2023年九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》常考题型专题训练（含解析）

2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》常考题型专题训练（附答案）1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（1）则∠OBC的度数等于．（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE＝S四边形OCPB，求此时P点的坐标；（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．2．已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，﹣2），直线y＝kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x的代数式表示）；（3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标．3．如图，抛物线y＝ax2+x+c（a＞0）与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，与y轴负半轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接CD，若∠ACD为锐角，且tan∠ACD＜，求点D的横坐标xD的取值范围；（3）如图2，经过定点P作一次函数y＝kx+与抛物线交于M，N两点．试探究是否为定值？请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．5．已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）＝（x+2）2的两根．（1）求点C、D及点M的坐标；（2）若直线y＝kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长；（3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣2交x轴于A、B（A左B右）两点，交y轴于点C，过C作CD∥x轴，交抛物线于点D，E（﹣2，3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）P为第一象限抛物线上一点，过点P作PF⊥CD，垂足为F，连接PE交y轴于G，求证：FG∥DE；（3）如图2，在（2）的条件下，过点F作FM⊥PE于M．若∠OFM＝45°，求P点坐标．7．在直角坐标平面内，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B，点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．（1）求抛物线的表达式；（2）连结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的正切值；（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+2x﹣3交x轴于点A、B，交y轴于点C．（1）如图1，连接BC，过点A作y轴的平行线交直线BC于点E，求线段BE的长；（2）如图1，点P为第三象限内抛物线上一点，连接AP交BC于点D，连接BP，记△BDP的面积为S1，△ABD的面积为S2，当的值最大时，求出这个最大值和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝x2+2x﹣3沿射线BC方向平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点G，点M为平移后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点D、G、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由．9．如图所示，抛物线y＝ax2+2x+8（a＜0）交x轴负半轴于A点、交x轴正半轴于B点，与y轴交于C点，且2OB＝OC，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）请写出B点坐标及a的值；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程；（4）若点Q（x，y）是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的横坐标x的值，若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣，交y轴于点A，交x轴于B（﹣1，0），C（5，0）两点，抛物线的顶点为D，连接AC，CD．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；（3）过点D作x轴的垂线交AC于点G，点H为线段CD上一动点，连接GH，将△DGH沿GH翻折到△GHR（点R，点G分别位于直线CD的两侧），GR交CD于点K，当△GHK为直角三角形时．