数字运算-容斥原理

数字运算——容斥原理2015038容斥原理“容斥原理”一共有五种小题型，分别用五种不同的思路来解答。对于“两集合容斥原理”：1.如果题目涉及的是这样五个量①满足条件A的数目②满足条件B的数目③同时满足条件A和B的数目④条件A、B都不满足的数目⑤总数，那么选用“两集合标准型”的标准公式作答；AUB=A+B-AnB=总-外2.如果题目涉及“只满足条件A的数目”或者“只满足条件B的数目”，那么标准公式无法解答，一般选用“两集合图示标数”来完成答题。容斥原理对于“三集合容斥原理”：1.关于满足两个条件的描述，如果题目只涉及①满足条件A、B的数目②满足条件B、C的数目③满足条件C、A的数目，一般选用“三集合标准型”的标准公式作答；2.如果题目涉及“只满足条件A、B的数目”，一般选用“三集合图示标数”来作答；3.如果题目涉及“满足一个条件的数目”和“满足两个条件的数目”，只给了我们一个总数而不是分项的数字，一般选用“三集合整体重复型”的公式来作答。容斥原理两集合标准型核心公式：

满足条件A的个数+满足条件B的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数【例1】（浙江2013-54）某班对50名学生进行体检，有20人近视，12人超重，4人既近视又超重，该班有多少人既不近视又不超重？()

A.22人

B.24人

C.26人

D.28人将题干数据带入到核心公式中：20=124=50-x答案为A选项若问题之近视不超重，或只超重不近视的，则不可解容斥原理【例2】（天津2013-12）有70名学生参加数学、语文考试，数学考试得60分以上的有56人，语文考试得60分以上的有62人，都不及格的有4人，则两门考试都得60分以上的有多少人？（）

A.50B.51C.52D.53核心公式：56+62-x=70-4数学及格+语文及格-语文数学都及格=总数-不及格X=52容斥原理——两集合图示标数型核心公式

涉及到两个集合的容斥原理问题时，如果题目提及“只满足某1个条件”的数目，那么我们无法通过标准的两集合容斥原理公式得到答案。这时，推荐大家利用简洁的“文氏图”标数得到所求结果。图示标数的关键是：从最中间“两个条件都满足”的数字入手。【例3】（北京2013-73）一批游客中每人都去了A、B两个景点中至少一个。只去了A的游客和没去A的游客数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍。则只去一个景点的人数占游客总人数的比重为（）

A.2/3B.¾C.4/5D.5/6答案为B选项

11.51.5AB容斥原理【例4】（国考2014-67）工厂组织职工参加周末公益活动，有80%的职工报名参加，报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2：1，两天的活动都报名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的？A.20%B.30%C.40%D.50%总数为10个人，未报名人数为2，答案为2/5，C选项12

5六日容斥原理——三集合标准型特别注意：上式左边代表至少满足三个条件之一的情况，也等于总数减去三个条件都不满足的情况。【例5】（安徽2011-15）如图所示：A、B、C分别是面积为60、170、150的三张不同形状的卡片，它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为280，且A与B、B与C、C与A重叠部分的面积分别是22、60、35。问阴影部分的面积是多少？（）

A.15B.16C.17D.18三集合容斥原理公式：280=60+170+150-22-60-35+x，x=17，C选项容斥原理——三集合标准型【例6】（2012年421联考－54）某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：

A.7人B.8人C.5人D.6人42=22+16+25-8-6-x+0x=7容斥原理——三集合图示标数型【例7】外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有多少人（）

A.4人B.5人C.6人D.7人当题目条件不能直接代入标准公式时，我们可以考虑利用图示配合，标数解答。1.特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分；2.特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形；3.标数时，注意由中间向外围标记。容斥原理——三集合整体重复型【例8】（陕西2013-78）五年级一班共有55个学生，在暑假期间都参加了特长培训班，35人参加书法班，28人参加美术班，31人参加舞蹈班，其中以上三种特长培训班都参加的有6人，则有（）人只参加了一种特长培训班。

A.45B.33C.29D.2255=x+y+694=x+2y+18得出y=27，则x=22容斥原理——三集合整体重复型【例9】（北京2014-80）某旅行团共有48名游客，都报名参观了三个景点中的至少一个。其中，只参观了一个景点的人数与至少参观了两个景点的人数相同，是参观了三个景点ACB的人数的4倍。则需要为这些游客购买多少张景点门票？

A.48B.72C.78D.84W=x+y+z

A+B+C=x+2y+3z；根据题干条件：x=y+z=4z，求A+B+Cy=3z，x=4z，代入上式得出z=6，则x=24，y=18答案为？容斥原理——三集合整体重复型【例10】（春季联考2013-42）有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50人，未参加跳高的有60人，未参加赛跑的有70人。问至少有多少人参加了不止一个项目？（）

A.7B.10C.15D.20100=x+y+z120=x+2y+3z(120=50+40+30)题干求的是y+z，通过判断得出答案