2023 年九年级数学中考复习 相似三角形-8字形相似 专题训练（含解析）

2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形—8字形相似》专题训练（附答案）一．选择题1．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，且BD＝2CD，连接AD，将△ABD沿AD翻折，得到△ADE，DE与AC交于点F．若△DCF，△AEF的面积分别为1和16，则＝（）A． B．3 C． D．2．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝4：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．16：25 D．3：53．如图，E是▱ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF，CD＝3CF，则S△ADF：S△BEF等于（）A．4：1 B．3：1 C．4：3 D．9：44．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（）A．16 B．17 C．24 D．255．如图，已知△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，AC和BD相交于点E，则与△ADE相似的三角形是（）A．△BCE B．△ABC C．△ABD D．△ABE6．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（）A．m＝5 B．m＝4 C．m＝3 D．m＝10二．填空题7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，＝，AD与BE相交于点F，若BF＝4，则EF的长是．8．已知，▱ABCD面积为40，点M为AD的三等分点，且AM＝AD，N为BC的中点，MN交对角线BD于点O，则阴影部分的面积为．9．如图，矩形ABCD中，AB＝2，，E为CD的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PB：PD＝，PQ＝．10．如图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，BD＝12cm，DC＝8cm，EC＝6cm，则AB的长为．11．如图，在每个边长均为1的方形网格中，点A、B都在格点上，若C是AB与网格线的交点，则AC的长为．12．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点M为DE的中点，BM分别交AC和CD于点P，Q．若△ABC的面积为6，则图中阴影部分的面积为．13．已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M．则的值是．14．已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点F，则FC：AF＝．15．如图所示，S矩形ABCD＝36，在边AB，AD上分别取点E，F，使得AE＝3EB，DF＝2AF．DE与CF的交点为O，则S△FOD＝．16．如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处的距离，在AB外选一适当的点O，连接AO，BO，并延长至点C，D；使得OD＝OA，OC＝OB，测得CD＝20m，则AB＝m．17．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论：①GH＝CF；②S△CHF＝2S△DGH；③∠CHF＝45°；④GH•BE＝2HE•OG中正确结论为．（填序号）18．如图，正方形ABCD边长为2，点E、F分别为边AB、BC中点，AF分别交线段DE、DB于点M、N，则S△DMN＝．19．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为．20．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为．21．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么＝．22．如图，直线y＝kx﹣4（k＞0）与双曲线y＝在第一象限内交于点R，与x，y轴的交点分别为P，Q；过R作RM⊥x轴，M为垂足，若△OPQ与△PRM的面积相等，则k的值等于．三．解答题23．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．24．如图1，在△ABC中，点E在AC延长线上，且∠E＝∠ABC．（1）求证：AB2＝AC•AE；（2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若，求；（3）如图3，若∠CAB＝90°，tan∠E＝，BD＝5CD，过A作AQ⊥AD交EB延长线于Q，直接写出．25．如图，点E为正方形ABCD边BC延长线上的一个点，连接AE交BD于点F、交CD于点G．（1）求证：；（2）如图2，连接AC交BD于点O，连接OE交CD于点H，连接FH；①若FG＝1，FA＝3，求tan∠OEC的值；②若FH∥AC，求．26．如图，AB是⊙O的直径，△BCD是⊙O的内接三角形，BC＝DC，AB与CD交于点E，过点C作CF∥BD交DA的延长线于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为5，BD＝8，求线段AE的长．参考答案一．选择题1．