①请直接写出线段HK的长为；②将此Rt△GHK绕点H逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△MHN，若直线MN分别与直线CD，直线DG交于点P，Q，当△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的纵坐标为．11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c，经过矩形OABC的A（3，0），C（0，2），连接OB．D为横轴上一个动点，连接CD，以CD为直径作⊙M，与线段OB有一个异于点O的公共点E，连接DE．过D作DF⊥DE，交⊙M于F．（1）求抛物线的解析式；（2）tan∠FDC的值；（3）①当点D在移动过程中恰使F点落在抛物线上，求此时点D的坐标；②连接BF，求点D在线段OA上移动时，BF扫过的面积．12．已知抛物线的顶点A（﹣1，﹣4），经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C，D两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，当MN取最大值时，求点M的坐标；（3）如图2，AE∥y轴交x轴于点E，点P是抛物线上A，D之间的一个动点，直线PC，PD与AE分别交于F，G，当点P运动时，①直接写出EF+EG的值；②直接写出tan∠ECF+tan∠EDG的值．13．如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．14．抛物线y＝x2﹣2ax+1（a＞1）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）若a＝2，求A，B，C三点的坐标；（2）如图1，若∠ACB＝45°，求a的值；（3）如图2，过点C作CE∥AB交抛物线于另一点E，以CE为直径作⊙P，求证：直线AD与⊙P相切．15．如图，抛物线y＝﹣4x+6与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，连接AC，BC，点D在抛物线上一点．（1）求证：△OBC是等腰直角三角形．（2）连接DC，如图1，若BC平分∠ACD，求点D的坐标．（3）如图2，若点D在线段BC的下方抛物线上一点，画DE⊥BC于点E．①求DE的最大值．②在线段CE上取点F，连OF，DF，若∠EDF＝∠ACB，且点C关于直线OF的对称点恰好落在抛物线上，求点D的坐标（直接写出答案）．16．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2经过B、C两点，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当抛物线上的点P的在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值；（3）连接OP，把△OCP沿着y轴翻折，使点P落在P′的位置，四边形CPOP′能否构成菱形，若能，求出点P的坐标，如不能，请说明理由．17．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求的函数表达式；（2）点D为抛物线上一动点，直线BD交直线AC于点E；①当点D在直线AC上方运动时，连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE，△BCE的面积分别为S1，S2，求的最大值；②若直线CD交抛物线对称轴于点F，当EF∥BC时，直接写出点D的横坐标．18．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B；与y轴交于点C，且OC＝OB＝2OA，对称轴为直线x＝1．（1）求抛物线的解析式．（2）若点M，N分别是线段AC，BC上的点，且MN∥AB，当MN＝2时，求点M，N的坐标．（3）D是抛物线的顶点，在抛物线上是否存在不与点D重合的点E，使得△BCE与△BCD的面积相等？若存在，请求点E的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．（1）求直线AB和抛物线的解析式；（2）如图①，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，求点P到直线AB距离的最大值；（3）如图②，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D（m，0）为线段OB上一动点（不与O，B重合），过点D作平行于y轴的直线交BC于点M，交抛物线于点N，是否存在点D使点M为线段DN的三等分点，若存在求出点D坐标，若不存在请说明理由；（3）过点O作直线l∥BC，点P，Q为第一象限内的点，且Q在直线l上，P为l上方抛物线上的点，是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△COB，若存在直接写出P，Q坐标，若不存在请说明理由．参考答案1．解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），∴由题意得，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4）．在Rt△OBC中，∵OC＝OB＝3，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°．