2022-2023学年天津市河东区高考压轴卷数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为（）A． B． C． D．2．已知数列是公比为的正项等比数列，若、满足，则的最小值为（）A． B． C． D．3．过直线上一点作圆的两条切线，，，为切点，当直线，关于直线对称时，（）A． B． C． D．4．已知底面为边长为的正方形，侧棱长为的直四棱柱中，是上底面上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（）①与点距离为的点形成一条曲线，则该曲线的长度是；②若面，则与面所成角的正切值取值范围是；③若，则在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为.A． B． C． D．5．若函数在处取得极值2，则（）A．-3 B．3 C．-2 D．26．设，其中a，b是实数，则（）A．1 B．2 C． D．7．已知复数满足，则=（）A． B．C． D．8．已知正方体的棱长为1，平面与此正方体相交.对于实数，如果正方体的八个顶点中恰好有个点到平面的距离等于，那么下列结论中，一定正确的是A． B．C． D．9．的展开式中的系数为（）A．5 B．10 C．20 D．3010．已知，则的大小关系为（）A． B． C． D．11．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列12．的展开式中的系数为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若变量，满足约束条件，则的最大值为__________．14．若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则实数的值为______．15．若实数，满足，则的最小值为__________．16．在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）.（1）请用角表示清洁棒的长；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.18．（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为.（1）求；（2）若，，求的周长.19．（12分）已知函数在上的最大值为3.（1）求的值及函数的单调递增区间;（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围.20．（12分）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，丄底面.（1）证明：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.21．（12分）设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点.（1）求的值及该圆的方程；（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.22．（10分）中，内角的对边分别为，.（1）求的大小；（2）若，且为的重心，且，求的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】程序在运行过程中各变量值变化如下表：KS是否继续循环循环前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循环的条件应为k>5?本题选择C选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．2、B【解析】

利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得再根据此范围求的最小值．【详解】数列是公比为的正项等比数列，、满足，由等比数列的通项公式得，即，，可得，且、都是正整数，求的最小值即求在，且、都是正整数范围下求最小值和的最小值，讨论、取值.当且时，的最小值为.故选：B．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题．3、C【解析】

判断圆心与直线的关系，确定直线，关于直线对称的充要条件是与直线垂直，从而等于到直线的距离，由切线性质求出，得，从而得．【详解】如图，设圆的圆心为，半径为，点不在直线上，要满足直线，关于直线对称，则必垂直于直线，∴，设，则，，∴,．故选：C．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线对称，得出与直线垂直，从而得就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角．4、C【解析】

①与点距离为的点形成以为圆心，半径为的圆弧，利用弧长公式，可得结论；②当在（或时，与面所成角（或的正切值为最小，当在时，与面所成角的正切值为最大，可得正切值取值范围是；③设，，，则，即，可得在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和．【详解】如图：①错误，因为，与点距离为的点形成以为圆心，半径为的圆弧，长度为；②正确，因为面面，所以点必须在面对角线上运动，当在（或）时，与面所成角（或）的正切值为最小（为下底面面对角线的交点），当在时，与面所成角的正切值为最大，所以正切值取值范围是；③正确，设，则，即，在前后、左右、上下面上的正投影长分别为，，，所以六个面上的正投影长度之，当且仅当在时取等号.故选：.【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题．5、A【解析】

对函数求导,可得,即可求出,进而可求出答案.【详解】因为,所以,则,解得,则.故选:A.【点睛】本题考查了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.6、D【解析】

根据复数相等，可得，然后根据复数模的计算，可得结果.【详解】由题可知：，即，所以则故选：D【点睛】本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.7、B【解析】

利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.【详解】由，得，所以，.故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.8、B【解析】

此题画出正方体模型即可快速判断m的取值.【详解】如图（1）恰好有3个点到平面的距离为；如图（2）恰好有4个点到平面的距离为；如图（3）恰好有6个点到平面的距离为.所以本题答案为B.【点睛】本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.9、C【解析】