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，由折叠得：∠B＝∠E，AB＝AE，BD＝DE，∴∠C＝∠E，∵∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△DFC，∵△DCF，△AEF的面积分别为1和16，∴＝＝＝4，∵BD＝2CD，∴设CD＝a，BD＝2a，∴AE＝4CD＝4a，DE＝BD＝2a，∴AB＝AC＝4a，设DF＝x，则AF＝4DF＝4x，∴CF＝AC﹣AF＝4a﹣4x，EF＝DE﹣DF＝2a﹣x，∵EF＝4CF，∴2a﹣x＝4（4a﹣4x），∴x＝a，∴AF＝4x＝a，EF＝2a﹣x＝a，∴＝＝，故选：C．2．解：∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵DE：EC＝4：1，∴，∴，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝，故选：C．3．解：∵E是▱ABCD的边BC延长线上一点，∴CE∥AD，∴△ADF∽△ECF，∴，∵CD＝3CF，∴＝，∴S△ADF：S△ECF＝4：1，AD＝2CE，∴BC＝2CE，∴S△BEF：S△ECF＝3：1，∴S△ADF：S△BEF＝4：3，故选：C．4．解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，在Rt△ABG中，AG＝＝＝6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF的周长为16．故选：A．5．解：∵∠BCE＝∠BDA，∠CEB＝∠DEA∴△ADE∽△BCE，故选：A．6．解：∵AB∥CD，∴△OCD∽△OEB，又∵E是AB的中点，∴2EB＝AB＝CD，∴＝（）2，即，解得m＝4，故选：B．二．填空题7．解：∵＝，∴＝，∵DE∥AB，∴∠CED＝∠CAB，∠CDE＝∠CBA，∴△CED∽△CAB，∴＝＝，∵DE∥AB，∴∠ABE＝∠DEB，∠BAD＝∠ADE，∴△DEF∽△ABF，∴＝，∴＝，∴EF＝，故答案为：．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴△CDB的面积＝▱ABCD的面积＝20，∵N为BC的中点，∴BN＝NC＝BC，∴△DNC的面积＝△BND的面积＝△CBD的面积＝10，∵AM＝AD，∴DM＝AD＝BC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DMN＝∠ANB，∴△DMO∽△BNO，∴＝＝＝，∴＝，∴△DON的面积＝△BND的面积＝，∴阴影部分的面积＝△DON的面积+△DNC的面积＝，故答案为：．9．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠BAP＝∠AED，∠ABP＝∠PDE，∴△ABP∽△EDP，∴＝，∵E为CD的中点，∴ED＝DC＝1，∴AB：ED＝2：1，∴PB：PD＝2：1，∴PB：BD＝2：3，∵PQ⊥BC，∴∠BQP＝∠C＝90°，∵∠DBC＝∠PBQ，∴△BPQ∽△BDC，∴＝，∴＝，∴PQ＝，故答案为：2：1，．10．解：∵∠B＝∠C＝90°，∠ADB＝∠EDC，∴△ADB∽△EDC，∴，即，∴AB＝9cm，故答案为：9cm．11．解：如图，在Rt△ABF中，AB＝＝＝2，∵∠BDC＝∠AEC＝90°，∠DCB＝∠ECA，∴△BDC∽△AEC，∴＝，∴，∴∴AC＝，故答案为：．12．解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴AD＝BC＝CE，AB∥CD，AC∥DE，∴△BCP∽△BME，△ABP∽△CQP∽△DQM，∴CP：EM＝BC：BE＝1：2，∵点M为DE的中点，∴CP：DM＝1：2，∴CP：AC＝CP：DE＝1：4，∵S△ABC＝6，∴S△ABP＝S△ABC＝，∵CP：AP＝1：3，∴S△PCQ＝S△ABP＝，∵CP：DM＝1：2，∴S△DQM＝4S△PCQ＝2，∴S阴影＝S△ABP+S△PCQ+S△DQM＝7．故答案为：7．13．解：如图，点E在线段AD上时，AE＝AD﹣DE＝8﹣3＝5，∵菱形对边AD∥BC，∴△AME∽△CMB，∴＝＝，∴＝；点E不在线段AD上时，AE＝AD+DE＝8+3＝11，∵菱形对边AD∥BC，∴△AME∽△CMB，∴＝＝，∴＝，综上所述，＝或．故答案为：或．14．解：如图，当点E在线段AD上时，∵菱形ABCD的边长为8，∴BC＝AD＝8，BC∥AD，∵DE＝3，∴AE＝5，∵BD∥AF，∴△AEF∽△CBF，∴；如图，当点E在线段AD的延长线上时，则AE＝11，∵BC∥AE，∴△AEF∽△CBF，∴，故答案为：8：5或8：11．15．解：延长DE，CB相交于点G，过点O作OH⊥AD，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠G，∠GBE＝∠A，∴△ADE∽△BGE，∴＝＝3，设BG＝x，则AD＝BC＝3x，∵DF＝2AF，∴DF＝AD＝2x，∴＝＝，∵∠DOF＝∠COG，∴△DOF∽△GOC，∴＝＝，∵OH⊥AD，∴∠OHF＝∠ADC＝90°，∵∠OFH＝∠CFD，∴△OFH∽△CFD，∴＝＝，∴OH＝CD，∵S矩形ABCD＝36，∴AD•CD＝36，∴S△FOD＝DF•OH＝•AD•CD＝×36＝4，故答案为：4．16．解：∵OD＝OA，OC＝OB，∴＝，又∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴，∵CD＝20m，∴AB＝2CD＝40m，故答案为：40．17．