（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于H，此时S四边形OCDB＝S梯形OCDH+S△HBD，∵OH＝1，OC＝3，HD＝4，HB＝2，∴S梯形OCDH＝•（OC+HD）•OH＝，S△HBD＝•HD•HB＝4，∴S四边形OCDB＝．∴S△OCE＝S四边形OCDB＝＝，∴OE＝5，∴E（5，0）．设lDE：y＝kx+b，∵D（1，﹣4），E（5，0），∴，解得，∴lDE：y＝x﹣5．∵DE交抛物线于P，设P（x，y），∴x2﹣2x﹣3＝x﹣5，解得x＝2或x＝1（D点，舍去），∴xP＝2，代入lDE：y＝x﹣5，∴P（2，﹣3）．（3）如图2，设lBC：y＝ax+t（a≠0），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴lBC：y＝x﹣3．∵F在BC上，∴yF＝xF﹣3，∵P在抛物线上，∴yP＝xP2﹣2xP﹣3，∴线段PF长度＝yF﹣yP＝xF﹣3﹣（xP2﹣2xP﹣3），∵xP＝xF，∴线段PF长度＝﹣xP2+3xP＝﹣（xP﹣）2+，（1＜xP＜3），∴当xP＝时，线段PF长度最大为．2．解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵A（3，0）在抛物线上，∴0＝a（3﹣1）2﹣2∴a＝，∴y＝（x﹣1）2﹣2，（2）抛物线与y轴交点B的坐标为（0，），设直线AB的解析式为y＝kx+m，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣．∵P为线段AB上的一个动点，∴P点坐标为（x，x﹣）．（0＜x＜3）由题意可知PE∥y轴，∴E点坐标为（x，x2﹣x﹣），∵0＜x＜3，∴PE＝（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，（3）由题意可知D点横坐标为x＝1，又D点在直线AB上，∴D点坐标（1，﹣1）．①当∠EDP＝90°时，△AOB∽△EDP，∴．过点D作DQ⊥PE于Q，∴xQ＝xP＝x，yQ＝﹣1，∴△DQP∽△AOB∽△EDP，∴，又OA＝3，OB＝，AB＝，又DQ＝x﹣1，∴DP＝（x﹣1），∴，解得：x＝﹣1±（负值舍去）．∴P（﹣1，）（如图中的P1点）；②当∠DEP＝90°时，△AOB∽△DEP，∴．由（2）PE＝﹣x2+x，DE＝x﹣1，∴，解得：x＝1±，（负值舍去）．∴P（1+，﹣1）（如图中的P2点）；综上所述，P点坐标为（﹣1，）或（1+，﹣1）．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c（a＞0）与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2；（2）如图1，过点A作AE1⊥AC，使AE1＝AC，连接AE1交抛物线于点D1，过点E1作E1F1⊥x轴于点F1，∵y＝x2+x﹣2，令x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），又A（﹣2，0），∴OA＝OC＝2，∴△OAC是等腰直角三角形，∴AC＝2，∠OAC＝45°，∴AE1＝AC＝，∵∠CAE1＝90°，∴∠E1AF1＝45°，∵∠AF1E1＝90°，∴△AE1F1是等腰直角三角形，∴AF1＝E1F1＝AE1＝×＝，∴OF1＝OA﹣AF1＝2﹣＝，∴E1（﹣，），设直线CE1解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线CE1解析式为y＝﹣x﹣2，联立方程组得，解得：（舍去），，∴D1（﹣，），同理可得：D（﹣，﹣），∵∠ACD为锐角，且tan∠ACD＜，∴﹣＜xD＜﹣，又∵点D是抛物线上第三象限内的一点，∴﹣2＜xD＜﹣；（3）+是定值．理由如下：设M（x1，y1），N（x2，y2），由，得x2+（1﹣k）x﹣＝0，∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣，∵y1＝kx1+﹣2，y2＝kx2+﹣2，∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2），∴MN＝＝＝•＝•＝•＝1+k2，∵点P是直线y＝kx+﹣2上一定点，∴P（﹣，﹣2），∴PM＝＝＝•，PN＝＝＝•，∴PM•PN＝（1+k2）＝（1+k2）＝（1+k2）＝（1+k2）＝MN，∴+＝＝＝4，故+是定值．4．解：（1）∵A的坐标为（﹣1，0），∴OA＝1，∵OC＝2OA，∴OC＝2，∴C的坐标为（0，2），将点C代入抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0），得＝2，即m＝4，∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（2）如图，过P作PH∥y轴，交BC于H，由（1）知，抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2，m＝4，∴B、C坐标分别为B（4，0）、C（0，2），设直线BC解析式为y＝kx+n，则，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设点P的坐标为（m，﹣m2+m+2）（0＜m＜4），则H（m，﹣m+2），∴PH＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