2022衡水中学地理内部学习资料专题09 法向量秒求（解析版）

专题09法向量秒求技巧导图技巧导图技巧详讲技巧详讲叉乘法求解法向量掐头去尾交叉法求法向量说明：两种方法的实质是一样，都可以使用例题举证例题举证【例1】（2020·辽宁节选）已知平面上三点，，，则平面的一个法向量为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解法一：常规法由已知，，设平面的一个法向量为，由，可得，取，可得，，所以，平面的一个法向量为.故选：B.解法二：叉乘法由已知，，设平面的一个法向量为解法三：掐头去尾交叉法【例2】（2020·全国）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解法一：常规法,设为平面的法向量，则，化简得，∴，故选C.解法二：叉乘法解法三：掐头去尾交叉法技巧强化技巧强化1．（2020·全国）在三棱锥中，、、两两垂直，，，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是（）A． B．C． D．【解析】解法一：常规法，，设平面的一个法向量为，由则，解得，．又，因此，平面的一个法向量为.故选：A.解法二：叉乘法，，设平面的一个法向量为解法三：掐头去尾交叉法，，设平面的一个法向量为2．（多选）（2020·南京市第十四中学）已知6，，3，，则下列各向量中是平面是坐标原点的一个法向量的是（）A． B． C．4， D．4，【答案】BD【解析】解法一：常规法设平面是坐标原点的一个法向量是y，，则即得，令，解得令，解得故或，．故选：BD．解法二：叉乘法解法三：掐头去尾交叉法3．（2020·天津市第五十五中学）如图，长方体中，，，，，分别是，的中点，以为原点，分别以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是___________.【答案】，3，【解析】解法一：常规法长方体中，，，，，分别是，的中点，以为原点，分别以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，则，0，，，4，，，2，，，4，，，2，，设平面的一个法向量是，，，则，取，得，3，，则平面的一个法向量是，3，.故答案为：，3，.解法二：叉乘法，4，，，2，，设平面的一个法向量是，，，解法三：掐头去尾交叉法4．（2020·鱼台县第一中学）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.平面的法向量________.【答案】（答案不唯一）【解析】解法一：常规法是正方形，且，，，，，，，，，，故，故，∵向量是平面OCB1的法向量，，，故，，取，故，平面的法向量故答案为：（答案不唯一）5．（2020·全国）已知，，.求平面的一个法向量；【答案】平面的一个法向量为（答案不唯一）；【解析】解法一：常规法因为，，，所以，，设为平面的一个法向量，则有，所以，不妨令，则，所以平面ABC的一个法向量为；解法二：叉乘法所以，，设为平面的一个法向量，解法三：掐头去尾交叉法（2）若存在实数，，使，即，则，解得，所以，即向量与平面平行.6．（2020·河南郑州市·高三月考）如图，为圆锥的顶点，为底面圆心，点，在底面圆周上，且，点，分别为，的中点．求证：；若圆锥的底面半径为，高为，求直线与平面所成的角的正弦值．【答案】证明见解析；.【解析】由题意，得底面圆，点，分别为，的中点，，底面圆，在底面圆上，．，为正三角形，又因为为的中点，，又因为，且平面，平面，平面，平面，．解法一：常规法如图，以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，故，，，设平面的法向量为，由，可得，令，得为平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成的角的正弦值为．解法二：叉乘法，，设平面的法向量为，解法三：掐头去尾交叉法7．（2020·浙江衢州市）如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为PC中点，E为AD中点，PA＝AC＝2，BC＝1．（1）求证：AD⊥平面PBC：（2）求PE与平面ABD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：∵平面ABC，∴又因为，∴平面PAC，∴．∵，D为PC中点，∴，又∵，∴平面PBC；解法一：常规法以C为坐标原点建立如图空间直角坐标系，，，∴，，∴，，．设平面ABD的法向量为，则，令，则，得．设PE与平面ABD所成角为，则．解法二：叉乘法，．设平面ABD的法向量为，设PE与平面ABD所成角为，则．解法三：掐头去尾交叉法设PE与平面ABD所成角为，则．8．（2020·河北邢台市·邢台一中高三月考=）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，且，，为的中点.求证：；求直线与平面所成角的正弦值.【答案】证明见解析；.【解析】因为，所以，又为的中点，所以，，连接，在中，为的中点，所以.因为，所以，又，所以平面.又平面，所以.解法一：常规法如图，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，过点且与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，.设平面的一个法向量为，由，得令，可得.设直线与平面所成角为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.解法二：叉乘法，设平面的一个法向量为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.解法三：掐头去尾交叉法，设平面的一个法向量为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.9．（2020·四川泸州市·泸县五中高三月考）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）见详解；（2）【解析】（1）证明：∵底面是边长为2的正方形，，为中点，∵，.∵平面，平面，∴.∵∴平面，∵平面，∴，∵.∴平面，∵平面，∴.（2）解法一：常规法以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图空间直角坐标系.则，，，，，，，设平面的一个法向量，则，取，得.设平面的一个法向量为.则，取.得，，∴二面角的正弦值为解法二：叉乘法（法向量求解略）解法三：掐头去尾交叉法（法向量求解略）10．（2020·河北省晋州市）如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，故BD⊥平面PAC.解法一：常规法由（1）得.设平面PCD的法向量为，则，即，∴，故平面PCD的法向量可取为,∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.设二面角P—CD—B的大小为，依题意可得，故二面角P—CD—B余弦值的大小为.解法