解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠DCF＝90°，∵FC＝EC，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠BEC＝∠DFC，∵∠EBC+∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠DFC＝90°，∴∠BHF＝180°﹣（∠EBC+∠DFC）＝90°，∴∠BHF＝∠BHD＝90°，∵BE平分∠DBC，∴∠DBH＝∠FBH，∵BH＝BH，∴△BFH≌△BDH（ASA），∴DH＝HF，∵点O为正方形ABCD的中心，∴OB＝OD，∴OH是△DBF的中位线，∴OH∥BF，OH＝BF，∴＝，∴DG＝GC，∴GH是△DCF的中位线，∴GH＝CF，故①正确；∵∠DCF＝90°，DH＝HF，∴△DHC的面积＝△CHF的面积，∵DG＝CG，∴△DGH的面积＝△GHC的面积＝△DHC的面积，∴S△CHF＝2S△DGH，故②正确；∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∴∠DBH＝∠FBH＝22.5°，∵∠BHF＝90°，∴∠BFH＝90°﹣∠HBF＝67.5°，∵∠DCF＝90°，DH＝HF，∴CH＝HF＝DF，∴∠HFC＝∠HCF＝67.5°，∴∠CHF＝45°，故③正确；∵OD＝OB，DG＝GC，∴OG是△DBC的中位线，∴BC＝2OG，OG∥BC，∴∠GHB＝∠HBC，∠HGC＝∠GCB，∴△GHE∽△CBE，∴＝，∴GH•BE＝BC•HE，∴GH•BE＝2HE•OG，故④正确，所以，正确的结论为：①②③④，故答案为：①②③④．18．解：∵正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，∴AD＝AB＝2，AE＝BF＝1，∠EAD＝∠FBA＝90°，∴DE＝AF＝＝，△ADE和△BAF中，，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，而∠BAF+∠DAM＝90°，∴∠ADM+∠DAM＝90°，∴AM•DE＝AE•AD，即AM×＝1×2，∴AM＝，∴DM＝＝＝，∵AD∥CB，∴AN：NF＝AD：BF＝2：1，∴AN＝AF＝，∴MN＝﹣＝，∴S△DMN＝DM•MN＝××＝．故答案为：．19．解：∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF＝∠DAF，∵AB∥DF，∴∠BAF＝∠F，∴∠F＝∠DAF，∴△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC＝CE．∴EC＝FC＝9﹣6＝3，∴AB＝BE．∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得：AG＝2，又∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝4，∴△ABE的周长等于16，又∵▱ABCD，∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故答案为8．20．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠DAE＝∠AEB，BC＝AD＝8，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE∴∠BAE＝∠AEB∴BE＝AB＝6，EC＝BC﹣BE＝8﹣6＝2在直角三角形BGE中，GE2＝BE2﹣BG2即GE2＝62﹣＝4，∴GE＝2，AE＝2GE＝4，∵△BAE∽△CFE，∴，即，∴CF＝2，EF＝，∴△CEF周长为2+2+＝．故答案为．21．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△BEF∽△ADF，∴＝＝＝．故答案为：．22．解：当x＝0时，y＝kx﹣4＝﹣4，∴点Q（0，﹣4）；当y＝kx﹣4＝0时，x＝，∴点P（，0）．∵RM⊥x轴，∴∠POQ＝∠PMR＝90°．又∵∠OPQ＝∠MPR，∴△OPQ∽△MPR．∵△OPQ与△PRM的面积相等，∴△OPQ≌△MPR，∴OP＝MP，OQ＝MR，∴点R（，4）．∵点R在双曲线y＝上，∴4＝，解得：k＝4或k＝﹣4（舍去）．经检验，k＝4是方程4＝的解．故答案为：4．三．解答题23．解：由题意得：BD∥AC，∴∠D＝∠ACD，∠A＝∠ABD，∴△BDE∽△ACE，∴，∴，解得：AC＝8，答：井深AC的长为8米．24．（1）证明：∵∠E＝∠ABC，∠BAE＝∠CAB，∴△BAE∽△CAB，∴，∴AB2＝AC•AE；（2）解：如图2，设CD＝m，则BD＝3CD＝3m，∴BC＝CD+BD＝4m，由（1）知，△BAE∽△CAB，∴＝＝，∵＝，∴＝＝，∴＝，BE＝6m，过点E作EH∥BC交AF的延长线于H，∴△ACD∽△AEH，∴＝，∴，∴EH＝m，∵EH∥BC，∴△BDF∽△EHF，∴＝，∴＝＝，∴BF＝EF，∵BE＝EF+BF＝EF+EF＝EF＝6m，∴EF＝m，∴＝＝；（3）解：如图3，设CD＝x，则BD＝5x，∴BC＝CD+BD＝6x，∵tan∠E＝，∴∠E＝30°，∴∠E＝∠ABC＝30°，在Rt△ABC中，AC＝BC＝3x，∴AB＝AC＝3x，在CA上截取CP＝CD＝x，∵∠ACB＝90°﹣∠ABC＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴CP＝DP＝CD＝x，∠APD＝120°，∵∠ABQ＝180°﹣∠E+∠BAC＝120°，∴∠APD＝∠ABQ，∵AQ⊥AD，∴∠DAQ＝90°＝∠CAB，∴∠CAD＝∠BAQ，∴△ADP∽△AQB，∴＝，∵AP＝AC﹣CP＝3x﹣x＝2x，∴，∴BQ＝x，∴＝＝．25．（1）证明：如图1，连接CF，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，∠ABF＝∠CBF，∵BF＝BF，∴