m2﹣4m）＝﹣（m﹣2）2+2，∵S△PBC＝S△CPH+S△BPH，∴S△PBC＝PH•|xB﹣xC|＝[﹣（m﹣2）2+2]×4＝﹣（m﹣2）2+4，∴当m＝2时，△PBC的面积最大，此时点P（2，3）；（3）存在，理由如下：∵直线y＝x+b与抛物线交于B（m，0），∴直线BG的解析式为y＝x﹣m①，∵抛物线的表达式为y＝﹣x2+•x+②，联立①②解得，或，∴G的坐标为（﹣2，﹣m﹣1），∵抛物线y＝﹣x2+•x+的对称轴为直线x＝，∴点F的横坐标为，①若BG为边，不妨设E在x轴上方，如图，过点E作EH⊥x轴于H，设E的坐标为（t，﹣t2+•t+），∵∠GBE＝90°，∴∠OBG＝∠BEH，∴tan∠OBG＝tan∠BEH＝＝，∴＝，解得：t＝3或m（舍），∴E的坐标为（3，2m﹣6），由平移性质，得：B的横坐标向左平移m+2个单位得到G的横坐标，∵EF∥BG且EF＝BG，∴E横坐标向左平移m+2个单位，得：到F的横坐标为3﹣（m+2）＝﹣m+1，∴＝﹣m+1，解得m＝1，∴E（3，﹣4），F（0，﹣），这说明E不在x轴上方，而在x轴下方；②若BG为对角线，设BG的中点为M，由中点坐标公式得，，∴M的坐标为（，），∵矩形对角线BG、EF互相平分，∴M也是EF的中点，∴E的横坐标为，∴E的坐标为（，），∵∠BEG＝90°，∴EM＝，∴＝，整理得：16+（m2+4m+1）2＝20（m+2）2，变形得：16+[（m+2）2﹣3]2＝20（m+2）2，换元，令t＝（m+2）2，得：t2﹣26t+25＝0，解得：t＝1或25，∴（m+2）2＝1或25，∵m＞0，∴m＝3，即E的坐标为（0，），F的坐标为（1，﹣4），综上，即E的坐标为（0，），F的坐标为（1，﹣4）或E（3，﹣4），F（0，﹣）．5．解：（1）x（2x+1）＝（x+2）2整理得，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴点C、D的坐标是C（﹣1，0），D（4，0），＝1.5，∴点M的坐标是（1.5，0），故答案为：C（﹣1，0），D（4，0），（1.5，0）；（2）如图，连接AM，则AM＝2.5，在Rt△AOM中，AO＝＝＝2，∴点A的坐标是（0，2），∵PA与⊙M相切，∴AM⊥PA，∴∠MAO+∠PAO＝90°，又∵∠AMO+∠MAO，∴∠AMO＝∠PAO，在△AOM与△POA中，，∴△AOM∽△POA，∴＝，即＝，解得PA＝；（3）存在．如图，连接AC、AD，∴∠CAD＝90°，在△ACO与△DCA中，，∴△ACO∽△DCA，∴存在点Q，与点D重合时，点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似，此时，设过点A、C、Q的抛物线是y＝ax2+bx+c，则，解得，∴过A、C、Q三点的抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2．如图，连接AM并延长交⊙M于Q，连接CQ，∴∠AQC＝∠ADC，∵∠ADC＝∠CAO，∵AD'是⊙M直径，∴∠ACQ＝90°＝∠AOC，∴△AOC∽△QCA，∵A（0，2），M（1.5，0），∴Q（3，﹣2），同上的方法，过A、C、Q三点的抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2．6．解：（1）∵E（﹣2，3）在抛物线y＝ax2﹣3ax﹣2上，∴4a+6a﹣2＝3，解得：a＝，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2．（2）证明：∵y＝x2﹣x﹣2＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），∵x＝0时，y＝x2﹣x﹣2＝﹣2，∴C（0，﹣2），∵点D在抛物线上，且CD∥x轴，∴D（3，﹣2），设直线DE解析式为y＝kx+b∴解得：，∴直线DE：y＝﹣x+1，∵点P为第一象限抛物线上一点，∴设点P坐标为（t，t2﹣t﹣2）（t＞4），设直线PE解析式为y＝cx+d，∴解得：，∴直线PE：y＝x+t﹣2，直线PE与y轴交点G（0，t﹣2），∵PF⊥CD于点F，∴F（t，﹣2），设直线FG解析式为y＝ex+t﹣2，把点F代入得：te+t﹣2＝﹣2，解得：e＝﹣1，∴FG∥DE，（3）延长FO、PE相交于点N，过点M作MG′⊥PF于点G′，过点N作NH⊥MG′交G′M的延长线于点H，∴∠FG′M＝∠MHN＝90°，∵FM⊥PE于M，∴∠FMN＝90°，∴∠FMG′+∠NMH＝∠MNH+∠NMH＝90°，∴∠FMG′＝∠MNH，∵∠OFM＝45°，∴∠MNF＝180°﹣∠FMN﹣∠OFM＝45°，∴FM＝MN，在△FG′M与△MHN中，∴△FG′M≌△MHN（AAS），∴FG′＝MH，MG′＝NH，∵F（t，﹣2），∴直线OF：y＝﹣x，∵点M在直线PE：y＝x+t﹣2上，∴设M（m，m+t﹣2），∴MG′＝t﹣m，FG′＝m+t﹣2﹣（﹣2）＝m+t，∵解得：，∴N（，），∴MH＝m﹣，NH＝m+t﹣2﹣，∴，解得：（舍去），∴yP＝×36﹣×6﹣2＝7，∴点P坐标为（6，7）．解法二：过点G作GH⊥PF于H，交FM于N，连接ON，设P（a，a2﹣a﹣2），设NH＝b，由△GHP≌△FHN，推出NH＝PH＝b，证明ON＝OC+NH＝b+2，在Rt△OGN中，则有（b+2）2＝（a﹣2）2+（a﹣b）2，∴b＝，又b＝PH＝a（a﹣5），∴＝，∴a2﹣5a﹣6＝0，∴a＝6或﹣1（舍弃），∴P（6，7）．