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文档简介

2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图在一个的二面角的棱有两个点,线段分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于棱,且,则的长为()A.4 B. C.2 D.2.记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为()A. B. C. D.3.要得到函数的图像,只需把函数的图像()A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位4.已知复数,则对应的点在复平面内位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5.偶函数关于点对称,当时,,求()A. B. C. D.6.函数f(x)=的图象大致为()A. B.C. D.7.己知函数的图象与直线恰有四个公共点,其中,则()A. B.0 C.1 D.8.已知复数满足,则()A. B. C. D.9.己知四棱锥中,四边形为等腰梯形,,,是等边三角形,且;若点在四棱锥的外接球面上运动,记点到平面的距离为,若平面平面,则的最大值为()A. B.C. D.10.如图,长方体中,,,点T在棱上,若平面.则()A.1 B. C.2 D.11.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,异面直线SC与OE所成角的正切值为()A. B. C. D.12.已知将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若和的图象都关于对称,则的值为()A.2 B.3 C.4 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.将底面直径为4,高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱,则该圆柱的侧面积的最大值为__________.14.在疫情防控过程中,某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下,第15天开始有患者治愈出院,并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始,每天出院的人数是前一天出院人数的2倍,那么第19天治愈出院患者的人数为_______________,第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.15.展开式的第5项的系数为_____.16.设,分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,则_________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在直三棱柱中,,,为的中点,点在线段上,且平面.(1)求证:;(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.18.(12分)已知函数,为的导数,函数在处取得最小值.(1)求证:;(2)若时,恒成立,求的取值范围.19.(12分)随着时代的发展,A城市的竞争力、影响力日益卓著,这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲击”的新征程.A城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展,目前A城市的常住人口大约为1300万.近日,某报社记者作了有关“你来A城市发展的理由”的调查问卷,参与调查的对象年龄层次在25~44岁之间.收集到的相关数据如下:来A城市发展的理由人数合计自然环境1.森林城市,空气清新2003002.降水充足,气候怡人100人文环境3.城市服务到位1507004.创业氛围好3005.开放且包容250合计10001000(1)根据以上数据,预测400万25~44岁年龄的人中,选择“创业氛围好”来A城市发展的有多少人;(2)从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中,利用分层抽样的方法抽取6人,从这6人中再选取3人发放纪念品.求选出的3人中至少有2人选择“森林城市,空气清新”的概率;(3)在选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中有100名男性;在选择“人文环境”作为来A城市发展的理由的700人中有400名男性;请填写下面列联表,并判断是否有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关?自然环境人文环境合计男女合计附:,.P()0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820.(12分)如图所示,在三棱锥中,,,,点为中点.(1)求证:平面平面;(2)若点为中点,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21.(12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记分,“不合格”记分.现随机抽取部分学生的成绩,统计结果及对应的频率分布直方图如下所示:等级不合格合格得分频数624(Ⅰ)若测试的同学中,分数段内女生的人数分别为,完成列联表,并判断:是否有以上的把握认为性别与安全意识有关?是否合格性别不合格合格总计男生女生总计(Ⅱ)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中,共选取人进行座谈,现再从这人中任选人,记所选人的量化总分为,求的分布列及数学期望;(Ⅲ)某评估机构以指标(,其中表示的方差)来评估该校安全教育活动的成效,若,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安全教育方案.在(Ⅱ)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案?附表及公式:,其中.22.(10分)已知数列的前n项和,是等差数列,且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)令.求数列的前n项和.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由,两边平方后展开整理,即可求得,则的长可求.【详解】解:,,,,,,.,,故选:.【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.2、C【解析】

据题意可知,是与面积有关的几何概率,要求落在区域内的概率,只要求、所表示区域的面积,然后代入概率公式,计算即可得答案.【详解】根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示:的圆及内部的平面区域,面积为,集合,,表示的平面区域即为图中的,,根据几何概率的计算公式可得,故选:C.【点睛】本题主要考查了几何概率的计算,本题是与面积有关的几何概率模型.解决本题的关键是要准确求出两区域的面积.3、A【解析】

