、D、B,故选A.解法二:x—解法二:x—1,人〃 <令fx尸、1—3x,1

x<2,贝If(x)<1的解集为{xI0<x<2}.［答案］A3.设al<1，lbl<1，则Ia+bl+la—b与2的大小关系是()A.Ia+bl+la一bl>2 B.Ia+bl+la一bl<2C.la+bl+la—bl=2 D.不能比较大小［解析］la+bl+la—blWl2al<2.［答案］B4.若a,b,c£(0,+8),且a+b+c=1,则\:a+\；b+%：c的最大值为( )A.1 B.\:12C.v,3 D.2［解析］(\a++\i'b+\'c)2=(1X”,a+1X\i'b+1X\'c)2W(12+12+12)(a+b+c)=3.当且仅当a=b=c=3时，等号成立.，(■■.a++bb++c>w3.故-弋a+Jb+---.Jc的最大值为七13.故应选C.［答案］C5.若存在实数x使反—al+lx—1lW3成立，则实数a的取值范围是.［解析］利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3,所以a的取值范围为一2WaW4.［答案］—2WaW4考点互动探究 剖析互动突破KAODIANHUDONGTANJIU考点一含绝对值的不等式的解法解［x—al+lx—blNc(或wc)型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根.(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间.(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集.(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集.解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号.(1)(2015-山东卷)不等式Ix-11-1x—51<2的解集是( )(—8,(—8,4)(—8,1)C.(1,4)51C.(1,4)51(2)(2014.湖南卷)若关于x的不等式Iax—2I<3的解集为卜［解题指导］切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论.［解析］(1)当x<1时，不等式可化为一(x—1)+(x-5)<2,即一4<2,显然成立，所以此时不等式的解集为(一8,1)；当1WxW5时，不等式可化为x—1+(x—5)<2,即2x—6<2,解得x<4,又1WxW5,所以此时不等式的解集为［1,4)；当x>5时，不等式可化为(x—1)—(x—5)<2,即4<2,显然不成立，所以此时不等式无解.综上，不等式的解集为(一8,4).故选A.(2)VIax—2I<3,，一1<ax<5.当a>0时，一：<x<5,与已知条件不符；aa当a=0时，x£R，与已知条件不符；当a<0时，-<x<—\又不等式的解集为［x—<<x<!!，故a=—3.aa 3 3［答案］(1)A⑵—3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号;⑶分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.匚】对点训练已知函数f(x)=1x+al+lx-21.(1)当a=-3时，求不等式fx)三3的解集；(2)若f(x)<lx-4l的解集包含［1,2］,求a的取值范围.—2x+5,xW2,［解］(1)当a=-3时，f(x)=j1,2<x<3,^2x-5,x三3.当x<2时，由f(x)三3得一2x+5三3,解得x<1；当2<x<3时，f(x)三3无解；当x三3时，由f(x)三3得2x一5三3,解得x三4；所以f(x)三3的解集为{xlx<1或x三4}.(2)f(x)<lx-4lolx-4l-lx-2l三lx+al.当x£［1,2］时，lx-4l-lx-2l三lx+al04—x—(2—x)Nlx+a©—2—a<x<2—a.由条件得一2—a<1且2—a三2,即一3<a<0.故满足条件的a的取值范围为［—3,0］.考点二利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如lx—al+lx—bl>c或1x—al+lx—bl<c的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性.lx—al+lx—bl的几何意义是数轴上表示x的点与点a和点b的距离之和，应注意x的系数为1.(1)(2014・重庆卷)若不等式lx—1l+lx+2l三a2+2a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是.(2)不等式lx+1l—lx—2l>k的解集为R，则实数k的取值范围是.［解题指导］切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题.［解析］(1)VI.x—11+1x+21三1(1-1)-(x—2)1=3,.・.a2+24+2W3,解得^^WaW-^^.