7．解：（1）令y＝x+2中x＝0，得y＝2；令y＝0，得x＝﹣4，故A（﹣4，0），C（0，2）．把A、C两点坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，则得：，解得：．所以抛物线的表达式为y＝．（2）如图1，过点E作EH⊥AB于H，当y＝0时，＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1，故点B坐标为（1，0），A（﹣4，0），∴S△ABC＝＝5，∵△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，∴S△ABE＝4．设点E坐标为（x，），∴＝4，解得：x＝．故点E坐标为（，）．∴BH＝1+＝．在Rt△BHE中，tan∠EBH＝＝＝．即∠DBA的正切值为．（3）∵∠AOC＝∠DFC＝90°，∴分两种情况讨论：①若∠DCF＝∠ACO，则△DCF∽△ACO，如图2，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DC交x轴于点Q．∴∠DCF+∠ACQ＝90°，∴∠ACO+∠ACQ＝90°，又∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠ACQ＝∠CAO．∴AQ＝CQ．设点Q坐标为（m，0），则m+4＝，解得：m＝．∴点Q坐标为（，0）．∵∠QCO+∠DCG＝90°，∠QCO+∠CQO＝90°，∴∠DCG＝∠CQO．又∵∠DGC＝∠QOC＝90°，∴△DCG∽△CQO．∴，即＝＝．设DG＝4t，GC＝3t，则点D的坐标为（﹣4t，3t+2），将D点坐标代入y＝，得：﹣8t2+6t+2＝3t+2，解得：t1＝0（舍去），t2＝．故点D坐标为（﹣，）．②若∠DCF＝∠CAO，则△DCF∽△CAO，如图3，则CD∥AO，∴点D的纵坐标为2，把y＝2代入y＝，得：＝2，解得：x1＝﹣3，x2＝0（舍去）．∴点D的坐标为（﹣3，2）．综上所述，点D坐标为（﹣，）或（﹣3，2）．8．解：（1）如答图1所示，作AE∥y轴交BC的延长线于点E．令y＝x2+2x﹣3中y＝0，得方程x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；令y＝x2+2x﹣3中x＝0，得y＝﹣3，则得点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）．∴BO＝OC＝3，OA＝1．∵∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝．又OC∥AE，∴，即，解得：CE＝，故线段BE＝BC+CE＝＝．（2）如答图2，在答图1基础上，作PF∥AE交BC于F．设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B（﹣3，0）、C（0，﹣3），，解得：．则直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3．设点P坐标为（a，a2+2a﹣3），点F坐标为（a，﹣a﹣3），点E坐标为（1，﹣4），则PF＝﹣a﹣3﹣（a2+2a﹣3）＝﹣a2﹣3a，AE＝4．由PF∥AE，可得△DFP∽△DEA，∴＝＝．又△BDP与△ABD的底可分别看成是DP、DA，而高相等，故＝．∵，∴当a＝时，有最大值，最大值为，此时点P坐标为（，）．（3）存在以点D、G、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下：在（2）的条件下，点P坐标为（，）．设直线AP表达式为y＝mx+n，代入A、P坐标，得：，解得：．则直线AP表达式为y＝．联立，解得：，即点D坐标为（，）．∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，又将抛物线y＝x2+2x﹣3沿射线BC方向平移个单位，实际上等同于将该抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位，则新抛物线的解析式为y＝x2﹣5．联立，解得．即点G坐标为（﹣1，﹣4）．（为了便于观察，现将图象简化，略去平移前的函数图象，只保留平移后的图象）．平移后的二次函数解析式为y＝x2﹣5，则对称轴为x＝0，故点M坐标可设为（0，m），点N坐标（a，b）．当DG为菱形的边时：①以点D为圆心，DG为半径画圆交y轴于点M1、M2，作DH⊥y轴于点H，如答图3．此时，DG＝DM1＝DM2＝＝，DH＝，∴M1H＝＝＝M2H．故可得点M1（0，）、M2（0，）．由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：，即，解得：；或，解得：．∴点N1（，），N2（，）．②以点G为圆心，DG为半径画圆交y轴于点M3、M4，作GI⊥y轴于点I，如答图4．此时，GD＝GM3＝GM4＝，GI＝1，∴IM4＝＝＝＝．故可得点M3（0，）、M4（0，）．由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：，即，解得：；或，解得：．∴点N3（，），N4（，），当DG为菱形的对角线时，则MN为另一对角线，如答图5．则有M5D＝M5G，亦即M5D2＝M5G2．∴＝（﹣1﹣0）2+（﹣4﹣m）2，解得：m＝．