2022衡水中学地理内部学习资料专题11 不等式（解析版）

专题11不等式技巧导图技巧导图技巧详讲技巧详讲技巧一：配凑法对加法型，两个因式的未知数部分凑成倒数关系，配凑成符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”。技巧二：分离常数法1.已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；2.把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；3.将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.技巧三：对勾函数法：用基本不等式求解时，若遇等号取不到的情况1.运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；2.结合函数的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可；例题举证例题举证技巧1配凑法【例1】（2021·广西河池市）函数的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：A．【举一反三】1．（2021·江苏盐城市）已知，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，当且仅当，即时等号成立．故选：D．2．（2021·浙江绍兴市·绍兴一中）若实数，满足，则的最小值为___________.【答案】6【解析】实数，满足，即，所以则当且仅当,又，即时，取得等号.故答案为：63．（2021·福建三明市）若正实数，满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】由，得，因为，为正实数，所以，所以，当且仅当，即时，取等号（此时），所以的最小值为，故答案为：技巧2分类常数法【例2】（2020·安徽芜湖市·芜湖一中高一月考）已知，则有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3【答案】D【解析】因为，，当且仅当，即时，等号成立，即有最小值3.故选：D.【举一反三】1．（2020·无锡市第三高级中学）函数的最大值为（）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】D【解析】，当且仅当,即等号成立.故选：D.2．（2020·安徽六安市·六安一中高二开学考试（文））若函数在处取最小值，则（）A． B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】由题意，，而，当且仅当，即时，等号成立，所以.故选：C.3．（2020·阳江市第一中学）若，则有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【解析】∵，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2.故选：D.4．（2021·安徽师范大学附属中学）已知函数，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，则，则，令，下面证明函数在上为减函数，在上为增函数，任取、且，则，，则，，，，所以，函数在区间上为减函数，同理可证函数在区间上为增函数，，，.因此，函数的最大值为.故选：D.技巧3对勾函数【例3】（2020·江苏）函数的值域为__________．【答案】【解析】设，当时，，当且仅当时等号成立；同理当时，，当且仅当时等号成立；所以函数的值域为.故答案为:.【举一反三】1．（2020·安徽省蚌埠第三中学）函数的最小值为（）A．2 B． C．1 D．不存在【答案】B【解析】令，函数在上是增函数，在上也是增函数．当，即，时，．故选：B．2．（2020·全国高三月考）函数，的最小值为________.【答案】【解析】令，因为，所以，，令，由对勾函数的性质易知，在单调递减，即，所以函数在上的最小值为.故答案为：.3．（2020·上海）设，则函数的最小值是___________．【答案】【解析】由得到，即令，则因为，所以函数为减函数当时，故答案为：技巧强化技巧强化一、单选题1．（2020·浙江高三月考）已知正实数、、满足，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，由于、、均为正数，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：C.2．（2020·全国）已知，若不等式恒成立，则实数的最值情况为（）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值 D．有最大值【答案】A【解析】由，不等式恒成立即恒成立，即恒成立.又设由，则，所以，则所以在上单调递增，则所以，即所以，即故选：A3（2021·安徽宣城市）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【解析】因为，，则，所以，当且仅当即等号成立，要使不等式恒成立，所以所以实数的最大值为8.故选：C.4．（2020·淮北师范大学附属实验中学）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可，，，当且仅当即时等号成立，，或舍去，即所以正实数a的最小值为4.故选：B.5．（2020·安徽宿州市）若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】若对任意满足的正数，都有成立，则，当且仅当即时等号成立，所以，所以，即，即，解得或，所以实数的取值范围是，故选：C6．（2020·江苏宿迁市）已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】因为，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，由于恒成立，则，即，解得.故选：A.7．（2020·浙江高一期末）当时，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式恒成立化为恒成立，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，所以的最大值为.故选：C8．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知且，则的最小值为________.【答案】【解析】令，，因为，所以，则，所以所以，当且仅当，即，，，时取等号故答案为：9．（2021·江苏泰州市）已知正实数、满足，则的最小值为____________.【答案】【解析】已知正实数、满足，则.当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.10．（2021·福建莆田市）函数的最小值是________.【答案】【解析】当且仅当即时取最小值故答案为：11．（2020·福建厦门市·厦门外国语学校高一月考）当时，函数的最小值为_________.【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.12．（2020·江苏省邗江中学高二期中）函数的最小值为_______________【答案】8【解析】函数，因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立.故答案为：8.13．（2020·全国高三专题练习（文））若实数满足，则的最大值为___________.【答案】【解析】令，则，即，所以，当时，；当时，，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以.所以的最大值为.故答案为：.14．（2020·山西省静乐县第一中学校）求的最小值______.【答案】9【解析】，，，，当且仅当即时，等号成立.故答案为：9.15．（