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专题01函数相关技巧技巧导图技巧导图技巧详讲技巧详讲分式函数求值域-----分子分母为同类型函数(一)注意事项求值域前先求定义域,如果给出区间则不用求定义域几个极限值(二)模式二.奇偶性常见函数的奇偶性(前提定义域关于原点对称)有对称轴函数解不等式或比较大小----比较的是两个自变量与对称轴距离的远近当函数的对称轴为x=a,则f(x1)>f(x2)当函数的先增后减时,当函数的先减后增时,奇偶性的运算同性相加减的同性,异性相加减为非奇非偶同性乘除为偶函数,异性乘除为奇函数函数模型为f(x)=g(x)+k,其中g(x)为奇函数,所给区间要关于原点对称f(x)+f(-x)=2k推导:f(x)+f(-x)=g(x)+k+g(-x)+k=g(x)-g(-x)+2k=2kf(x)max+f(x)min=2k推导:f(x)max+f(x)min=g(x)max+k+g(x)min+k=2k(奇函数的最大值与最小值成相反数)如何找k---f(0)=k推导:f(0)=g(0)+k=k技巧举证技巧举证技巧1分式函数求值域【例1】(1)(2020山西省太原市实验中学)已知函数的取值范围。(2)(2020湖南省长沙市第一中学)函数的值域为。【答案】(1)【,】(2)【解析】,则其值域【,】(2)常规法:分离常数由已知:,.技巧法:t=x2,t≥0,则函数y=f(x)=t−1t+1,f(0)=-1,f(∞)=1(取不到,开区间),【举一反三】1.(2019上海市普陀区曹杨第二中学函数),的值域是________;【答案】;【解析】技巧法:f(0)=32,f(2)=74常规法:,因为,故,故.故答案为:2.(2020广东省东莞市北师大东莞石竹附属学校)函数的值域是。【答案】,【解析】技巧法:t=x2,t≥0,则函数y=f(x)=−t+2t+2,f(0)=1,f(∞)=-1(取不到,开区间),即函数的值域是,.常规法:,,,则,.即函数的值域是,.3.(2020陕西省西安市高新一中)函数的值域为________.【答案】【解析】技巧法:的定义域为,则y≠f(−1)=4故答案为:常规法:由题.因为的值域为,故的值域为,故的值域为.故的值域为故答案为:技巧2口算奇偶性求参数【例2】(1)(2020·福建漳州·高三其他(文))若函数是偶函数,则实数()A. B.0 C.1 D.(2)(2020·河南高三月考(理))已知是奇函数,且实数满足,则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】(1)C(2)D【解析】(1)技巧法:因为函数为偶函数,正弦为奇函数,所以对数为奇函数,根据常见函数可知常规法:因为是偶函数,是奇函数,所以是奇函数,所以,所以,所以,所以,所以,故选:C.(2)因为是定义域为的奇函数,所以,可得,此时,易知在上为减函数.又因为,所以,所以.故选:D.【举一反三】1.(2020·沙坪坝·重庆南开中学高三月考(理))已知函数,则不等式的解集为()A. B. C. D.【答案】D【解析】技巧法:根据常见奇偶性函数可知f(x)为偶函数,根据对勾函数已知二次函数可知x>0函数为单调递增,则x<0函数为单调递减,,即,解得,故选:D.常规法:设,由,当时,,当时,,则在上单调递减,在上单调递增,由二次函数的性质可知,在上单调递减,在上单调递增,所以在上单调递减,在上单调递增,又,所以为偶函数.由可知,,即,解得,故选:D.2.(2020·河北桃城·衡水中学高三其他(文))若函数,则不等式的解集为()A. B. C. D.【答案】A【解析】技巧法:根据常见函数可知f(x)为奇函数求为单调递增则可化为所以原不等式等价于不等式.①当时,可化为,所以;②当时,可化为,所以.综上,原不等式的解集为.常规法:因为函数的定义域为,且满足,所以为上的奇函数,则可化为,因为恒成立,所以为上的增函数.所以原不等式等价于不等式.①当时,可化为,所以;②当时,可化为,所以.综上,原不等式的解集为.故选:A.3.(2020·河南罗山·高三月考(理))已知函数f(x)的图象关于y轴对称,且f(x)在(-∞,0]上单调递减,则满足的实数x的取值范围是()A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意是偶函数,且在上单调递增,∴不等式可变为,∴,解得.故选:B.技巧3形如f(x)=奇函数+常数【例3】(1)(2020·河南平顶山·高三月考(文))已知函数,若,则() B. C.1 D.2(2)(2019秋•市中区校级月考)已知,,,若的最大值为,的最小值为,则等于A.0 B.2 C. D.(3)(2020·五华·云南师大附中高三月考(文))已知函数,则()A.2019 B.2020 C.4038 D.4040【答案】(1)C(2)B(3)C【解析】(1)因为是奇函数,∴.故选:C.(2)函数为奇函数,,即,,即.故选:.(3)所以.故选:C【举一反三】1.(2019秋•椒江区校级期中)已知函数的最大值为,最小值为,则的值等于A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】设,则是奇函数,的最大值和最小值互为相反数,且的最大值为,最小值为,.故选:.2.(2021·宁夏银川二十四中高三月考(理))若,且,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】设,则,所以,则,所以.故选:B.3.已知函数f(x)=In(x+)+1,若实数a满足f(-a)=2,则f(a)等于()A.1 B.0 C. D.【答案】B【解析】∵函数f(x)=In(x+)+1,