即点M5（0，），由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：，解得：，则点N5坐标为（，﹣3）．综上所述，点N的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，﹣3）．9．解：（1）令x＝0，则y＝8．∴OC＝8．又∵2OB＝OC，∴OB＝4．∴点B的坐标为（4，0），将B（4，0）代入y＝ax2+2x+8，得0＝16a+8+8解得a＝﹣1；（2）存在，理由：由（1）知，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8．当∠CP′M为直角时，则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则P′C∥x轴，则点P′的坐标为（1，8）；当∠PCM为直角时，在Rt△OBC中，设∠CBO＝α，则tan∠CBO＝＝2＝tanα，则sinα＝，cosα＝，在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，则BM＝＝3，同理可得，MN＝6，由点B、C的坐标得，BC＝＝4，则CM＝BC﹣MB＝，在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，则PM＝＝＝，则PN＝MN+PM＝6+＝，故点P的坐标为（1，），故点P的坐标为（1，8）或（1，）；（3）∵D为CO的中点，则点D（0，4），作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，理由：G走过的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′为最短，由点C′、D′的坐标得，直线C′D′的表达式为y＝6x﹣4，对于y＝6x﹣4，当y＝6x﹣4＝0时，解得x＝，当x＝1时，y＝2，故点E、F的坐标分别为（，0）、（1，2）；G走过的最短路程为C′D′＝＝2；（4）存在，理由：①当点Q在y轴的右侧时，设点Q的坐标为（x，﹣x2+2x+8），故点Q作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°，∴∠MQC＝∠QRE，∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，∴△ANQ≌△QMC（AAS），∴QN＝CM，即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝（不合题意的值已舍去），故点Q的坐标为（，）．②当点Q在y轴的左侧时，同理可得，点Q的坐标为（，）．综上，点Q的坐标为（，）或（，）．10．解：（1）设直线AC的函数表达式为：y＝kx+c，∵抛物线y＝ax2+bx﹣，交y轴于点A，∴A（0，﹣），将A（0，﹣），C（5，0）分别代入y＝kx+c，得：，解得：，∴直线AC的函数表达式为：y＝x﹣，（2）∵抛物线y＝ax2+bx﹣经过B（﹣1，0），C（5，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点D的坐标为（2，﹣4）；（3）①如图1，∵△GHK为直角三角形，且点R，点G分别位于直线CD的两侧，∴∠GHK＝90°或∠HGK＝90°或∠GKH＝90°，当∠GHK＝90°时，∠GHD＝90°，点R落在直线DC上，不符合题意，当∠HGK＝90°时，∠DGH＝∠HGK＝90°，点R，点G位于直线CD的同侧，不符合题意，当∠GKH＝90°时，点R，点G分别位于直线CD的两侧，符合题意，∴∠GKH＝90°，∠DGH＝∠RGH，过点H作HL⊥DG于点L，则HL＝HK，∵D（2，﹣4），DG⊥x轴，∴G（2，﹣），F（2，0），∴DG＝﹣﹣（﹣4）＝，CF＝5﹣2＝3，DF＝4，∴CD＝＝＝5，∵∠DFC＝∠GKH＝90°，∠GDK＝∠CDF，∴△GDK∽△CDF，∴＝＝，即＝＝，∴GK＝，DK＝，∵S△GKH+S△GDH＝S△GDK，∴××HK+××HL＝××，故答案为：；②∵△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，∴PQ＝DQ或PQ＝DP，当PQ＝DQ时，如图2，由旋转知：点H到PQ、DQ的距离相等，∴QH⊥DP，DH＝HP，由①知HL＝HK＝，∵HL∥CF，∴＝，即＝，∴DL＝，∴L的纵坐标为﹣4＝﹣，即H的纵坐标为﹣，∵H为D、P的中点，∴P的纵坐标为﹣，当PQ＝DP时，如图3，点P为DQ的垂直平分线与CD的交点，∵H（，﹣），∴经过点H平行MN的直线为y＝﹣x+，∵点H到直线MN的距离为，∴直线MN的解析式为y＝﹣x﹣，∵直线CD的解析式为y＝x﹣，∴P（，﹣）；综上所述，点P的纵坐标为﹣或﹣．11．