即实数a的取值范围是(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x,-1,2在数轴上对应的点分别为P,A,B,则原不等式等价于PA-PB>k恒成立.;AB=3,即Ix+1I-Ix-2I三-3.故当k<-3时，原不等式恒成立.解法二：令y=Ix+1I-1x-2I,—3,xW—1,贝I1y=2x—1,—1<x<2,〔3,x三2,要使Ix+1I-Ix-2I>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<-3即可.故k<-3满足题意.［答案］(1)-1-近TjE (2)(-8,-3)解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立oa>f(x)max,f(x)>a恒成立oa<f(x)mhf匚】对点训练(2015-唐山一模)已知函数f(x)=I2x—aI+a,a£R,g(x)=I2x—1I.(1)若当g(x)W5时，恒有f(x)W6,求a的最大值；⑵若当x£R时，恒有f(x)+g(x)三3,求a的取值范围.［解］(1)g(x)W5oI2x—1IW5O-5W2x—1W5O-2WxW3；f(x)W6oI2x—aIW6—aoa—6W2x—aW6—aoa—3WxW3.依题意有，a—3W—2,aW1.故a的最大值为1.(2fx)+g(x)=12x—al+12x—11+a三12x—a—2x+11+a=1a—11+a,当且仅当(2x—a)(2x—1)W0时等号成立.解不等式la—1l+a三3,得a的取值范围是［2,+8).考点三不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径.应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件.(2015・新课标全国卷H)设a,b,c,d均为正数，且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd，则［a+\；'b>、Jc+、jd；(2)\:a+\:b>\:c+\；d是la—bl<lc—dl的充要条件.［解题指导］切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形.［证明］(1)因为(\:a+\:b)2=a+b+2，jab,(、jc+、jd)2=c+d+2，jcd,由题设a+b=c+d,ab>cd得(\:a+\:b)2>(\:c+"d)2.因此，\；a+1■,jb>\：c+\'d.(2)①若la—bl<lc—dl,则(a—b)2<(c—d)2,即(a+b)2—4ab<(c+d)2—4cd.因为a+b=c+d，所以ab>cd.由(1)得\:a+\；b>\:c+-'-dd.②若飞a++■■-.沙>\：c+\"d，则(\；a+\他)2>(\：c+''■..yd)2,即a+b+2\；ab>c+d+2\；cd.因为a+b=c+d，所以ab>cd.于是(a—b)2=(a+b)2—4ab<(c+d)2—4cd=(c—d)2.因此仃一bl<lc—dl.综上，,；a+、jb>\:c+\"d是la—bl<lc—dl的充要条件.氐］图丽陶置

分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．匚】对点训练(2014.新课标全国卷H)设a、b、c均为正数，且a+b+c=1.证明：1⑴ab+bc+acW3；a2a2⑵b4三1.［证明］(1)由a2+b2三2ab,b2+c2三2bc,c2+a2三2ca得a2+b2+c2三ab+bc＋ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca—1.所以3(ab+bc+ca)W1,即ab+bc+caW；.(2)因为b+b三2a,c+c三2b,/+a三2c,a2b2c2故b++~--+a+(a+b+c)三2(a+b+c),a2b2c2即a+b+a三a+b+c.a2b2c2所咛+b+E.———————方法规律总结————————［方法技巧］1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．［易错点睛］1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．课时跟踪训练(七十)一、填空题.不等式以一11<3的解集为.［解析］12%—llv3o—3v2%—lv3o—lvxv2.［答案］(-1,2).若不等式依一4W2的解集为{xllW},则实数—.［解析］•.•bbc—4IW2,...—2W区—4W2,:S6.•.•不等式的解集为{H1WxW3},:.k=2.［答案］23.不等式I2x+ll+lx—11<2的解集为.［解析］当xW—J时，原不等式等价为一(2x+1)—(%—1)<2,即一3xv2,x>2 2 11—y此时一铲xW—1当—2<v<l时,原不等式等价为(2%+1)—(%—l)v2,即x<0,1 2此时一］<x<0.当xNl时，原不等式等价为(2x+1)+。-1)<2,即3x<2,x<^,此时不等式无解，综上，原不等式的解为一|<x<0,即原不等式的解集为［—最［答案］U0)已知关于x的不等式lx—11+bdWk无解，则实数k的取值范围是*［解析］...反一ll+lxim］—1—%1=1,•,•当k<l时,不等式反一11+LdW上无解，故k<l.