高等数学二重积分总结

高等数学二重积分总结

个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。

/

高等数学二重积分总结是将区域

成

个小区域

,

,L

,

的分法要任意，二是在每个 n小区域

上的点(

,

)

i i i i如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值

时总有同一个极限，才能称二元函数

,在区域

上的二重积分存在。．明确二重积分的几何意义。

若在

上

,≥，则

(

,

表示以区域

为底，以

,为曲顶的曲顶柱体的体积。

,＝

时，

(

,表示平面区域

的面积。

若在

上

,≤，则上述曲顶柱体在

面的下方，二重积分

(

,

的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积若

,在

的某些子区域上为正的，在

的另一些子区域上为负的，则

(

,

表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和即在平面之上的曲顶柱体体积减去平面之下的曲顶柱体的体积).．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数

,在闭区域

上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。

/

高等数学二重积分总结1.二重积分的定义 设二元函数

在闭区域

上有定义且有界.，分割 用任意两组曲线分割

成

个小区域

,

,L

,

同， n时用

表示它们的面积，i

,.

其中任意两小块

和

(i

j)i i j除边界外无公共点。

既表示第

i

小块,又表示第

i

in近似、求和

对任意点(

,

)

,作和式

,

.ni i i i i ii取极限 若

为

的直径，记

,

,L

,

},若极限i i n

,

i

i

i

i

,

,

,

).

i

iii i此极限为

在

上的二重积分

记为n称为被积函数，为积分区域，、为积分变元，d

为面积微元(或面积元素).2.二重积分

(

,

的几何意义(1)

若在

上

≥，则

(

,

表示以区域

为底，以

为曲顶的曲顶柱体的体积.(2)

若在

上

≤，则上述曲顶柱体在

面的下方，二重

/

性质3

性质3 若可以分为两个区域

,

积分

(

,

的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若

在

的另一些子区域上

(

,

表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在

平面之上的曲顶柱体体积减去

平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的存在定理3.1

若

在有界闭区域

在

上的二重积分必存在(即

在

上必可积).3.2

若有界函数

在有界闭区域

上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则在

可积.4．二重积分的性质二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数

,，在区域

上都是可积的.性质

1 分等于各函数积分的代数和，即[

(

,)g

(

,

(

,

g

(

,

. 性质

2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即

(

,

(

, (为常数). 则

,

,

,

.

/

高等数学二重积分总结性质

4 若在积分区域

上有

,，且用

表示区域

的面积，则

d

(

).性质

5 若在

上处处有

,)≤g,，则有

(

,

g

(

,

. 推论

(

,

(

,)

d

. 性质

6(估值定理) 若在

上处处有

m≤,)≤M，且

为区域

的面积，则mS

()

(

,

(

).性质

7(二重积分中值定理) 设

,在有界闭区域

上连续，则在

上存在一点

,,使

(

,

(

,)

(

).

根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题：1．

d

，其中

{(

,

)

}2．设

是由

轴，

轴与直线

所围成的区域，则I

(

)d

,

I

(

)

d

的大小关系 是 .．若

,在有界闭区域

上连续，且在

的任一子区域

D上有

(

,

，试证明在

内恒有

,＝*．估计I

(

的值，其中

{(

,

/

的值为多少？或

的形式来表示，则我们可以将D3．设

D：x y a上的连续函数，则

和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。

本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的计算问题关键是如何确定积分区域及确定

X

型区域还是

Y

型区域，这也是本章的难点。D

的形状不能简单地用类似 y

x a x b c y d分成若干块，并由积分性质

1

2对右端各式进行计算。D

分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。但是无论是先对

高等数学二重积分总结积分，再对

积分，还是先对

积分，再对

积分最终计算的结果应的积分次序将二重积分化成二次积分。具体步骤如下：①确定

的边界曲线，画出

的草图；②求出

边界曲线的交点坐标；③将

的边界曲线表示为

或

的单值函数；④考虑是否要将

分成几块；⑤用

,

的不等式表示

.注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容：ⅰ保证 各层积分的原函数能够求出；ⅱ若为型型),先对积分； 若

既为

型又为

型，且满足ⅰ时，要使对

的分块最少。

利用对称性等公式简化计算设

,在区域

上连续，则①当区域

关于

轴对称若

,

,，则

(

,

＝；若

,

,，则

(

,

＝

,

，其中

为

在

轴上方部分。②当区域

关于

轴对称若

,

,，则

(

,

＝；若

,

,，则

(

,

＝

,

，其中

为

在

轴右侧部分。③当区域

关于

轴和

轴都对称

/

高等数学二重积分总结若

,

,或

,

,，则

(

,

＝；若

,

,

,，则

(

,

＝

,

，其中

为

在第一象限部分。④轮换对称式设

关于直线

对称，则

(

,

＝

(,

.

一．判断题．

:

:

若

为连续函数，则

(

,)

(

,)

(

,)

当被积函数

,

且在

上连续时,

若

为

型区域

:

若

为

型区域

:

b

o

((

b

则

(

,d

bd

(

,

若

为

–型区域:

若

为

–型区域:

,

d

d

则

(

,则

(

,d

d

d

(

,

o

说明:若积分区域既是

–型区域又是

–型区域

,

则有

(

,d

bd

(

,

dd

(

,

1.(1992)计算I

12

e

e

/

设

设

e，计算

.

),

等形式时，计算二重积分时，往往采用极坐标系来计算。一般地，如果积分区域是圆域、扇形域或圆环形域，且被积函数为

(

), 若二重积分的积分区域是

则

＝

。．设:

,

将二重积分I

,化为极坐标形式的二次积分，则I

.．设:

b

b.将二重积分I

,化为极坐标形式的二次积分，则I

.利用极坐标系计算二重积分在极坐标系下,

用同心圆

r=常数及射线

=常数,

分划区域

为

(

L

,)。则

,

r

,r

rdrd

特别地

r()若:

(若:

,

o

r()则有

(r

,r

)rdrd

d

(r

,r

)rdr

/

o

r

()若:若:

r

(

)

则有

(r

,r

)rdrd

d

(r

,r

)rdr

若若:

r

(

)

则有

(r

,r

)rdrd

d

(r

,r

)rdr

o

r

．计算二重积分：

d

,其中:

．设:

计算二重积分：

.

用主要是平面薄片的质量。(1)

空间立体的体积V设空间立体由曲面

:

(

,

)与

:

g

(

,

)所围成，在 面投影为平面区域

D，并且

,

g

,.则

[

(

,)g

(

,

或