解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线的表达式得：，解得：，故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2①；（2）如图1，连接CE、CF、FO，∵CD是直径，∴∠CED＝90°，即CE⊥DE，又∵DF⊥DE，∴∠FDC＝∠ECD＝∠EOD＝∠BOA，∴tan∠FDC＝tan∠BOA＝；（3）①如图2，连接FO，则∠FOG＝∠FCD，∵CD是直径，∴∠CFD＝90°，∵DF⊥DE，∴∠FDE＝90°∴FC∥DE，∴∠FCD＝∠CDE＝∠COE，∴∠FOG＝∠FCD＝∠CDE＝∠COE，∴tan∠FOG＝tan∠COE＝tan∠COB＝，故直线OF的表达式为：y＝﹣x②，联立①②并解得：，故点F（﹣1，）；过点F作y轴的平行线GH，交x轴于点G，交过点C与x轴的平行线于点H，∴FG＝，CH＝1，HF＝2﹣＝，∵∠HFC+∠GFD＝90°，∠HFC+∠HCF＝90°，∴∠HCF＝∠GFD，又∠CHF＝∠FGD＝90°，∴△CHF∽△FGD，∴，即，解得：GD＝，∴OD＝1﹣＝，故点D的坐标为：（﹣，0）；②如图3，当点D、O重合时，连接CF、BF，则BF扫过的面积为△BOF的面积，∠CFO＝90°，过点F作y轴的平行线HG，交x轴于点G，交过点C与x轴的平行线于点H，由①同理可得：△CHF∽△FGO，则，由①知tan∠FOG＝，设FG＝3a，则OG＝2a＝HC，HF＝2﹣GF＝2﹣3a，∴，解得：a＝；在Rt△FOG中，FO＝＝a＝，同理在Rt△AOB中，OB＝，∵OF⊥OE，BF扫过的面积＝S△BOF＝×BO×FO＝×＝3，故BF扫过的面积为3．12．解：（1）∵抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），∴可设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣4，∵抛物线经过B（﹣2，﹣3），∴﹣3＝a﹣4，解得a＝1，∴抛物线为y＝x2+2x﹣3；（2）设直线OB解析式为y＝kx，由题意可得﹣3＝﹣2k，解得k＝，∴直线OB解析式为y＝x，设M（t，t2+2t﹣3），MN＝s，则N的横坐标为（t﹣s），纵坐标为（t﹣s）．∵MN∥x轴，∴t2+2t﹣3＝（t﹣s），得s＝﹣t2﹣t+2＝﹣（t+）2+．∴当t＝﹣时，MN有最大值，最大值为，此时点M的坐标是（﹣，﹣）；（3）EF+EG＝8．理由如下：如图2，过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0可得0＝x2+2x﹣3，解得x＝﹣3或x＝1．∴C（﹣3，0），D（1，0）．设P（t，t2+2t﹣3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t．∵PQ∥EF，∴△CEF∽△CQP．∴＝．∴EF＝•PQ＝×（﹣t2﹣2t+3）．同理△EGD∽△QPD得＝．∴EG＝•PQ＝•（﹣t2﹣2t+3），∴EF+EG＝（﹣t2﹣2t+3）+•（﹣t2﹣2t+3）＝2（﹣t2﹣2t+3）（+）＝2（﹣t2﹣2t+3）×＝8，∴当点P运动时，EF+EG为定值8；②由①知，EF+EG＝8，则tan∠ECF+tan∠EDG＝＝4．13．解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得解得∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣中，得0＝﹣4k﹣，解得k＝，∴直线l解析式为y＝x﹣，设D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E关于原点O对称，∴OD＝OE∵DE＝2EM∴OM＝2OD，过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，∴∠OFD＝∠ORM，∵∠DOF＝∠MOR∴△ODF∽△OMR∴＝＝＝2∴OR＝2OF，RM＝2DF∴M（﹣2m，2m2+8m）∴2m2+8m＝•（﹣2m）﹣，解得：m1＝﹣3，m2＝，∵m＜﹣2∴m的值为：﹣3；（3）由（2）知：m＝﹣3，∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3，如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20∴AB2+BG2＝AG2∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°，∴tan∠GAB＝＝＝，∵∠DEP＝∠GAB∴tan∠DEP＝tan∠GAB＝，在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝OE＝，过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；∵E（3，﹣3），∴∠EOT＝45°∵∠EOH＝90°∴∠HOT＝45°∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，则，解得∴直线EH解析式为y＝﹣x，解方程组，∴x＝或，∴点P的横坐标为：或．14．（1）解：当a＝2时，y＝x2﹣4x+1，当x＝0时，y＝2，∴C（0，1），当y＝0时，x2﹣4x+1＝0，解得：x1＝2+，x2＝2﹣，∴A（2﹣，0），B（2+，0）；（2）解：当y＝0时，x2﹣2ax+1＝0，解得：x1＝a+，x2＝a﹣，∴A（a﹣，0），B（a+，0），∴OA＝a﹣，如图1，过点A作AF⊥AC于A，过点F作FG⊥x轴于G，∵∠ACB＝45°，∴△ACF是等腰直角三角形，∴AC＝AF，∵∠CAF＝∠AOC＝90°，∴∠ACO+∠CAO＝∠CAO+∠FAG＝90°，∴∠FAG＝∠ACO，∵∠COA＝∠AGF＝90°，∴△COA≌△AGF（AAS），∴AG＝OC＝1，FG＝OA＝a﹣，∴F（a+1﹣，a﹣），∵C（0，1），∴设直线BC的解析式为：y＝kx+1，∵B（a+，0），∴（a+）k+1＝0，∴k＝﹣，∴BC的解析式为：y＝﹣+1，∵点F在直线BC上，∴a﹣＝﹣+1，∵a＞1，∴a＝；（3）证明：y＝x2﹣2ax+1＝（x﹣a）2+1﹣a2，∴D（a，1﹣a2），如图2，连接PA，PD，∵CE∥AB，CE是⊙P的直径，∴P（a，1），⊙P的半径是a，由勾股定理得：AP＝＝a，∴点A在⊙P上，∵AD2＝（a﹣﹣a）2+（1﹣a2）2＝a4﹣a2，PD2＝（1﹣a2﹣1）2＝a4，∴AD2+AP2＝a4﹣a2+a2＝a4，∴AD2+AP2＝PD2，∴△APD是直角三角形，且∠PAD＝90°，∴PA⊥AD，∴直线AD与⊙P相切．