实数a满足f(-a)=2,
∴,∴,∴=-1+1=0.故选:B.4.(2020·云南师大附中高三月考(理))已知函数,则()A.2019 B.2020 C.4038 D.4040【答案】C【解析】,令,则,所以为奇函数,所以关于坐标原点对称,则关于成中心对称,则有,所以.故选:C.5.(2020·全国高三月考(理))已知函数,则()A.2 B.0 C. D.【答案】D【解析】设.则所以,即为奇函数,所以,所以.故选:D.技巧强化技巧强化1.(2019江苏省盐城市)函数的值域为______.【答案】.【解析】技巧法:t=x2,t≥0则f(t)=3t+2018t+1,f(0)=2018,f(∞)=3故答案为故答案为.2.函数的值域是______.【答案】【解析】技巧法:常规法:由题知,因为,所以,所以,则因此,故答案为:.3.(2020黑龙江省哈尔滨师范大学附中)函数的值域为________.【答案】【解析】技巧法:令,则故,常规法:令,则,故,由于,∴,,∴,即函数的值域为,故答案为:.4.(2020·江西省信丰中学高三月考(文))已知函数,且,则函数的值是A. B. C. D.【答案】6【解析】技巧法:,令,得,解得,常规法:,令,其中,所以函数为奇函数,即,可得,令,得,解得5.(2020·山西大同·高三月考(文))设函数的最大值为5,则的最小值为【答案】1【解析】技巧法:f(x)max+f(X)min=6,则f(x)的最小值为1常规法:由题可知,,设,其定义域为,又,即,由于,即,所以是奇函数,而,由题可知,函数的最大值为5,则函数的最大值为:5-3=2,由于是奇函数,得的最小值为-2,所以的最小值为:-2+3=1..6(2020·广东霞山·湛江二十一中高三月考)已知函数的最大值为M,最小值为m,则【答案】4【解析】技巧法:f(x)max+f(X)min=4常规法:设,因为,所以为奇函数,则的最大值为,最小值为,由奇函数对称性知,两者相加为0,即,∴.7.(2019·杏花岭·山西实验中学高三月考)已知函数,其中为函数的导数,则【答案】2【解析】令,则有因为的定义域是R,所以是奇函数,所以是偶函数所以,所以故选:A8.(2019·山东任城·济宁一中高三月考)设函数,若,.【答案】-2【解析】因为,所以,因此函数为奇函数,又,所以.9.(2019·湖南娄底·高三期末(文))已知函数,其导函数为,则的值为.【答案】4【解析】函数,,,.10.(2019秋•渝中区校级月考)已知,则在区间,上的最大值最小值之和为.【答案】2【解析】技巧法:f(0)=1,则最大值和最小值的和为2常规法:由令,可得是奇函数,可得区间,上的最大值最小值之和为0.那么在区间,上的最大值为,最小值为;在区间,上的最大值最小值之和为2..11(2020秋•广东月考)已知函数在,上的最大值为,最小值为,则【答案】2【解析】技巧法:所给区间不管原点对称需要换元,令t=x-1,则t∈f(t)=(t2-1)sint+t+1t常规法:由令,,上,可得,;那么转化为由于是奇函数可得,,的最大值与最小值之和为0,那么的最大值与最小值之和为2..12.(2019秋•宁波期中)已知函数的最大值为,最小值为,则【答案】2【解析】,令,则,即为奇函数,图象关于原点对称,,,,且,,则.13.(2020·陕西西安·高三月考(理))已知:,:函数为奇函数,则是成立的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】技巧法:根据常见函数可知常规法:当时,,即有,故有即为奇函数:当为奇函数时,有,即,有:∴综上,知:故选:C14.(2019·河南周口·高三月考)设函数,则使得成立的的取值范围是.【答案】【解析】,所以,为上的偶函数,又,当时,,故在上为增函数.因,由得到,故,或15.(2020·福建厦门双十中学高三月考(文))已知函数是奇函数,则的值等于.【答案】或3【解析】技巧法:可知当时,函数的解析式为:,,当时,函数的解析式为:,,综上可得:的值等于或3.常规法:函数为奇函数,则:,即:恒成立,整理可得:,即恒成立,,当时,函数的解析式为:,,当时,函数的解析式为:,,综上可得:的值等于或3.16.若函数为奇函数,则=.【答
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