运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得以及,按四个选项分别对变形,整理后与对比,从而可选出正确答案.【详解】解:.对于A:可得.故选:A.【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换,考查了辅助角公式.本题的易错点有两个,一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时,忘记乘了自变量前的系数.4、A【解析】

利用复数除法运算化简,由此求得对应点所在象限.【详解】依题意,对应点为,在第一象限.故选A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算,考查复数对应点的坐标所在象限,属于基础题.5、D【解析】

推导出函数是以为周期的周期函数,由此可得出,代值计算即可.【详解】由于偶函数的图象关于点对称,则,,,则,所以,函数是以为周期的周期函数,由于当时,,则.故选:D.【点睛】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值,推导出函数的周期性是解答的关键,考查推理能力与计算能力,属于中等题.6、D【解析】

根据函数为非偶函数可排除两个选项,再根据特殊值可区分剩余两个选项.【详解】因为f(-x)=≠f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称,排除选项B,C.又f(2)==-<0.排除A,故选D.【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象,属于中档题.7、A【解析】

先将函数解析式化简为,结合题意可求得切点及其范围,根据导数几何意义,即可求得的值.【详解】函数即直线与函数图象恰有四个公共点,结合图象知直线与函数相切于,,因为,故,所以.故选:A.【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用,由交点及导数的几何意义求函数值,属于难题.8、A【解析】

根据复数的运算法则,可得,然后利用复数模的概念,可得结果.【详解】由题可知:由,所以所以故选:A【点睛】本题主要考查复数的运算,考验计算,属基础题.9、A【解析】

根据平面平面,四边形为等腰梯形,则球心在过的中点的面的垂线上,又是等边三角形,所以球心也在过的外心面的垂线上,从而找到球心,再根据已知量求解即可.【详解】依题意如图所示:取的中点,则是等腰梯形外接圆的圆心,取是的外心,作平面平面,则是四棱锥的外接球球心,且,设四棱锥的外接球半径为,则,而,所以,故选:A.【点睛】本题考查组合体、球,还考查空间想象能力以及数形结合的思想,属于难题.10、D【解析】

根据线面垂直的性质,可知;结合即可证明,进而求得.由线段关系及平面向量数量积定义即可求得.【详解】长方体中,,点T在棱上,若平面.则,则,所以,则,所以,故选:D.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质应用,平面向量数量积的运算,属于基础题.11、D【解析】

可过点S作SF∥OE,交AB于点F,并连接CF,从而可得出∠CSF(或补角)为异面直线SC与OE所成的角,根据条件即可求出,这样即可得出tan∠CSF的值.【详解】如图,过点S作SF∥OE,交AB于点F,连接CF,则∠CSF(或补角)即为异面直线SC与OE所成的角,∵,∴,又OB=3,∴,SO⊥OC,SO=OC=3,∴;SO⊥OF,SO=3,OF=1,∴;OC⊥OF,OC=3,OF=1,∴,∴等腰△SCF中,.故选:D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法,直角三角形的边角的关系,平行线分线段成比例的定理,考查了计算能力,属于基础题.12、B【解析】

因为将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,可得,结合已知,即可求得答案.【详解】将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,又和的图象都关于对称,由,得,,即,又,.故选:B.【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数,解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由题意欲使圆柱侧面积最大,需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h,底面半径为r,则,将侧面积表示成关于的函数,再利用一元二次函数的性质求最值.【详解】欲使圆柱侧面积最大,需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h,底面半径为r,则,所以.∴,当时,的最大值为.故答案为:.【点睛】本题考查圆柱的侧面积的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想、,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意将问题转化为函数的最值问题.14、161【解析】