由知，展开式中项有两项，一项是中的项，另一项是与中含x的项乘积构成.【详解】由已知，，因为展开式的通项为，所以展开式中的系数为.故选：C.【点睛】本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道基础题.10、A【解析】

根据指数函数的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，将与对比，即可求出结论.【详解】由题知，，则.故选:A.【点睛】本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..11、D【解析】

由折线图逐项分析即可求解【详解】选项，显然正确；对于，，选项正确；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故错.故选：D【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题12、C【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选C.点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出，将的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线在轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过时，取最大值，代入可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将化为，则最大时，直线在轴截距最大；由直线平移可知，当过时，在轴截距最大，由得：，.故答案为：.【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.14、【解析】

函数的定义域为，求出导函数，利用曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线，解得，，联立解得的值．【详解】解：函数的定义域为，，，设曲线与曲线公共点为，由于在公共点处有共同的切线，∴，解得，．由，可得．联立，解得．故答案为：．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15、【解析】

由约束条件先画出可行域，然后求目标函数的最小值.【详解】由约束条件先画出可行域，如图所示，由，即，当平行线经过点时取到最小值，由可得，此时，所以的最小值为.故答案为.【点睛】本题考查了线性规划的知识，解题的一般步骤为先画出可行域，然后改写目标函数，结合图形求出最值，需要掌握解题方法.16、【解析】

根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角的平面角,再设出的长,即可求出三棱锥的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥的外接球的表面积.【详解】如图所示：过点作面,垂足为,过点作交于点,连接.则为二面角的平面角的补角,即有.∵易证面,∴,而三角形为等边三角形,∴为的中点.设,.∴.故三棱锥的体积为当且仅当时,,即.∴三点共线.设三棱锥的外接球的球心为,半径为.过点作于,∴四边形为矩形.则,,,在中,,解得.三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：．【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用,以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）过作的垂线，垂足为，易得，进一步可得；（2）利用导数求得最大值即可.【详解】（1）如图，过作的垂线，垂足为，在直角中，，，所以，同理，.（2）设，则，令，则，即.设，且，则当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增，所以当时，取得极小值，所以.因为，所以，又，所以，又，所以，所以，所以，所以能通过此钢管的铁棒最大长度为.【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.18、（1）（2）【解析】

（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；（2）根据两角余弦公式可得，即可求出，再根据正弦定理可得，根据余弦定理即可求出，问题得以解决．【详解】（1）由三角形的面积公式可得，，由正弦定理可得，，；（2），，，，，则由，可得：，由，可得：，，可得：，经检验符合题意，三角形的周长．（实际上可解得，符合三边关系）．【点睛】本题考查了三角形的面积公式、两角和的余弦公式、诱导公式，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了学生的运算能力，考查了转化思想，属于中档题．19、（1）,函数的单调递增区间为；（2）.【解析】

（1）运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据已知，可以求出的值，再结合正弦型函数的性质求出函数的单调递增区间;（2）由（1）结合已知，可以求出角的值，通过正弦定理把问题的取值范围转化为两边对角的正弦值的比值的取值范围，结合已知是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出的取值范围.【详解】解：（1）由已知，所以因此令得因此函数的单调递增区间为（2）由已知，∴由得，因此所以因为为锐角三角形，所以，解得因此，那么【点睛】本题考查了降幂公式、辅助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性，考查了数学运算能力.20、（1）见证明；（2）【解析】

（1）先证明等腰梯形中，然后证明，即可得到丄平面，从而可证明平面丄平面；（2）由，可得到，列出式子可求出，然后建立如图的空间坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，由可得到答案．【详解】（1）证明：在等腰梯形，，易得在中，，则有，故，又平面，平面，，即平面，故平面丄平面.（2）在梯形中，设，，，，而,即，.以点为坐标原点，所