［答案］(一8,1)(2015・西安统考)若关于实数x的不等式lx—5l+lx+3lva无解，则实数。的取值范围是.［解析］lx-5l+lx+3l^l(x-5)-(x+3)l=8,故aW8.［答案］(—8,8］(2015-重庆卷)若函数f(x)=Ix+11+21x—al的最小值为5，则实数a=［解析］当a=—1时，f(x)=3Ix+1I三0,不满足题意；当a<—1时，f(x)=—3x—1+2a,xWa,<x—1—2a,a<xW—1, f(x)min=f(a)=—3a—1+2a=5,解得a=—6；当a>3x+1—2a,x>一1,—3x—1+2a,xW—1,—1时，f(x)=<—x+1+2a,—1<xWa, f(x)min=f(a)=—a+1+2a=5,解得a3x+1—2ax>a=4.［答案］—6或47.若关于x的不等式laimx+1I+Ix—2I存在实数解，则实数a的取值范围是［解析］f(x)=Ix+1I+Ix—2I=—2x+1(xW—1),<3 (—1<x<2),12x—1(x三2),f(x)三3.要使IaI^Ix+1I+Ix—2I有解，/.IaI三3,即aW—3或a三3.［答案］(—8,—3］U［3,+8)8.已知关于x的不等式Ix—aI+1—x>0的解集为R,则实数a的取值范围是.［解析］若x—1<0,则a£R；若x—1三0,贝U(x—a)2>(x—1)2对任意的x£［1,+8)恒成立，即(a—1)［(a+1)—2x］>0对任意的x£［1,+8)恒成立，所以［a—1>0, ［a—1<0,I「c (舍去)或:「c 对任意的x£［1,+8］恒成立，解得a<1.综上,［a+1>2x, ［a+1<2x,a<1.［答案］(—81)2229.设a,b,c是正实数，且a+b+c=9,则^+楙+f的最小值为.［解析］•・・(〃+b+c)||+|+2)=［(%:=［(%:a)2+(,I))2+(飞cc)2］2/团〕|J2+cJ2J-2=18c)222 222-e—a+1+c三2，'a+1+c的最小值为2.［答案］2(2014-陕西卷)设a,b,m,n£R,且a2+b2=5,ma+nb=5,贝U\；'m2+n2的最小值为.［解析］由柯西不等式，得(a2+b2)(m2+n2)三(am+bn)2,即5(m2+n2)三25,...m2+n2三5,当且仅当an=bm时，等号成立....飞,m2+n2的最小值为七15.［答案］本.对任意x,y£R,Ix一11+1x1+1y一11+1y+11的最小值为.［解析］♦Ix—1I+IxI+IIy—1I+Iy+1I=(I1-xI+IxI)+(I1—yI+I1+yI)NI(1—x)+xI+I(1—y)+(1+y)I=1+2=3,当且仅当(1—x)-x三0,(1—y)-(1+y)三0,即0WxW1,—1WyW1时等号成立,/.Ix—1I+1xI+Iy—1I+1y+1I的最小值为3.［答案］ 34.右不等式Ix+1I—Ix—4I三a+1对任意的x£R恒成立，则实数a的取值范围是4［解析］只要函数f(x)=Ix+1I—Ix—4I的最小值不小于a+-即可.由于IIx+1Ia4—Ix—4IIWI(x+1)—(x—4)I=5,所以一5WIx+1I—Ix—4IW5,故只要一5三a+々即4可.当a>0时，将不等式一5三a+;整理，得a2+5a+4W0,无解；当a<0时，

、，一一一.4一将不等式一5三a十%整理，得a2+5a+4三0,则有aW—4或一1Wa<0.综上可知，实数a的取值范围是(一8,—4］U［—1,0).［答案］(—8,—4］U［—1,0)二、解答题.已知不等式21x—31+1x-4I<2a.(1)若a=1,求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围.［解］(1)当a=1时，不等式即为2Ix—3I+Ix—4I<2,若x三4,贝I3x—10<2,x<4,...舍去；若3<x<4,则Ix—2<2,.3<x<4；一一一 8若xW3,则10—3x<2,..g<xW3.综上，不等式的解集为卜8<x<4>.(2)设f(x)=2Ix—3I+Ix—4I,则3x—10,x三4,f(x)=<x—2,3<x<4,110—3x,xW3.作出函数f(x)的图象，如图所示.由图象可知，f(x)三1,2,+8.2a>1,a>2,即2,+8.(206新课标全国卷I)已知函数f(x)=Ix+1I—2Ix—aI,a>0.(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；⑵若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.［解］(1)当a=1时，f(x)>1化为Ix+1I—2Ix—1I—1>0.当xW—1时，不等式化为x—4>0,无解；

2当一1<x<1时，不等式化为3x一2>0,解得3<x<1；当x三1时，不等式化为一x+2>0,解得1Wx<2.所以f(x)>1的解集为1x[3<x<2).x—1—2a,x<-1,⑵由题设可得，f(x)=13x+1—2a,-1<xWa, 所以函数f(x)的图象与xx+1+2a,x>a.轴围成的三角形的三个顶点分别为A轴围成的三角形的三个顶点分别为A12展，0l,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC2的面积为3