由题意可知出院人数构成一个首项为1,公比为2的等比数列,由此可求结果.【详解】某医院一次性收治患者127人.第15天开始有患者治愈出院,并且恰有其中的1名患者治愈出院.且从第16天开始,每天出院的人数是前一天出院人数的2倍,从第15天开始,每天出院人数构成以1为首项,2为公比的等比数列,则第19天治愈出院患者的人数为,,解得,第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.故答案为:16,1.【点睛】本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用,考查等比数列的性质等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于中档题.15、70【解析】

根据二项式定理的通项公式,可得结果.【详解】由题可知:第5项为故第5项的的系数为故答案为:70.【点睛】本题考查的是二项式定理,属基础题。16、1【解析】

令,结合函数的奇偶性,求得,即可求解的值,得到答案.【详解】由题意,函数分别是上的奇函数和偶函数,且,令,可得,所以.故答案为:1.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用,其中解答中熟记函数的奇偶性,合理赋值求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【解析】

(1)如图,连接,交于点,连接,,则为的中点,因为为的中点,所以,又,所以,从而,,,四点共面.因为平面,平面,平面平面,所以.又,所以四边形为平行四边形,所以,所以(2)因为,为的中点,所以,又三棱柱是直三棱柱,,所以,,互相垂直,分别以,,的方向为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,因为,,所以,,,,所以,,.设平面的法向量为,则,即,令,可得,,所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为,则,即,令,可得,,所以平面的一个法向量为,所以,所以平面与平面所成二面角的正弦值为.18、(1)见解析;(2).【解析】

(1)对求导,令,求导研究单调性,分析可得存在使得,即,即得证;(2)分,两种情况讨论,当时,转化利用均值不等式即得证;当,有两个不同的零点,,分析可得的最小值为,分,讨论即得解.【详解】(1)由题意,令,则,知为的增函数,因为,,所以,存在使得,即.所以,当时,为减函数,当时,为增函数,故当时,取得最小值,也就是取得最小值.故,于是有,即,所以有,证毕.(2)由(1)知,的最小值为,①当,即时,为的增函数,所以,,由(1)中,得,即.故满足题意.②当,即时,有两个不同的零点,,且,即,若时,为减函数,(*)若时,为增函数,所以的最小值为.注意到时,,且此时,(ⅰ)当时,,所以,即,又,而,所以,即.由于在下,恒有,所以.(ⅱ)当时,,所以,所以由(*)知时,为减函数,所以,不满足时,恒成立,故舍去.故满足条件.综上所述:的取值范围是.【点睛】本题考查了函数与导数综合,考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题,考查了学生综合分析,转化划归,分类讨论,数学运算能力,属于较难题.19、(1)(万)(2)(3)填表见解析;有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关【解析】

(1)在1000个样本中选择“创业氛围好”来A城市发展的有300个,根据频率公式即可求得结果.(2)由分层抽样的知识可得,抽取6人中,4人选择“森林城市,空气清新”,2人选择“降水充足,气候怡人”求出对应的基本事件数,即可求得结果.(3)计算的值,对照临界值表可得答案.【详解】(1)(万)(2)从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展理由的300人中,利用分层抽样的方法抽取6人,其中4人是选择“森林城市,空气清新”,2人是选择“降水充足,气候怡人”.记事件A为选出的3人中至少有2人选择“森林城市,空气清新”,则,.(3)列联表如下自然环境人文环境合计男100400500女200300500合计3007001000,所以有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关.【点睛】本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、考查学生的综合分析与计算能力,难度较易.20、(1)答案见解析.(2)【解析】

(1)通过证明平面,证得,证得,由此证得平面,进而证得平面平面.(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】(1)因为,所以平面,因为平面,所以.因为,点为中点,所以.因为,所以平面.因为平面,所以平面平面.(2)以点为坐标原点,直线分别为轴,轴,过点与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,,,设平面的一个法向量,则即取,则,,所以,设平面的一个法向量,则即取,则,,所以,设平面与平面所成锐二面角为,则.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.21、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)不需要调整安全教育方案.【解析】

(I)根据题目所给数据填写好列联表,计算出的值,由此判断出在犯错误概率不超过的前提下,不能认为性别与安全测试

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