15．（1）证明：令x＝0，可得，令y＝0，可得，解得x1＝2，x2＝6，∴A（2，0），B（6，0），C（0，6），∴OB＝6，OA＝2，OC＝6，∵OB＝OC＝6，∠BOC＝90°，∴△BOC为等腰直角三角形；（2）解：过点A作AE⊥BC交BC于点E，交CD于F，连接BF，如图，∵△BOC为等腰直角三角形，AO＝2，∴AB＝6﹣2＝4，∠ABE＝45°，∵AE⊥BC，∴△AEB是等腰直角三角形，∴，∵BC平分∠ACD，∴∠ACB＝∠FCB，即根据“三线合一”可知：，即，∴，∴AF2＝AB2+BF2，∴△AFB是等腰直角三角形，即BF⊥OB，∴F（6，4），∴利用待定系数法可得直线CF的解析式为：，联立，解得（舍去），，∴；（3）解：∵B（6，0），C（0，6），∴利用待定系数法即可求得直线BC的解析式为：y＝﹣x+6，①设过点D的坐标为，过点D与直线BC平行的直线解析式为y＝﹣x+b，过D点作y轴的平行线交BC于点P，如图，联立，可得，∵，∴，∴解得x1＝x2＝3，即点D的坐标为，根据DP∥CD可得P点横坐标为3，即可得P（3，3），∴当DE有最大值时，点D的坐标为，P（3，3），即：，当x＝3时，，∵DP∥OC，∴∠DPE＝∠OCB＝45°，∵DE⊥BC，∴△PDE为等腰直角三角形，∴，∴此时DE的最大值为；②设点C关于OF的对称点为点T（且点T在抛物线上），则有OF垂直平分线段CT，即TO＝OC＝6，由图可知抛物线上除点C、点B外，再无其他点到原点的距离为6，∴点T与点B重合，此时对称轴OF即为Rt△BOC斜边的中线，即点F为BC中点，过A点作AG⊥BC于G点，连接FA，∵A（2，0），B（6，0），C（0，6），△BOC为等腰直角三角形，∴OB＝6，OA＝2，OC＝6，且可得△AGB为等腰直角三角形，∴，，∴，∴，，∴，∴tan∠GAF＝tan∠ACB，∴∠GAF＝∠ACB，此时若D点与A点重合，则E点与G点重合，满足∠EDF＝∠ACB，此时D点坐标为：（2，0）；若D点不与A点重合：点F为定点（BC中点），且F点在线段AE上，即：CE＞CF，第一种情况：当D点从A点往C点靠近时，E点也会逼近F点，此时形成的角∠EDF会越来越小，∴即不存在∠EDF＝∠ACB的情况；第二种情况：当D点从A点往B点靠近时，DF与BF的夹角∠DFB将越来越小，则在Rt△DFB的另一个锐角∠EDF会越来越大，∴即不存在∠EDF＝∠ACB的情况；综上：D点与A点重合满足要求，即D（2，0）．16．解：（1）对于直线y＝x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），令y＝0，则0＝x﹣2，∴x＝4，∴B（4，0），将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）过点P作PG∥y轴交BC于点G，设P（t，t2﹣t﹣2，则G（t，t﹣2），∴PG＝t﹣2﹣t2+t+2＝﹣t2+2t，∴S△BCP＝×4（﹣t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，S△BCP的值最大，最大值为4；（3）如图，由翻折得，点P、P'关于y轴对称，∴OC垂直平分PP′，当PP′垂直平分OC时，四边形CPOP'能构成菱形，∴点P的纵坐标为﹣1，当y＝﹣1时，﹣1＝x2﹣x﹣2，∴x＝，∴四边形CPOP'能构成菱形，点P的坐标为（，﹣1）或（，﹣1）．17．解：（1）令，得x＝﹣4，令x＝0，得y＝2，∴C（0，2），A（﹣4，0），∵抛物线经过A、C两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为：；（2）①如图所示，过B作BN⊥x轴交AC于N，过D作DM⊥x轴交AC于M，∴BN∥DM，∴△BNE∽△DME，∴，∵△CDE与△CBE分别以DE、BE为底，高相同，∴S1：S2＝DE：BE＝DM：BN，令，解得：x1＝1，x2＝﹣4，∴B（1，0），设，∴，∵B（1，0），∴，∴；∴当a＝﹣2时，的最大值是；②解：如图，当D在对称轴的左侧时，过B作BN⊥x轴交AC于N，过点D作DM⊥x轴交AC于M，∵，∴对称轴为直线，设，∴，∵BC∥EF，∴，由①可得，∴，即，整理得，0＝3a2+2a﹣15，解得：（舍）或，如图，当D在抛物线对称轴的右侧时，同理可得，即，整理得，3a2+2a﹣15＝0，解得：或（舍），综上所述，当EF∥BC时，直接写出点D的横坐标＝．18．解：（1）设OA＝m，则OB＝OC＝2m，∴A（﹣m，0），B（2m，0），C（0，2m），∵对称轴为直线x＝1，∴＝1，解得m＝2，∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），把C（0，4）代入得：4＝﹣8a，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4